2 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2 1 Интеграл Римана Интегральные

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. 1. Интеграл Римана. Интегральные суммы. Интегрируемость Пусть функция f(x) определена на [a, b]. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек ={a=x 0< x 1<…< xn=b}. Обозначим через набор промежуточных точек для , ={ k}, k [xk, xk+1], k=0, 1, …, n -1. Интегральной суммой для набора f, , называется выражение (1) 1 Величина ( )= (xk+1 - xk) называется диаметр разбиения , точки xk называются узлами разбиения.

2

Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм (f, , ) при ( ) 0; если для любого положительного числа > 0 можно указать такое положительное число , что для любого разбиения отрезка [a, b] , диаметр разбиения которого меньше : ( ) < , независимо от выбора точек i на отрезках [xk, xk+1], выполняется неравенство 3 | (f, , ) - I| < .

4 Определение 2. Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b] , если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ( ) 0. Указанный предел I называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается следующим образом:

Теорема 1. Если функция интегрируема, то она ограничена. 5 Замечание. Ограниченность функции не гарантирует ее интегрируемость по Риману

2. 2. СУММЫ ДАРБУ И ИХ СВОЙСТВА Пусть функция f(x) определена на [a, b] и ={a=x 0< x 1<…< xn=b} разбиением отрезка [a, b]. Нижней суммой Дарбу называется сумма 6 Верхней суммой Дарбу называется сумма

7

8 Определение 3. Если разбиение 2 получено из разбиения 1 добавлением некоторого числа узлов, то говорят, что разбиение 2 следует за разбиением 1 (или 2 является размельчением 1), при этом пишут 1 < 2.

Свойства сумм Дарбу: 1) Для любого разбиения и набора промежуточных точек имеют место соотношения s(f, ) ( f, , ) S(f, ). 2) Если 1 < 2 два разбиения данного отрезка, то s(f, 1) s(f, 2) , S(f, 2) S(f, 1). 3) Для любых разбиений 1 , 2 данного отрезка справедливо неравенство s(f, 1) S(f, 2). 9 4) Множество {S} верхних сумм данной функции f(x) для всевозможных разбиений отрезка [а, b] ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху.

СВОЙСТВА СУММ ДАРБУ (ПРОДОЛЖЕНИЕ): 5) Пусть разбиение 1 отрезка [а, b] получено из разбиения добавлением к последнему р новых точек, и пусть s*, S* и s, S — соответственно нижние и верхние суммы разбиений 1 и . Тогда для разностей S S* и s* s может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения , числа р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции f(x) на отрезке [а, b]. Именно, S – S* (M - m)p , s* - s (М - m)р. 10 6) Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу от функции f(x) на отрезке [а, b] являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при 0.

2. 3. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 11

12