2 Ортогональные функции 1 2 Ортогональные функции

2. Ортогональные функции 1

2. Ортогональные функции 2. 1. Мера близости сигналов. 2. 2. Ортогональность функций. 2. 3. Ортогональные многочлены. 2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд. 2. 5. Ортогональное представление в широкополосной сети. 2. 6. Пример OFDM с тремя сигналами.

2. 1. Мера близости сигналов Мы рассматриваем сигнал x(t), зависящий от времени t на конечном промежутке времени (в общем случае на бесконечном интервале). Для вещественных чисел, для точек в пространстве и для векторов известна мера близости объектов (абсолютная величина, длина, расстояние, норма). Начнем с понятия нормы (длины) вектора, которая приведет к понятию нормы функции. Будем исходить из векторов в двумерном пространстве, но все результаты легко обобщаются на конечномерные пространства. Пусть вектор задан своими координатами. Page 3

2. 1. Мера близости сигналов Евклидовой нормой вектора A называется вещественное число (существуют другие определения нормы, неевклидовы). Расстояние r между векторами определяется как норма разности векторов, то есть A Page 4 B r(A, B)

2. 1. Мера близости сигналов Аналогичной меры близости сигналов является норма сигнала. Пусть сигнала x(t) задан на конечном (или бесконечном) интервале времени. называется вещественное число Нормой сигнала x(t) (при условии, что интеграл существует). Пример. Найти норму затухающего осциллятора считая его заданным на отрезках 1) параметров T=2, ω0=2π. Page 5 2) для

2. 1. Мера близости сигналов Норма затухающего осциллятора на отрезках. Page 6

2. 1. Мера близости сигналов Норма затухающего осциллятора. Соответствующие интегралы Page 7

2. 1. Мера близости сигналов То есть, на отрезке сигнал практически равен нулю (но конкретный вывод зависит от поставленной задачи!). Заметим, что норма сигнала на отрезке близка к энергии сигнала на этом отрезке (будет далее). Расстояние между сигналами x(t) и y(t), , измеряется как при условии, что интеграл существует Page 8 заданными на

2. 1. Мера близости сигналов Пример. Найти расстояние между сигналами и на отрезке Графики: Расстояние, или отклонение сигналов равно Page 9 .

2. 1. Мера близости сигналов Наряду с нормой (*) существуют и другие определения нормы, например, (сравните со среднеквадратическим отклонением и дисперсией случайной величины). Существуют и другие нормы, например Мы будем использовать только норму (*). Page 10

2. 2. Ортогональность функций Теперь рассмотрим два сигнал x(t) и y(t), заданных на конечном или бесконечном промежутке времени. Скалярным произведением сигналов x(t) и y(t) называется определенный интеграл где s(t) – некоторая весовая функция. (Аналогично векторам можно найти и косинус угла между функциями !). Page 11

2. 2. Ортогональность функций В функциональном анализе скалярное произведение функций x(t) и y(t) определяют в виде интеграла (интеграл по мере) где S(t) первообразная функции s(t). Понятно, что для рассматриваемого класса функций определенный интеграл должен существовать. Весовой функцией s(t) может служить функция с некоторыми специальными свойствами. Page 12

2. 2. Ортогональность функций В качестве s(t) можно использовать функцию плотности распределения некоторой непрерывной случайной величины, тогда S(t) - функция распределения этой величины. В некоторых случаях s(t) =1, S(t) =t, d S(t) =dt, то есть весовая функция в этих случаях просто отсутствует. Норма сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения сигнала с самим собой Page 13

2. 2. Ортогональность функций Норма комплекснозначного сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения с сопряженным сигналом Сигналы x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Page 14

2. 2. Ортогональность функций Пример. Проверить ортогональность сигналов с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке T=2π/ω, где m, n – целые числа. Найдем скалярное произведение t ϵ [-T/2, T/2] .

2. 2. Ортогональность функций При n ≠ m При n = m Page 16

2. 2. Ортогональность функций. Система линейно независимых функций {f 0(t), f 1(t), . . . , fk(t), . . . }, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке. Если все функции системы имеют норму 1, то система называется ортонормированной. Пример ортогональной системы функций : функции cos (kωt), k=0, 1, . . . ортогональны на отрезке [-π/ω, π/ω], но система не ортонормирована. Page 17

2. 3. Ортогональные многочлены. Многочлены Pk(t) (k = 0, 1, 2, … – степень многочлена) образуют ортогональную систему многочленов на отрезке [a, b] с весом s(t), если где - символ Кронекера. Мы ограничимся рассмотрением ортогональных многочленов Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита. Все эти многочлены появились в механике при решении нелинейного дифференциального уравнения первого порядка. Page 18

2. 3. Ортогональные многочлены. Существует рекуррентная формула, из которой, зная первые 2 многочлена, можно вычислить все остальные: Первые 2 многочлена: Лежандра Чебышева Лагерра Эрмита Page 19

2. 3. Ортогональные многочлены. Константы для многочленов: Многочлен a k b k c k d k Лежандр k+1 2 k+1 0 k Чебышев 1 2 0 1 Лагерр 1 1 2 k+1 k 2 Эрмит 1 2 0 2 k Nn Интервалы, на которых определены Page 20 многочлены: Лежандра Чебышева Лагерра Эрмита [-1, +1] [0, +∞ ) (-∞, +∞) n!

2. 3. Ортогональные многочлены. Весовые функции многочленов : Лежандра Чебышева Лагерра Эрмита При разложении сигнала по ортогональным многочленам коэффициенты разложения вычисляются довольно просто интегрированием. Каждый исследователь может выбрать подходящие ортогональные многочлены (функции), соответствующие цели исследования Page 21

2. 3. Ортогональные многочлены. Покажем, как можно построить систему ортонормированных многочленов, на основе системы многочленов P={1, t, t 2, . . . , tk, . . . } , заданного начального многочлена L 0(t)=1 и отрезка [-1, 1]. Норма L 0(t) равна , нормированный L 0(t) равен Многочлен L 1(t) строим из предыдущих многочленов и первого элемента системы P в виде Требуется найти коэффициенты c 0 и c 1. Page 22

2. 3. Ортогональные многочлены. Коэффициенты находим из условия ортогональности То есть Отсюда c 0=0, c 1 – произвольное. L 1(t) = c 1 t, постоянную c 1 выбирают положительной и такой, чтобы норма L 1(t) равнялась 1. Page 23

2. 3. Ортогональные многочлены. Построим L 2(t) Коэффициенты находим из условий ортогональности Отсюда получаем 2 уравнения для нахождения c 0, c 1, c 2. Используя условие нормировки, считая, что c 2>0, однозначно получаем набор коэффициенты c 0, c 1, c 2. Классические многочлены Лежандра: L 0 1 L 4 (35 t 4 -30 t 2+3)/8 L 2 (3 t 2 -1)/2 L 6 (231 t 6 -315 t 4+105 t 2 -5)/16 L 1 t Page 24 L 5 (65 t 5 -70 t 3+15 t)/8 L 3 (5 t 3 -3 t)/2 L 7 (429 t 7 -693 t 5+315 t 3 -35 t)/16

2. 3. Ортогональные многочлены. Классические многочлены Лежандра ортогональны, но не нормированы, норма Page 25

2. 3. Ортогональные многочлены. Графики многочленов Лежандра и Чебышева от 0 до 3 степеней. Page 26

2. 3. Ортогональные многочлены. Графики многочленов Лагерра и Эрмита от 0 до 4 степеней. Page 27

2. 3. Ортогональные многочлены. Упражнение. 1) Используя рекуррентную формулу, построить многочлены Чебышева, Лагерра и Эрмита второй степени и многочлен Лежандра третьей степени. 2) Проверить их ортогональность с соответствующими многочленами первой степени. Page 28

2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд Одной из основных задач для ортогональных многочленов (и ортогональных функций) является задача разложения заданной функции в ряд по этим многочленам. Такое разложение называется ортогональным разложением. Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения функции y(x) в ряд на интервале [a, b]. Page 29

2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд Функции Pk(x) называются базисными функциями разложения. Требуется найти коэффициенты разложения Ak. Для того, чтобы найти Ak 0 для конкретного k 0, умножим обе части равенства на Pk 0(x) и на s(x) и на интервале ортогональности [a, b] проинтегрируем по x. В предположении, что ряд сходится абсолютно и интегралы существуют, меняем порядок интегрирования Page 30

2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд Ввиду ортогональности базисных функций Pk(x) все интегралы в правой части, кроме слагаемого с индексом k 0, обращаются в нули. Получаем: Поскольку то Page 31

2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу Так получаются и формулы разложения в ряд Фурье по базисным функциям sin(·) и cos(·) : Pk(·) = sin(·) или cos(·), s(t) = 1, a = -T/2, b = T/2, Nk = T/2. Page 32

2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд В реальных задачах интегрирование выполняется численными методами (метод прямоугольников, трапеций, Симпсона, для сильно осциллирующих функций метод Монте-Карло). Обычно при этом в явном виде используются пределы интегрирования a, b. Для многочленов Лежандра и Чебышева это числа ± 1, для многочленов Лагерра и Эрмита в пределы интегрирования входит ∞. В многочленах Лагерра при интегрировании вместо интервала [0, +∞) можно ограничиться интервалом [0, 10], для большей точности интервалом [0, 15]. Page 33

2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд В многочленах Эрмита при интегрировании вместо интервала (-∞ , +∞) можно ограничиться интервалом [3, +3], для большей точности интервалом [-4, +4]. Упражнение. Используя вычислители типа Mat. Cad, Mat. Lab оценить изменение коэффициентов ортогонального разложения при использовании указанных интервалов. Ортогональное разложение функции y(x) по базисным функциям Pk(x) не всегда существует (нет сходимости ряда, не существуют интегралы). Но если ортогональное разложение существует, то оно единственно. Для проверки существования разложения применяются признаки сходимости рядов (здесь не рассматриваем). Page 34

2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд Пример. Разложить затухающий гармонический осциллятор (неклассический, определим его и для t<0) при T=2, ω0=2π на интервале (-∞, +∞) в ряд по многочленам Эрмита. Решение. Для 3 слагаемых абсолютная погрешность на [-3, 3] равно 0. 87. Page 35

2. 4. Разложение сигнала в ортогональный ряд Для 7 слагаемых погрешность при интегрировании на [-3, 3] равна 0. 87 Для 20 слагаемых погрешность при интегрировании на [-3, 3] равна 0. 40. Для 40 слагаемых погрешность на [-3, 3] снова равна 0. 87. Page 36

2. 5. Ортогональное представление в широкополосной сети Стандарт Wi-Fi Беспроводных Широкополосных сетей. Wi-Fi является термином, используемым для представления беспроводных локальных сетей (WLAN), соответствующих стандарту IEEE 802. 11. Этот стандарт определяет эфирный интерфейс между беспроводным клиентом и базовой станцией или между двумя беспроводными клиентами. Стандарт IEEE 802. 11 имеет несколько версий: 802. 11 a, 802. 11 b, 802. 11 g, 802. 11 n и т. д, каждая из которых предполагает работу в нелицензируемых полосах частот. Проблема состоит в том, что требуется обеспечить устойчивую связь с наибольшим числом абонентов на выделенном диапазоне. Page 37

2. 5. Ортогональное представление в широкополосной сети Кратко рассмотрим 3 метода использования широкополосного диапазона в стандартах Wi-Fi, это метод ортогонального мультиплексирования OFDM; метод прямой последовательности DSSS; метод скачкообразной перестройки частоты FHSS. Стандарт 802. 11 a предназначен для диапазона частот 5 ГГц, он использования технологии OFDM (orthogonal frequency division multiplexing) обменивается данными со скоростью 54 Мбит/с. Стандарт 802. 11 g работает в диапазоне частот 2, 4 ГГц, использует технологию OFDM и обеспечивает такую же скорость передачи данных 54 Мбит/с. Page 38

2. 5. Ортогональное представление в сети Стандарт 802. 11 b использует диапазон частот 2, 4 - 2, 8 ГГц и технологию метода прямой последовательности DSSS (direct sequence spread spectrum), скорость передачи 11 Мбит/с. В режиме DSSS широкий диапазон разбит на несколько каналов, до трех таких каналов может использоваться независимо и одновременно на одной территории. Номинальная скорость каждого канала 2 Мбит/с. Если применять такой способ использования широкой полосы, то скорость обмена равна 6 Мбит/с (2 Мбит/с на один канал, всего – 3 канала). Метод DSSS позволяет увеличить скорость обмена почти в 2 раза. Page 39

DSSS 1. 11 Channels 2. Each channel is 22 MHz wide 3. Center frequencies are 5 MHz apart P o w e r 2. 401 GHz Frequency 2. 473 GHz 40

2. 5. Ортогональное представление в сети DSSS обеспечивают большую устойчивость к узкополосным помехам (выбором поддиапазона для передачи можно отстроиться от помех), и большую дальность связи. Модуляция OFDM позволяет увеличить скорость передачи и информационную емкость канала передачи, разделяя широкий канал, занимаемый одной модулированной несущей, на множество близко расположенных узкополосных каналов, занимаемых несущими, каждая из которых использует разную частоту. Но соседние несущие расположены близко друг к другу, они смешиваются и создают взаимные помехи. Несущие разделяются методом ортогонализации, они образуют ортогональную систему сигналов. Page 41

OFDM: Orthogonal Subcarriers Frequencies chosen so that an integral number of cycles in a symbol period They do not need to have the same phase, so long integral number of cycles in symbol time T ! 42

Orthogonal Frequency Division Multiplexing OFDM allows overlapping subcarriers frequencies http: //www 1. linksys. com/products/images/ofdm. gif 802. 11 a 43

OFDM DEFINITION OFDM = Orthogonal FDM Carrier centers are put on orthogonal frequencies ORTHOGONALITY - The peak of each signal coincides with trough of other signals Subcarriers are spaced by 1/Ts

2. 5. Ортогональное представление в сети Wi-Fi использует схему OFDM с 64 несущими, за счет чего суммарный объем передаваемых данных резко увеличивается. Несущие ортогональны, поэтому из суммарного смешанного сигнала можно выделить несущую С, вычисляя скалярное произведение С на суммарный сигнал. Таким образом, примитивном использовании широкой полосы скорость передачи 6 Мбит/c; метод DSSS увеличивает скорость до 11 Мбит/c; метод OFDM увеличивает скорость до 54 Мбит/с. Page 45

2. 5. Ортогональное представление в сети Третья технология использования широкой полосы в беспроводной передачи информации– это FHSS (Frequency-Hopping Spread-Spectrum - скачкообразная перестройка частоты). В технологии FHSS используется метод перескока рабочей частоты передаваемого сигнала между несколькими заданными частотами с определенной скоростью и в определенной последовательности, что позволяет повысить помехозащищенность. Устройства со скачкообразной перестройкой частоты отличаются меньшими габаритами и дешевле в изготовлении. Продукты FHSS потребляют меньшую мощность, чем DSSS-изделия. Page 46

Протоколы серии 802. 11 (Wi-Fi)

802. 11 a X 802. 11 b (Taxa de Dados) 802. 11 b 54 Mbps Velocidade máxima 802. 11 a 11 Mbps (11, 5. 5, 2, 1 Mbps) (54, 48, 36, 24, 18, 12, 6 Mbps) Real: 28 Mbps Área Real: 5. 2 Mbps 50 Metros 100 Metros ISM (5 GHz) ISM (2. 4 GHz) Tecnologia OFDM Tecnologia DSSS Banda de Frequência Modulação Segurança em redes sem Fio

2. 6. Пример OFDM с тремя сигналами Пусть точка доступа передает сигналы трем абонентам методом OFDM использования широкой полосы на трех несущих. Применим простейшую амплитудную модуляцию с передачей одного из чисел -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (семь чисел) за квант времени, квант равен 2 единицам времени (секунда, миллисекунда, наносекунда – любая единица, но аппаратура за квант времени должна распознать сигнал). Условно будем считать, что этот передача выполняется за интервал времени [-1, 1]. Передадим абоненту А 1 число 3, несущий сигнал для этого абонента пусть будет многочлен Лежандра L 1(t); абоненту А 2 передадим число -2, несущий сигнал для него пусть будет многочлен Лежандра L 2(t); Page 49

2. 6. Пример OFDM с тремя сигналами Абоненту А 3 передадим число 2, несущий сигнал для этого абонента пусть будет многочлен Лежандра L 3(t). Тогда точка доступа передаст смешанный сигнал x(t) = 3 L 1(t) -2 L 2(t) +2 L 3(t) = = 3 t -2 (3 t 2 -1)/2 +2 (5 t 3 -3 t)/2 График этого сигнала Page 50

2. 6. Пример OFDM с тремя сигналами Получив смешанный сигнал x(t), приемное устройство абонента А 1 находит коэффициент разложения этого сигнала при многочлене Лежандра L 1(t); абонент А 2 находит коэффициент разложения этого сигнала при многочлене Лежандра L 2(t); абонент А 3 находит коэффициент разложения этого сигнала при многочлене Лежандра L 3(t). Абоненты получают числа 3, -2, 2. Page 51