2 17 2018 Тема 5 Арифметические основы компьютера Всё

2/17/2018 Тема № 5. Арифметические основы компьютера «Всё есть число» Пифагорийцы Пифагор (Рафаэль Санти) МБОУ г. Иркутска лицей ИГУ, ligu. edu 38. ru Лавлинский М. В. , Lavlinski. MV@mail. ru

I. Введение 1. Определения Система счисления (СС) – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123, 45678, 1010011, CXL Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит СС– это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы СС: § непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа § позиционные – зависит…

2. Непозиционные системы 2. 1. Унарная CC – одна цифра обозначает единицу 2. 2. Римская CC: I – 1 (палец) V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев) X – 10 (две ладони) L – 50 C – 100 (Centum) D – 500 (Demimille) M – 1000 (Mille)

Римская СС Правила: § не ставят больше 3 одинаковых цифр подряд § если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1644 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 MM CCC LXXX 2389 = M M C C C L X X X IX

#1. 3768 = MMMDCCLXVIII 2983 = MMCMLXXXIII 1452 = MCDLII 1999 = MCMXCIX

Недостатки: § для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) § как записать дробные числа? § как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: § номера глав в книгах: § обозначение веков: «Пираты XX века» § циферблат часов

2/17/2018 Домашнее задание 1. Конспект – выучить 2. «ДЗ_Арифметические основы компьютера. doc» Пункт I, задания № 1, 2 МБОУ г. Иркутска лицей ИГУ, ligu. edu 38. ru

2. 3. Славянская CC алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля

3. Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. 3. 1. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10 сотни десятки единицы 2 1 0 разряды 3 7 8 = 3· 102 + 7· 101 + 8· 100 300 70 8

3. 2. Другие позиционные системы: • двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) • двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) • двадцатеричная (1 франк = 20 су) • шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

II. Двоичная СС Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2

1. Перевод целых чисел 10 2 19 18 1 2 9 8 1 2 4 4 0 2 2 2 0 2 10 43210 19 = 100112 2 1 система счисления разряды 100112 = 1· 24 + 0· 23 + 0· 22 + 1· 21 + 1· 20 = 16 + 2 + 1 = 19

#2. 131 = 100000112 79 = 10011112

1010112 = 43 1101102 = 54

Метод подбора 77 10 2 наибольшая степень двойки, которая меньше или равна 5 заданному числу 13 1 77 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 13 … … 5 1 77 = 64 + 8 + 4 + 1 Разложение по степеням двойки: 77 = 26 + 23 + 22 + 20 77 = 1 26 + 0 25 + 0 24 + 1 23 +1 22 +0 21 + 1 20 6543210 разряды 77 = 10011012

2. Перевод дробных чисел 10 2 2 10 0, 375 = 0, 0112 0, 7 = ? 0, 7 = 0, 10110… 2 = 0, 1(0110)2 0 , 750 0, 75 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. 2 1 , 50 Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. 0, 5 2 Большинство дробных чисел хранится в 1 , 0 памяти с ошибкой. 2 -2 = 1 22 = 0, 25 2 1 0 -1 -2 -3 разряды 101, 0112 = 1· 22 + 1· 20 + 1· 2 -2 + 1· 2 -3 = 4 + 1 + 0, 25 + 0, 125 = 5, 375

#3: 0, 625 = 0, 1012 3, 875 = 11, 1112

3. Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 перенос0 -0=0 1 -1=0 1+0=1 1+1=102 1 -0=1 102 -1=1 заем 1 + 1 = 112 1 0 1 1 02 + 1 1 1 0 1 12 1 0 0 0 12 0 1 1 102 0 102 1 0 0 0 12 – 1 1 0 1 12 0 1 0 1 02

#4: 1011012 + 111112 10011002 101112 +1011102 10001012 1110112 + 110112 10101102 1110112 + 100112 10011102

#5: 1011012 – 111112 11102 110112 – 1101012 1100112 – 101012 1101012 – 110112 - 110102 111102

Арифметические операции умножение 1 0 12 1 0 12 + 1 0 12 1 1 0 0 12 деление 1 0 1 2 1 1 12 – 1 1 12 0

Плюсы и минусы 2 ой системы • нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т. п. ); • надежность и помехоустойчивость; • выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными. • десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей; • двоичные числа имеют много разрядов; • запись числа в двоичной системе однородна, поэтому человеку сложно ее воспринимать.

2/17/2018 Домашнее задание 1. Конспект – выучить 2. «ДЗ_Арифметические основы компьютера. doc» Пункт II, задания № 3 - 12 3. Подготовиться к СР МБОУ г. Иркутска лицей ИГУ, ligu. edu 38. ru

2/17/2018 Самостоятельная работа

III. Восьмеричная СС Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

1. Перевод целых чисел 10 8 100 8 96 12 8 8 1 4 4 100 = 1448 8 10 210 разряды 1448 = 1· 82 + 4· 81 + 4· 80 = 64 + 32 + 4 = 100 система счисления

#6: 134 = 2068 75 = 1138 1348 = 9210 758 = 6110

Таблица восьмеричных чисел X 10 X 8 X 2 0 0 000 1 1 001 2 2 010 3 3 011 4 4 100 5 5 101 6 6 110 7 7 111

Перевод в 2 -ую и обратно 10 • трудоемко • 2 действия 8 2 8 = 23 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! 1 7 2 { { { 17258 = 001 111 010 1012 { ! 5

#7: 34678 = 111001101112 21488 = 73528 = 111010102 12318 = 1010012

Перевод из 2 -ой системы 1001011112 Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: 001 011 101 1112 Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 001 011 101 1112 1 Ответ: 1 3 5 7 1001011112 = 113578

#8: 1011010100102 = 55228 111111010112 = 37538 110102 = 15328

2. Арифметические операции сложение 1 5 68 + 6 6 28 1 0 4 08 1 в перенос 6+2=8=8+0 5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4 1+6+1=8=8+0 1 в перенос

#9: 3 5 38 + 7 3 68 13 1 18 1 3 5 38 + 7 7 78 2 3 5 28

вычитание 4 5 68 – 2 7 78 1 5 78 заем (6 + 8) – 7 = 7 заем (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1

#10: 1 5 68 – 6 6 28 - 5 0 48 1 1 5 68 – 6 6 28 2 7 48

2/17/2018 Домашнее задание 1. Конспект – выучить 2. «ДЗ_Арифметические основы компьютера. doc» Пункт III, задания № 13 - 19 3. Подготовиться к СР МБОУ г. Иркутска лицей ИГУ, ligu. edu 38. ru

2/17/2018 Самостоятельная работа

IV. Шестнадцатеричная СС Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 10 11 12 13 14 15

1. Перевод целых чисел 10 16 B 107 16 96 6 11 107 = 6 B 16 система счисления 16 10 C 1 C 516 = 1· 162 + 12· 161 + 5· 160 = 256 + 192 + 5 = 453 2 10 разряды

#11: 171 = AB 16 1 BC 16 = 444 206 = CE 16 22 B 16 = 555

Таблица шестнадцатеричных чисел X 10 X 16 X 2 0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111

Перевод в двоичную систему 10 • трудоемко • 2 действия 16 2 16 = 24 ! Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! 7 F 1 { { 7 F 1 A 16 = 0111 1111 0001 10102 A

0 0 0000 1 0001 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 2 FE 116 = 101111111000012 X 2 2 C 73 B 16 = 110001110112 X 16 1 #12: X 10 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111

Перевод из двоичной системы 1001011112 Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: 0001 0010 11112 Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 0001 0010 11112 1 2 E F Ответ: 1001011112 = 12 EF 16

#13: 1010101102 = AB 5616 3 CDF 516 1111001101111101012 = 1101101101011111102 =36 D 7 E 16

Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 10 16 8 2 Шаг 1. Перевести в двоичную систему: 3 DEA 16 = 11 1101 1110 10102 Шаг 2. Разбить на триады: 011 110 111 101 0102 Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: 3 DEA 16 = 367528

#14: A 3516 = 1010001101012 = 50658 = 7658 = 1111101012 = 1 F 516 =

2. Арифметические операции сложение A 5 B 16 + C 7 E 16 1 6 D 916 10 5 11 + 12 7 14 1 6 13 9 1 в перенос 11+14=25=16+9 5+7+1=13=D 16 1 в перенос 10+12=22=16+6

#15: С В А 16 + A 5 916 1 7 1 316 12 11 10 + 10 5 9 10+9=19=16+3 11+5+1=17=16+1 12+10+1=23=16+7

вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 1 D D 16 заем 12 5 11 – 10 7 14 1 13 13 заем (11+16)– 14=13=D 16 (5 – 1)+16 – 7=13=D 16 (12 – 1) – 10 = 1

#16: 1 В А 16 – A 5 916 - 8 9 F 16 1 11 10 - 10 5 9 - 1 11 10 (9+16)-10 =15=F 16 (5 -1+16)-11 =9 (10 -1)-1 =8

2/17/2018 Домашнее задание 1. Конспект – выучить 2. «ДЗ_Арифметические основы компьютера. doc» Пункт IV, задания № 20 - 26 3. Подготовиться к СР МБОУ г. Иркутска лицей ИГУ, ligu. edu 38. ru

2/17/2018 Самостоятельная работа

V. Другие СС 220223 14310 =? 3 А 6 А 27910 =? 11 11 143 3 141 47 3 2 45 15 2 15 0 1286 11 1276 3 5 3 2 #17: 348 1. 56710=? 13 13 2. 34510=? 94239 3 2 116 11 10 10 6 1010=А 11

Перевести в 10 -ую СС: 12213 = 1 33+2 32+2 31+1 30=5210 AB 1214 = A 143+B 142+1 141+2 140 =10 143+11 142+1 141+2 140= =2961210 #18: 1. 56718 = 5 182+6 181+7 180=173510 2. D 4515 = 13 152+4 151+5 150=299010

Задача № 1. В какой системе счисления 21 + 24 = 100? Решение. Пусть p — искомое основание системы счисления. 100 p = 1 · p 2 + 0 · p 1 + 0 · p 0 21 p = 2 · p 1 + 1 · p 0 24 p = 2 · p 1 + 4 · p 0 p 2 = 2 p + 5 p 2 – 4 p – 5 = 0 p 1= -1 p 2= 5 Ответ: 5

Задача № 2. Все 5 -буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААО 3. ААААУ 4. АААОА …… 1. 00000 2. 00001 3. 00002 4. 00010 …… Запишите слово, которое стоит на 240 -м месте от начала списка. Решение: 1) 3 -ая система счисления А 0, О 1 и У 2 2) На 240 -м месте число 239, в 3 -ой СС 3) 239 в 3 -ую СС: 239 = 222123 Цифры на буквы: 22212 УУУОУ Ответ: УУУОУ

Задача № 3. В какой системе счисления число 58 записывается как « 46 x» ? Определите основание системы счисления X. 58 = 46 x • в записи есть цифра 6, поэтому x > 6 • переводим правую часть в десятичную систему 1 0 58 = 46 x = 4·x 1 + 6·x 0= 4·x + 6 • решаем уравнение 58 = 4·x + 6 x = 13

Задача № 4. Найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство 16 x + 33 x = 52 x • в записи есть цифра 5, поэтому x > 5 • переводим в десятичную систему 1 0 16 x = x + 6 1 0 52 x = 5·x + 2 33 x = 3·x + 3 • решаем уравнение 4·x + 9 = 5·x + 2 x= 7

Задача № 5. Перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство 21 x + 32 x > 102 x • в записи есть цифра 3, поэтому x > 3 • переводим в десятичную систему 1 0 21 x = 2·x + 1 2 1 0 102 x = x 2 + 2 32 x = 3·x + 2 • решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …) 5·x + 3 > x 2 + 2 x = 4, 5

2/17/2018 Домашнее задание 1. Конспект – выучить 2. «ДЗ_Арифметические основы компьютера. doc» Пункт IV-V, задания № 27 - 33 3. Подготовиться к КР МБОУ г. Иркутска лицей ИГУ, ligu. edu 38. ru

2/17/2018 Контрольная работа