Скачать презентацию 2 Действия над векторами Векторы можно Скачать презентацию 2 Действия над векторами Векторы можно

2. дествия над вект..ppt

  • Количество слайдов: 33

§ 2. Действия над векторами § 2. Действия над векторами

Векторы можно: 1. 2. 3. 4. Складывать; Вычитать; Умножать на ненулевое число; Умножать вектор Векторы можно: 1. 2. 3. 4. Складывать; Вычитать; Умножать на ненулевое число; Умножать вектор на вектор (скалярно, векторно, смешанно)

П. 1. Сложение векторов Пусть даны векторы и Тогда суммой данных векторов будет вектор П. 1. Сложение векторов Пусть даны векторы и Тогда суммой данных векторов будет вектор , координаты которого найдем так: Сложение векторов можно произвести по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Правило треугольника сложения векторов Правило параллелограмма сложения векторов Правило треугольника сложения векторов Правило параллелограмма сложения векторов

Свойства сложения векторов • Свойства сложения векторов •

П. 2. Вычитание векторов Пусть даны векторы и Тогда разностью данных векторов будет вектор П. 2. Вычитание векторов Пусть даны векторы и Тогда разностью данных векторов будет вектор координаты которого найдем так:

П. 3. Умножение вектора на ненулевое число Пусть дан вектор. Тогда произведением данного вектора П. 3. Умножение вектора на ненулевое число Пусть дан вектор. Тогда произведением данного вектора на число называют вектор , для которого выполнено: 1. Векторы 2. 3. Векторы векторы и коллинеарные; ; , если k>0 , если k<0

Свойства умножения вектора на число • Свойства умножения вектора на число •

П. 4. Умножение векторов А) Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух векторов называют П. 4. Умножение векторов А) Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух векторов называют число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Пусть даны векторы и Тогда их скалярное произведение равно:

Свойства скалярного произведения Свойства скалярного произведения

Теорема Пусть в ортонормированном базисе даны векторы и. Тогда их скалярное произведение найдем по Теорема Пусть в ортонормированном базисе даны векторы и. Тогда их скалярное произведение найдем по формуле: Доказательство: разложим данные векторы по базису. Тогда получим:

Тогда Ч. т. д. Тогда Ч. т. д.

Следствие 1. Угол между векторами найти так: можно Следствие 1. Угол между векторами найти так: можно

Следствие 2 Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда. Следствие 3 Ненулевые векторы Следствие 2 Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда. Следствие 3 Ненулевые векторы и параллельны тогда и только тогда, когда

В) Векторное произведение векторов Тройка векторов называется упорядоченной, если известно какой из них является В) Векторное произведение векторов Тройка векторов называется упорядоченной, если известно какой из них является первым, вторым и третьим. Упорядоченная тройка векторов является правой, если после приведения их к общему началу кратчайший поворот от первого ко второму вектору из конца третьего вектора виден против часовой стрелки. Иначе, тройка векторов – левая. 3 2 1

Векторным произведением векторов называют вектор , для которого выполнено: Векторным произведением векторов называют вектор , для которого выполнено:

Свойства векторного произведения 5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна длине вектора Свойства векторного произведения 5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна длине вектора

Теорема Пусть в ортонормированном базисе даны векторы и. Тогда их векторное произведение найдем по Теорема Пусть в ортонормированном базисе даны векторы и. Тогда их векторное произведение найдем по формуле:

Доказательство: Разложим данные векторы по базисным векторам, тогда получим Найдем векторное произведение данных векторов. Доказательство: Разложим данные векторы по базисным векторам, тогда получим Найдем векторное произведение данных векторов.

Так как Аналогично по свойствам имеем Так как Аналогично по свойствам имеем

Тогда с учетом данных равенств имеем: Ч. т. д. Тогда с учетом данных равенств имеем: Ч. т. д.

С) Смешанное произведение трех векторов Смешанным произведением векторов называют число , равное скалярному произведению С) Смешанное произведение трех векторов Смешанным произведением векторов называют число , равное скалярному произведению вектора на вектор , т. е.

Свойства смешанного произведения 1. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда. 2. На некомпланарных Свойства смешанного произведения 1. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда. 2. На некомпланарных векторах можно построить параллелепипед, объем которого равен. 3. . 4. Объем пирамиды равен

Теорема Пусть даны векторы , тогда их смешанное произведение вычисляется по формуле Теорема Пусть даны векторы , тогда их смешанное произведение вычисляется по формуле

Доказательство: Так как по определению смешанное произведение есть число равное , то найдем сначала Доказательство: Так как по определению смешанное произведение есть число равное , то найдем сначала координаты вектора, полученного в результате векторного произведения векторов и :

В результате вычисления данного определителя, находим координаты вектора Найдем скалярное произведение векторов Ч. т. В результате вычисления данного определителя, находим координаты вектора Найдем скалярное произведение векторов Ч. т. д. и.

Линейная комбинация векторов • Линейная комбинация векторов •

Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа , из которых хотя бы Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, а линейная комбинация данных векторов равна нулю. Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все действительные числа равны нулю.

Замечание 1 Если хотя бы один из векторов является нулевым, то эти векторы линейно Замечание 1 Если хотя бы один из векторов является нулевым, то эти векторы линейно зависимы. Замечание 2 Если среди n векторов любые (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Теорема 1 Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность. Следствие Теорема 1 Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность. Следствие 1. Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы. Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

Теорема 2 Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Следствие Теорема 2 Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Следствие 3 Каковы бы не были неколлинеарные векторы и любой вектор , лежащий с ними в одной плоскости, найдутся такие действительные числа m и n, что

Теорема 3 Любые четыре вектора линейно зависимы. Утверждение 1 Любая пара неколлинеарных векторов на Теорема 3 Любые четыре вектора линейно зависимы. Утверждение 1 Любая пара неколлинеарных векторов на плоскости образует на этой плоскости базис. Утверждение 2 Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.