2 6 Механика твердого тела Абсолютно твердое тело

2. 6 Механика твердого тела Абсолютно твердое тело - тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться (т. е. изменять свою форму и размеры - расстояние между двумя соседними частицами этого тела остается постоянным). Поступательное движение - это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой (на оси вращения).

2. 6. 1 Момент инерции Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется скалярная величина, равная Моментом инерции тела (системы n-тел) относительно данной оси называется скалярная величина где ri - расстояние i-точки массы mi до оси,

или в случае непрерывного распределения масс Значения J: • для полого тонкостенного цилиндра радиуса R, ось является осью симметрии цилиндра J = m. R 2 • для сплошного цилиндра (диска) радиуса R, ось является осью симметрии цилиндра

• для прямого тонкого стержня длины L: 1. ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину 2. ось перпендикулярна стержню и проходит через один из его концов для шара радиуса R, ось проходит через центр шара • для шара радиуса R, ось проходит через центр шара

2. 6. 2 Момент силы hi O i β β ri Fi Fτi

В некоторой точке i твердого тела приложена сила Fi. Сила лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения. Моментом силы относительно оси вращения называют векторное произведение радиуса-вектора на силу:

Раскрывая векторное произведение где β – угол между векторами Величина называется плечом силы. Поэтому:

2. 6. 3 Кинетическая энергия вращения абсолютно твердого тела вращающегося около неподвижной оси z с угловой скоростью ω где Jz - момент инерции тела относительно оси z.

Если цилиндр скатывается с наклонной плоскости без скольжения, то кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения где m - масса тела, vc - скорость центра массы тела, Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр массы, ω - угловая скорость тела.

2. 6. 4 Оси свободного вращения, главные оси инерции твердого тела Оси вращения твердого тела, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия внешних сил, называются осями свободного вращения. Три взаимно перпендикулярные свободные оси вращения, проходящие через центр масс тела, называются главными осями инерции твердого тела.

Для однородного цилиндра одна из главных осей инерции есть его геометрическая ось, а остальные две могут быть проведены через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Для шара главными осями инерции являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

2. 6. 5 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z выглядит так: Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то здесь - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси) , -угловое ускорение, ω - угловая скорость тела.

2. 6. 6 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторное произведение импульса материальной точки p на расстояние r.

Раскроем векторное произведение L = r∙p∙sina = m∙v∙r∙sina = p∙l, где - радиус вектор из точки О в точку А, - импульс материальной точки, - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к , α - угол между векторами и , l = r∙sina - плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина где ri - радиус окружности, по которой движется точка массы mi со скоростью vi. Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси z называется скалярная величина здесь учтено, что vi = ω∙ri.

Продифференцируем уравнение по времени и получим еще одну форму уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: В векторной форме

В замкнутой системе момент внешних сил то имеем закон сохранения момента импульса: момент импульса в замкнутой системе не изменяется с течением времени. - Это фундаментальный закон природы.

2. 6. 7 Упругая деформация твердых тел. В природе нет абсолютно твердых тел и все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (остаточными). Деформации реальных тел всегда пластические, однако если деформации малы, то пластическими деформациями можно пренебречь и рассматривать только упругие деформации.

Рассмотрим однородный стержень длиной и площадью поперечного сечения s, к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы , в результате чего длина стержня меняется на величину (при растяжении положительно, а при сжатии отрицательно). Величина называется относительной деформацией. Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением σ.

Эксперимент: при малых деформациях (пока справедливо предположение об отсутствии пластической деформации) σ = Eε, где Е - модуль Юнга или где k - коэффициент упругости Гука.

2. 6. 8 Силы трения. Тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил, с течением времени замедляет свое движение и останавливается. Это объясняется существованием силы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга.

Силы трения могут быть различной природы, но в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел. Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое, вязкое) трение. Внешнее трение возникает в плоскости касания двух тел при их относительном перемещении, и оно обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей (или обусловлено силами межмолекулярного взаимодействия, если поверхности очень гладкие): если тела неподвижны, то возникает трение покоя, если тела движутся, то возникает трение скольжения, качения или верчения.

Для силы скольжения (эксперимент) Fтр = f∙N, где N - сила нормального давления, f коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей. Для уменьшения трения скольжения используют смазку, которая заполняет неровности между поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности перестают касаться друга - внешнее трение скольжения заменяется на значительно меньшее внутреннее трение жидкости.

Другой способ уменьшения силы трения замена трения скольжения на трение качения (шариковые и роликовые подшипники). Для силы трения качения (эксперимент) где r - радиус катящегося коэффициент трения качения. тела, fк -