2 Исчисление высказываний Лекция 6 1 Понятие

2. Исчисление высказываний Лекция 6 1

Понятие алгебры Определение n арной операцией на множестве M называется функция вида (здесь M M – декартово произведение (множество упорядоченных пар элементов множества М)) 2

Понятие алгебры Определение Алгеброй А называется совокупность < > множества М с заданными на нём операциями S = {f 11, f 12, . . . , f 1 k 1, f 22, . . . , f 2 k 2, . . . , fn 1, . . . , fnkn}, где f 11, f 12, . . . , f 1 k 1 – унарные операции; f 21, f 22, . . . , f 2 k 2 – бинарные операции; … fn 1, . . . , fnkn – n-арные операции; A = < М, S >, М называется носителем алгебры A. Вектор арностей операций алгебры A называется типом алгебры A, совокупность операций S – сигнатурой алгебры A. 3

Понятие булевой алгебры Булевой алгеброй называется совокупность <> булева множества B = {0, 1} (носитель) с заданными на нём операциями S = {¯, , } (сигнатура): A = . Тип булевой алгебры – вектор арностей (1, 2, 2). 4

Понятие алгебры логики Алгеброй логики называется совокупность <> булева множества B = {0, 1} с заданными на нём операциями S = {¯, , ~}: A = . Сигнатура булевой алгебры – вектор арностей (1, 2, 2). 5

Понятие формулы алгебры логики Определение 1) Логические переменные, символы 0 и 1 – формулы алгебры логики. 2) Если А – логическая формула, то (A) – логическая формула алгебры логики. 3) Если А, В – логические выражения, то формулы алгебры логики. , А В, А~В – 6

Понятие высказывания Определение Высказывание – утверждение об изучаемых в рамках области знаний объектах, имеющее однозначно и точно определенное значение. В классической (булевой, двузначной) логике высказываний значение может быть либо истинным либо ложным. В русском языке под высказыванием понимается повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. 7

Понятие исчисления Исчисление – формальная теория (множество формул, полученных из аксиом с помощью правил вывода). 8

Исчисление высказываний Гильберта 1. Алфавит: ¬ и → - связки; ( , ) - служебные символы. А, B, . . . , A 1, B 1, . . . - пропозициональные переменные. 2. Формулы: 1) переменные – формулы. 2) если А, В – формулы, то (¬А) и (А→В) – формулы. 3) других формул не существует; 3. Аксиомы: А 1: (A→(B→A)) A 2: ((A→B→C))→((A→B)→(A→C)) A 3: ((¬B→¬A)→((¬B→A)→B). 4. Правило: (A, A→B)├B - Modus ponens 9

Основные определения Опр. Пусть A(x 1, . . . , xn) - пропозициональная формула, где x 1, . . . , xn входящие в нее пропозициональные переменные. Конкретный набор истинности значений, приписанных переменным x 1, . . . , xn , называется интерпретацией формулы А. Формула может быть истинной (иметь значение 1) при одной интерпретации и ложной (иметь значение 0) при другой интерпретации. Опр. Формула, истинная при некоторой интерпретации, называется выполнимой. Формула, истинная при всех возможных интерпретациях, называется общезначимой (или тавтологией). Опр. Формула, ложная при всех возможных интерпретациях, называется невыполнимой (или противоречием). Опр. Две формулы назовем равносильными, если для любых наборов они принимают одинаковые значения. 10

Основные определения Опр. Говорят, что формула В логически следует из формул A 1, A 2 , . . . , An : A 1, A 2 , . . . , An ╞ B, если формула В имеет значение 1 при всех интерпретациях, при которых формулы A 1, A 2 , . . . , An имеют одновременно значение 1. Свойства: 1) A 1, A 2 , . . . , An ╞ B, A 1, A 2 , . . . , An , ¬B ╞; 2) A 1, A 2 , . . . , An ╞ ¬B, A 1, A 2 , . . . , An , B ╞; 3) A 1, A 2 , . . . , An ╞ B→С, A 1, A 2 , . . . , An , B ╞ С – теорема о дедукции; 11 4) A╞ B, B╞ C, A╞ С – правило силлогизма.

Аксиомы А 1: A 2: A 3: A 4: A 5: A 7: A 8: A→(B→A) (A→B)→((A→(B→C))→(A→C)) A→(B→A&B) A&B→A, A&B→B A→(A B), B→(A B) (A→B)→((A→¬B)→¬A) ¬¬A→A 12

Правила вывода 1. Правило заключения – утверждающий модус (Modus Ponens): "Если из высказывания А следует высказывание В и справедливо (истинно) высказывание А, то справедливо В" ( Способ спуска). Обозначается: 13

Правила вывода 2. Правило отрицания отрицательный модус (Modus Tollens): "Если из А следует В, но высказывание В неверно, то неверно А” (доказательство от противного). Обозначается: 14

Правила вывода 3. Правила отрицания утверждения (Modus Tollen Ponens): "Если истинно А или В (в неразделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое" (Дизъюнктивный силлогизм). Обозначается: 15

Правила вывода 4. Правило транзитивности (упрощенное правило силло гизма): "Если из А следует В, а из В следует С, то из А следует С" (гипотетический силлогизм). Обозначается: 16

Правила вывода 5. Закон противоречия: "Если из А следует В и ¬В, то неверно А". Обозначается: 17

Правила вывода 6. Правило контрапозиции: "Если из А следует В, то из того, что неверно В, следует, что неверно А": Обозначается: 18

Правила вывода 7. Правило сложной контрапозиции: "Если из А и В следует С, то из А и ¬С следует ¬В": Обозначается: 19

Правила вывода 8. Правило сечения: "Если из А следует В, а из В и С следует D, то из А и С следует D": Обозначается: 20

Правила вывода 9. Правило импортации (объединения посылок): Обозначается: 21

Правила вывода 10. Правило экспортации (разъединения посылок): Обозначается: 22

Правила вывода 11. Правила дилемм: а) простая конструктивная дилемма; б) сложная конструктивная дилемм); в) простая деструктивная дилемма; г) сложная деструктивная дилемм). 23

Правила вывода 12. Правило резолюций: 24