2 Общие принципы и этапы построения математических моделей

2. Общие принципы и этапы построения математических моделей систем. 2. 1. Структурный анализ и структурный синтез сложных технологических систем Сложные системы характеризуются функцией, целью и структурой. Для выполнения цели функционирования система должна иметь необходимый набор элементов, объединенных внутренними связями и образующими структуру, необходимую для функционирования в направлении достижения поставленной цели. Для создания математических моделей, используемых для исследования поведения и свойств систем, используют обычно системный подход, состоящий из системного анализа и системного синтеза. В соответствии с этим подходом сложная система анализируется и расчленяется на боле простые системы, вплоть до элементарных процессов. Эта процедура называется системным анализом. Реальная система и ее элементы упрощаются и полученная схема описывается с помощью основных физико-химических закономерностей и подходящего математического аппарата. В модели учитываются все основные черты рассматриваемого объекта и она не должна содержать деталей, усложняющих ее и делающих затруднительным анализ 1

Расчленение сложного процесса в объекте на элементарные стадии называется системным анализом процесса. Объединение математических описаний отдельных элементарных процессов в единое математическое описание объекта называется системным синтезом. После построения модели необходимо проверить насколько верно описывает модель качественные и количественные характеристики объекта моделирования. Для этого проверяют адекватность модели. Адекватность модели проверяется путем сопоставления результатов моделирования с результатами наблюдения за характеристиками системы в процессе ее функционирования. Адекватность модели зависит от того, насколько справедливы упрощения, сделанные при формулировке модели. Если модель адекватна, ее можно использовать для дальнейшего анализа поведения моделируемого объекта и системы в целом. Если модель не адекватна, необходимо либо пересмотреть значения параметров модели параметрическая идентификация. Либо пересмотреть структуру модели. Эта процедура называется структурной идентификацией модели. При построении модели используется блочная структура модели. В соответствии с этой структурой модель представляется в виде совокупности отдельных блоков, описывающих элементарные процессы в объекте. Блоки объединяются в модель в соответствии со структурой объекта 2

Процессы в технологических объектах происходят, как правило, в движущихся многофазных потоках, они сопровождаются переносом тепла и массы движущимися потоками и сопровождаются химическими превращениями исходных исходного сырья в продукты переработки. Эти процессы обычно сопровождаются выделением или поглощением тепла. В соответствии с этим, структура технологического объекта как системы может быть представлена в следующем виде: Рис. 2. 1. Структурная схема технологического объекта 3

2. 2. Обобщенная структурная модель металлургического процесса В основе всех металлургических технологий лежит совокупность взаимосвязанных физико-химических превращений, направленных на разрушение химических соединений, присутствующих в рудах (концентратах) превращение металлов в элементарный вид, очистку от примесей Совокупность всех процессов, реализуемых в данном аппарате при переработке исходного сырья в конечные продукты, называется технологическим процессом ТЕП. Как известно, металлургические процессы можно разделить на две группы: Пирометаллургические Гидрометаллургичесие Первые осуществляют при повышенных температурах, вторые – в водных средах или других растворителях при умеренных температурах. Аппараты, для пирометаллургических процессов, называют металлургическими печами. Во всех печах нужен источник генерации тепловой энергии и в соответствии с этим выделяют три группы печей: Топливные Электрические Автогенные. 4

Гидрометаллургические аппараты иногда называют баковыми. Эти аппараты можно классифицировать в первую очередь по технологическому предназначению: Смесители – емкости с перемешивающими устройствами различного типа – механическими мешалками, с эрлифтным перемешиванием и др. типами Реакторы – аппараты для выщелачивания, экстракторы, автоклавы и др. Аппараты для разделения фаз – сгустители, тканевые фильтры рамного типа, фильтр-прессы, патронные фильтры, циклоны, центрифуги Колонная аппаратура - экстракционные и ректификационные колонны, абсорберы, адсорберы Сушилки - барабанного типа, с взвешенным слоем и др. 5

Рис. 2. 2 Обобщенная структура металлургического процесса: а) схема первого приближения, 6

Рис. 2. 2 Обобщенная структура металлургического процесса: , б) развернутая схема В соответствии с представленной структурой мы рассмотрим закономерности отдельных элементарных процессов, происходящих в технологических объектах. Начнем рассмотрение с процессов переноса 7 массы в движущихся средах.

Основные допущения модели идеального перемешивания Объемный расход жидкости постоянный. Объем жидкости в аппарате постоянный. Концентрация индикаторного вещества (трассера) на выходе из аппарата, равна концентрации его в аппарате (условия идеального смешения). В аппарате соблюдаются условия квазистационарности – изменение концентрации во входном потоке происходит медленнее, чем устанавливается равномерное распределение вещества по всему объему. Составим уравнение материального баланса вещества для этого аппарата. 8

9

10

Применение преобразования Лапласа для анализа математических моделей 11

12

Обратное преобразование Лапласа 13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Передаточная функция диффузионной модели 23

Передаточная функция аппарата больших размеров 24

25

26

27

28

29

30

31

32

Структура многофазных потоков Прямоточное движение потоков Противоточное движение потоков 33

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА С МНОГОФАЗНЫМИ ПОТОКАМИ где i=1, …, N – число реагирующих компонентов. J=1, …, F – число фаз, образующих потоки регентов. Dj- коэффициент диффузионного перемешивания в j-й фазе uj-линейная скорость движения потока j-й фазы i, j- коэффициент массопередачи i-го в j-й фазу wi, j – скорость реакции i-го компонента в j-й фазе j – коэффициент теплопередачи между фазами Сp, j, j, j – теплоемкость, плотность и теплопроводность j-й фазы. 34