§ 2. Числовые множества и их границы П. 1. Виды числовых промежутков и принцип разделяющего числа Отрезок [a, b] a b x Полуинтервал [a, b); (a, b] a b x Луч [a, +∞); (-∞, a] a x Интервал (a, b); (-∞, a); (a, +∞); (-∞, +∞) a b x
Пусть даны два множества действительных чисел X и Y. ОПР. 2. 1. Будем говорить, что множество X лежит левее множества Y, если для любого числа x из множества X и любого числа y из множества Y выполняется x≤y. X c Y ОПР. 2. 2. Число c называется разделяющим числовых множеств X и Y , одно из которых расположено левее другого, если выполняется неравенство x≤c≤y.
Принцип разделяющего числа (аксиома непрерывности множества действительных чисел) Пусть множество действительных чисел X лежит левее множества Y. Тогда существует число c, разделяющее эти множества. Аксиома непрерывности говорит нам о том, что множество действительных чисел всюду сплошно на числовой прямой или что на числовой прямой нет «дыр» .
Теорема 2. 1. (критерий единственности разделяющего числа) Число c, разделяющее числовые множества X и Y , одно из которых лежит левее другого ( X левее Y), единственно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: каково бы ни было положительное число έ, существуют два числа x из множества X и y из множества Y, для которых y-x<έ , т. е. расстояние между которыми меньше числа έ.
П. 2. Границы и грани числовых множеств ОПР. 2. 3. Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует такое число M, что для любого числа x из множества X выполнено неравенство x≤M. Число M в этом случае называется верхней границей множества X. x ОПР. 2. 4. Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что для любого числа x из множества X выполнено неравенство x≥m. Число m в этом случае называется нижней границей множества X.
П. 2. Границы и грани числовых множеств ОПР. 2. 5. Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено и снизу и сверху, т. е. существует такое число M, что |x|≤M. x ОПР. 2. 6. Наименьшая из всех верхних границ числового множества X называется точной верхней границей или верхней гранью и обозначается sup X (от латинского слова supremum- наивысшее). Наибольшая из всех нижних границ множества X называется точной нижней границей или нижней гранью этого множества и обозначается inf X (от латинского infinum- наинизшее).
П. 3. Абсолютная величина числа ОПР. 2. 7. Абсолютной величиной (или модулем) числа a называется само число a, если a>0, и число -a, если a
Свойства модуля числа 1) |a|≥ 0; 2) |a|=|-a|; 3) -|a|≤a≤|a|; 4) |a*b|=|a|*|b|; ε 5) |a: b|=|a|: |b|; 6) |a+b|≤|a|+|b|; 7) |a-b|≥|a|-|b|; 8) Пусть ε >0, тогда неравенства |a|<ε и –ε
П. 4. Теорема о стягивающейся последовательности отрезков ОПР. 2. 8. Последовательность отрезков на числовой прямой называется стягивающейся, если выполняются два условия: 1) каждый следующий отрезок содержится в предыдущем, т. е. для любого натурального номера n ; 2) длины отрезков стремятся к нулю, т. е. разность с ростом номера становится очень маленькой. x
Теорема 2. 2. (о стягивающейся последовательности отрезков) Какова бы ни была стягивающаяся последовательность отрезков, существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам одновременно, т. е.