2 Линейное программирование Рассматриваемые вопросы o Основные понятия

2. Линейное программирование Рассматриваемые вопросы: o Основные понятия линейного программирования o Графический метод решения задачи линейного программирования o Симплексный метод o Пример применения симплексного метода (С) Веденяпин Е. Н. 2012 1

2. 1. Основные понятия линейного . 1. программирования Линейное программирование – это раздел математики, в котором изучаются методы исследования и отыскания экстремумов линейных функций, на аргументы которых наложены линейные ограничения. Целевая функция – это линейная функция, для которой отыскивается экстремум. Система ограничений – это набор количественных соотношений между переменными, выражающий определенные требования экономической задачи в виде уравнений и/или неравенств. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 2

Математическая модель экономической задачи оптимизации - это совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее аргументы. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 3

Математическая модель задачи линейного программирования Ресурсные ограничения Естественные ограничения (С) Веденяпин Е. Н. 2012 4

Интерпретация математической модели Имеется n ресурсов при некоторых m ограничениях. Необходимо определить объемы этих ресурсов, при которых целевая функция достигает максимума (минимума), то есть найти оптимальное распределение ограниченных ресурсов. При этом возникают также и ограничения, которые называются естественными Замечание: Экстремум целевой функции отыскивается на допустимом множестве решений, определяемом системой ограничений. Краткая форма математической модели (С) Веденяпин Е. Н. 2012 5

Этапы составления математической модели v обозначить переменные; v составить целевую функцию в соответствии с условиями задачи; v записать систему ограничений с учетом имеющихся в условиях задачи показателей. Замечание: Если все ограничения задачи заданы уравнениями, а переменные xj>0, то модель такого вида называется канонической. Если же хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель называется неканонической. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 6

2. 2. Графический метод решения задачи линейного программирования Суть графического метода. Графический метод применяется для решения задач линейного программирования с двумя переменными, заданными в неканонической форме, и остальными переменными, заданными в канонической форме, при условии, что они содержат не более двух свободных переменных. Геометрическая интерпретация. Отыскивается угловая точка (или набор точек) из допустимого множества решений, на которой (которых) достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) остальных линий уровня в направлении наискорейшего роста целевой функции. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 7

Градиент скалярной функции Замечание: Компоненты вектора С являются коэффициентами целевой функции L(x). (С) Веденяпин Е. Н. 2012 Уильям Роуан ГАМИЛЬТОН (1805 – 1865) 8

Расположение экстремума линейной функции L C B y A C’ B’ 0 A’ D D’ M N N’ M’ x x (С) Веденяпин Е. Н. 2012 9

Определение оптимального плана выпуска изделий Завод выпускает два вида мороженого: v сливочное; v молочное. Исходный продукт Расход исх. продуктов на 1 кг мороженого Запас, кг сливочное молоко 0. 8 0. 5 400 наполнитель 0. 4 0. 8 365 Суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на молочное не более чем на 100 кг. Суточный спрос на молочное мороженое не более 350 кг. Цена сливочного мороженого 16 у. е. /кг. Цена молочного мороженого 14 у. е. /кг. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 10

Постановка задачи Определить суточный выпуск мороженого каждого вида, при котором доход от реализации продукции будет максимальным. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 11

Решение задачи х1 – суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг; х2 – суточный объем выпуска молочного мороженого, кг Целевая функция Ресурсные ограничения ограничение по молоку ограничение по наполнителям ограничение по спросу Естественные ограничения (С) Веденяпин Е. Н. 2012 12

Нахождение области определения целевой функции х2 х1 0 (С) Веденяпин Е. Н. 2012 13

Определение максимума целевой функции х2 A B Линия уровня D L 0 E 0 Градиент х1 F ВЫВОД: Точка D является точкой максимума целевой функции. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 14

Определение максимального дохода Определение координат точки D (оптимальное решение) Решение системы уравнений Максимальный суточный доход предприятия (С) Веденяпин Е. Н. 2012 15

2. 3. Симплексный метод Замечание 1. Если задача линейного программирования содержит две независимые переменные, то она решается графическим методом. Целевая функция достигает максимума в одной из вершин многоугольника. Замечание 2. Если число независимых переменных равно трем, то область допустимых решений является выпуклым многогранником в пространстве трех измерений. Целевая функция достигает максимума в одной из вершин многогранника. x 3 x 1 x 2 Замечание 3. В общем виде, если число независимых переменных N>3, то область допустимых значений, задаваемых системой ограничивающих условий, представляется выпуклым N–мерным многогранником в N– –мерным мерном пространстве. Целевая функция достигает максимума в одной из вершин N– мерного многогранника. мерного (С) Веденяпин Е. Н. 2012 16

Универсальный метод линейного программирования Если число независимых переменных больше трех, то задача линейного программирования становится трудоемкой. Существует универсальный метод решения задач линейного программирования, называемый симплексным методом. Джордж Бернард ДАНЦИГ (1914 -2005) (С) Веденяпин Е. Н. 2012 17

Суть симплексного метода Решение задачи симплексным методом начинается с рассмотрения одной из вершин многогранника. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. ВЫВОД: Переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 18

Система ограничений Замечание: Симплексный метод применим к задачам линейного программирования, сформулированным в канонической форме (все ограничения заданы в виде равенств). Система ограничений линейных уравнений, в количества уравнений m. первые m неизвестных, неизвестные для канонической формы – это система которой количество неизвестных n больше Если ранг системы равен m, то можно выбрать которые выражаются через остальные (n-m) (n Выбранные m неизвестные, которые выражаются через другие переменные, называются базисными, остальные (n-m) – свободными. (n (С) Веденяпин Е. Н. 2012 19

Базисные решения Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных, выраженных через свободные, получаем различные решения системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Представляют интерес особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными (С) Веденяпин Е. Н. 2012 20

Опорные решения Базисное решение называется допустимым базисным решением (опорным решением), если в нем значения переменных неотрицательны. Замечание: Если в качестве базисных взяты переменные x 1, x 2, . . . , xr, то решение {b 1, b 2, . . . , br, 0, . . . , 0} будет опорным при условии, что b 1, b 2, . . . , br≥ 0. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 21

Фундаментальная теорема симплекс-метода Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме найдется опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Замечание: Поскольку различных опорных решений системы ограничений конечное число, то решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение L самое большое. Однако в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. ВЫВОД. Симплекс-метод представляет собой процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, заранее найденного опорного решения по определенному алгоритму подсчитывается новое опорное решение, на котором значение целевой функции L не меньше, чем на старом. После конечного числа шагов приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 22

Общая схема симплексного метода v Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m

ВЫВОД: Применение симплексного метода распадается на два этапа: v нахождение допустимого базисного решения системы ограничений (или установление факта ее несовместности); v нахождение оптимального решения. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 24

Симплекс-таблицы Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц, которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Замечание: Перед составлением симплекс-таблицы система ограничений приведена к допустимому базисному виду, c помощью которого из целевой функции должны быть исключены базисные переменные. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 25

Преобразование системы уравнений Замечание 1: Для определенности записи примем, что в качестве базисных переменных можно взять переменные x 1, x 2, . . . , xm и что при этом b 1, b 2, . . . , bm ≥ 0 (то есть соответствующее базисное решение является опорным). Замечание 2: Для составления симплекс-таблицы во всех равенствах в 2: условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся в левую часть, а свободные оставляются справа (С) Веденяпин Е. Н. 2012 26

Составление исходной симплекс-таблицы Баз. пер. Св. чл. х1 Коэффициенты при базисных переменных Коэффициенты при свободных переменных х1 х2 … … хm xm+1 xm+2 … … хn b 1 1 0 … … 0 -a 1, m+1 -a 1, m+2 … … -a 1, n х2 b 2 0 1 … … 0 -a 2, m+1 -a 2, m+2 … … -a 2, n … … … хm bm 0 0 … … 1 -am, m+2 … … -am, n L c 0 0 0 … … 0 -cm+1 -cm+2 … … -cn (С) Веденяпин Е. Н. 2012 27

Алгоритм перехода к следующей симплекс-таблице v В индексной (последней) строке симплекс-таблицы среди индексной коэффициентов (кроме столбца свободных членов) выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании максимума, (либо наибольшее положительное при отыскании минимума). Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным. v Столбец таблицы, отвечающем выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в индексной строке называется ключевым. В ключевом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция не ограничена на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет. v Среди выбранных коэффициентов ключевого столбца выбирается тот, для которого модуль отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимален. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка, в которой он находится – ключевой (С) Веденяпин Е. Н. 2012 28

Алгоритм перехода к следующей симплекстаблице (продолжение) v Базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. v Каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) необходимо разделить на разрешающий элемент и полученные значения записать в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы. v строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 29

Алгоритм перехода к следующей симплекстаблице (продолжение) v Все элементы ключевого столбца в новой таблице равны нулю, кроме разрешающего элемента, он всегда равен единице. v Столбец, у которого в ключевой строке имеется нуль, в новой таблице будет таким же. v Строка, у которой в ключевом столбце имеется нуль, в новой таблице будет такой же. v В остальные клетки новой таблицы преобразования элементов старой таблицы. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 записывается результат 30

Алгоритм перехода к следующей симплекс-таблице (окончание) Новый элемент = Старый элемент ключевого столбца элемент ключ. · строки данного столбца ключ. элемент (С) Веденяпин Е. Н. 2012 31

Анализ полученной симплекс-таблицы Если в индексной строке нет отрицательных значений (в задаче на нахождение максимума), либо положительных (в задаче на нахождение минимума) кроме стоящего на месте с0 (свободного столбца), то оптимальное решение получено. В противном случае осуществляется переход к новой симплекс-таблице. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 32

2. 4. Пример применения симплексного метода Для производства четырех видов изделий A 1, A 2, A 3, A 4 завод должен использовать три вида сырья I, III, запасы которого на планируемый период составляют соответственно 1 000, 600 и 150 кг. В таблице приведены нормы расхода каждого вида сырья на производство единицы каждого изделия, а также их запасы и прибыль от реализации единицы изделия каждого вида. Запасы Виды сырья, Нормы расхода, кг кг А 1 А 2 А 3 I 1 000 5 1 0 II 600 4 4 2 III 150 1 0 2 6 2 2. 5 Прибыль, у. е. Составить план выпуска указанных изделий, обеспечивающий достижение максимальной прибыли от их реализации. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 33

Математическая модель задачи х1 – количество выпущенных единиц изделия А 1; х2 – количество выпущенных единиц изделия А 2; х3 – количество выпущенных единиц изделия А 3; х4 – количество выпущенных единиц изделия А 4 ограничение по сырью III (С) Веденяпин Е. Н. 2012 34

Приведение системы ограничений к каноническому виду Постановка задачи: Найти такое допустимое базисное решение системы задачи: уравнений , которое максимизирует целевую функцию L(Х). Замечание: Так как система ограничений состоит из трех независимых уравнений с семью переменными, то число базисных переменных должно равняться 3, а число свободных – 4. (С) Веденяпин Е. Н. 2012 35

Этап 1. Поиск допустимого базисного решения Выберем в качестве базисных переменных величины x 5, x 6, x 7. . Положим свободные переменные x 1, x 2, x 3, x 4 равными нулю. Получим базисное решение Полученное решение является допустимым, поскольку (С) Веденяпин Е. Н. 2012 36

Этап 2. Шаг. 1. Составление первой симплекс-таблицы Основные переменные х5, х6, х7 Базисные переменные Св. члены х5 х6 х7 х1 х2 х3 х4 х5 1 000 1 0 0 5 1 0 2 х6 600 0 1 0 4 2 2 1 х7 150 0 0 1 1 0 2 1 L(x) 0 0 -6 -2 -2. 5 -4 Базисное решение Ключевой столбец х1 Разрешающий элемент 1 (С) Веденяпин Е. Н. 2012 37

Шаг. 2. Составление новой симплекс-таблицы Основные переменные х5, х6, х1 Базисные переменные Св. члены х5 х6 х7 х1 х2 х3 х4 х5 250 1 0 -5 0 1 -10 -3 х6 0 0 1 -4 0 2 -6 -3 х1 150 0 0 1 1 0 2 1 L(x) 900 0 0 6 0 -2 9. 5 2 Базисное решение (С) Веденяпин Е. Н. 2012 38

Шаг. 3. Составление новой симплекс-таблицы Основные переменные х5 , х2 , х1 Базисные переменные Св. члены х5 х6 х7 х1 х2 х3 х4 х5 250 1 -0. 5 -3 0 0 -7 0 х2 0 0 0. 5 -2 0 1 -3 0 х1 150 0 0 1 1 0 2 1 L(x) 900 0 1 2 0 0 3. 5 -1 Базисное решение (С) Веденяпин Е. Н. 2012 39

Шаг. 4. Составление новой симплекс-таблицы Основные переменные х5, х2, х1 Базисные переменные Св. члены х5 х6 х7 х1 х2 х3 х4 х5 475 1 -0. 5 -1. 5 0 -4 0 х2 225 0 0. 5 -0. 5 1 0 0 х4 150 0 0 1 1 0 2 1 L(x) 1050 0 0 3 1 0 5. 5 0 Оптимальное решение (С) Веденяпин Е. Н. 2012 40

Результаты расчета Максимальная прибыль 1 050 у. е. Оптимальный план выпуска изделий Продукция типа А 2 225 ед. Продукция типа А 4 150 ед. Продукцию типа А 1 и А 3 производить невыгодно Сырье типa I и III будет израсходовано полностью Сырье типa II в объеме 475 кг останется неизрасходованным (С) Веденяпин Е. Н. 2012 41

(С) Веденяпин Е. Н. 2012 42