16. 4. Расчет элементов конструкций при колебаниях

16. 4. Расчет элементов конструкций при колебаниях

Вибрации сооружений и машин, электромагнитные колебания в радиоэлектронике и оптике, звуковые и ультразвуковые колебания – объединяются методами математической физики в учение о колебаниях. Будем рассматривать механические упругие колебания конструкций и отдельных элементов (в машиностроении и строительстве). Некоторые конструкции, ИМЕЮЩИЕ БОЛЬШОЙ ЗАПАС ПРОЧНОСТИ на статическую нагрузку, РАЗРУШАЮТСЯ под действием сравнительно небольших, периодически действующих сил.

Одной из наиболее часто упоминаемых аварий, причиной которых были ошибки в проектировании, является катастрофа Такомского моста в США (ноябрь 1940 г. ). Описание этой катастрофы вошло во все пособия и книги и даже запечатлена на кинопленке. Фильм используется во всем мире в качестве учебного.

Такомский мост, был построен летом 1940 г. и имел третий в мире по длине пролет в 854 м. Пролет перекрывался висячим мостом с довольно узкой проезжей частью Н-образного сечения высотой 2, 4 м и шириной около 12 м. Мост был рассчитан на статическую ветровую нагрузку до 50 м/с. В день катастрофы при скорости ветра 19 м/с в конструкции моста установились одноузловые изгибно-крутильные колебания с периодом около 5 с и чрезвычайно большой амплитудой. Угол наклона проезжей части доходил до 450. После часа таких колебаний часть проезжего полотна отломилась и рухнула в воду. Причина катастрофы – неполный учет действующих нагрузок, которые привели к непредвиденным колебаниям и резонансу. Динамический расчет проведен не был. Сейчас на этом месте успешно работает мост шириной 18 м, у которого проезжая часть имеет коробчатое сечение высотой 10 м. Сплошные балки для уменьшения амплитуды

16. 4. 1. Основные понятия и определения Они известны из соответствующих разделов физики и теоретической механики. Колебания в первую очередь различают по числу степеней свободы – по числу независимых координат ζ, определяющих положение упругой системы. Положение тела массой m определяется координатой ζ (если пренебречь массой упругой системы). Число степеней свободы определяется также выбором расчетной схемы. В рассматриваемых схемах число степеней свободы равно единице.

Различают собственные и вынужденные колебания. Собственные колебания – движение, которое совершает упругая система, освобожденная от внешнего активного силового воздействия и предоставленная сама себе. Собственные колебания продолжаются до тех пор, пока сообщенная системе в начале колебательного процесса энергия не будет полностью израсходована на работу против сил трения о воздух и сил внутреннего трения в металле (например, камертон). Вынужденные колебания – движение упругой системы, происходящее под действием изменяющихся внешних сил, называемых возмущающими. Например, колебания основания, на котором установлен не сбалансированный двигатель.

Период колебаний (собственных или вынужденных) есть промежуток времени между двумя последующими максимальными (или минимальными) отклонениями упругой системы от положения равновесия. Частота колебаний – величина, обратная периоду, иначе говоря – число колебаний в единицу времени: В технике вместо понятия частота колебаний чаще используется понятие круговая частота – число колебаний за 2 π сек. : (16. 37) Проверка прочности упругой системы при расчете на воздействие колебаний может быть сведена к определению максимального перемещения массы: (16. 38)

– амплитуда вынужденных колебаний; – максимальное перемещение массы упругой системы при статическом приложении возмущающей силы. 16. 4. 2. Дифференциальное уравнение собственных колебаний системы с одной степенью свободы без затухания При составлении уравнений движения, как и при рассмотрении действия ударных нагрузок, воспользуемся принципом Даламбера: в уравнении равновесия учитывается сила инерции, направленная против ускорения. Вторая производная от Механическая модель системы с одной степенью свободы без перемещения массы ζ затухания по времени – ускорение:

Сила инерции будет равна: Воспользуемся уравнением для перемещений в канонической форме, которое для системы с n степенями свободы будет иметь вид: Т. к. система имеет одну степень свободы, то имеем только одно перемещение от действия силы Таким образом, каноническое уравнение запишем в виде или (16. 39) Обозначим: – единичное перемещение, – частота колебаний, – статическое перемещение массы упругой систе

В данном случае (см. рис. ) зависит от жесткости пружины и определяется ее осадкой Например, при колебании некоторой массы m, приложенной в середине упругой системы – балки: Из (16. 39) получаем: (13. 40)

Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение простых гармонических колебаний (график а). Графики свободных колебаний без затухания Решение его, как известно, имеет вид: (13. 41) – постоянные, зависящие от начальных условий. Часто уравнение (16. 41) используется в другом виде и описывает (график б): А – амплитуда, (16. 42) – фаза колебаний. Параметры уравнения (16. 42) определяются из начальных услов

16. 4. 3. Дифференциальное уравнение собственных колебаний системы с одной степенью свободы с затуханием В реальных условиях всегда существуют внешние силы, препятствующие, в том числе, и колебательному движению. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается и, через некоторое время, колебания прекращаются – затухают. Силы сопротивления по природе различны: это и сопротивление среды (воздух, вода), трение в узлах подшипников, внутреннее трение в частицах материала колеблющейся упругой системы и т. п. Одна из гипотез, которая используется при анализе – гипотеза Фойгта: материал рассматривается как вязко-упругое тело, в котором возникающие напряжения σ зависят не только от величины деформации ε, но и от скорости изменения деформации во времени.

Так называемое реологическое уравнение в этом случае будет иметь вид: – коэффициент вязкого трения (16. 43) Собственные колебания с затуханием можно смоделировать, поместив массу m на пружине в резервуар с вязкой жидкостью: Видоизменим механическую модель свободных колебаний (для получения свободных колебаний с затуханием), введя силу сопротивления колебательному движению R:

k – коэффициент пропорциональности, – скорость перемещения массы. Таким образом может быть Механическая модель учтен эффект действия сил свободных колебаний системы внутреннего трения. с одной степенью свободы с затуханием Коэффициент k определяется экспериментально на основе оценки рассеянной при колебании энергии. Уравнение (16. 39): дополнится силой сопротивления: и запишется в виде дифференциального уравнения с правой частью: (16. 44)

Введем обозначения: n – коэффициент затухания. Он характеризует демпфирующую способность колебательной системы (сопротивление среды в том числе). Получили дифференциальное уравнение (16. 45) По аналогии с (16. 42), запишем решение данного дифференциального уравнения: (16. 46) Обычно величина n мала по сравнению с частотой колебаний системы ω. Поэтому можно принимать

Свободные колебания с затухание При линейном затухании колебания происходят с уменьшающейся амплитудой Период колебаний определяется зависимостью Через интервал Т (через период) амплитуда колебаний уменьшается в отношении: (16. 47) Отношение двух последующих перемещений, а, следовательно, и амплитуд, остается величиной постоянной, не зависящей от времени. При этом сила сопротивления R должна быть пропорциональна скорости движения массы m.

Логарифмический декремент затухания характеризует скорость затухания собственных колебаний. (16. 48) 16. 4. 4. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с затуханием Рассмотрим случай, когда на упругую систему действует возмущающая Механическая модель вынужденных колебаний сила, системы с одной степенью свободы с затуханием изменяющаяся по гармоническому – круговая частота закону: колебаний возмущающей силы, – максимальное значение возмущающей силы (ее амплитудное значение).

В уравнение для свободных колебаний с затуханием (16. 45) прибавится правая часть: (16. 49) Полное решение этого уравнения будет складываться из решения однородного уравнения без правой части (16. 45) и частного решения. Частное решение будем искать в традиционном виде: (16. 50) – постоянные, которые определяют из граничных условий После определения этих постоянных и ряда преобразований получим следующее выражение для частного решения уравнения (16. 51) – сдвиг фазы вынужденных колебаний.

Полное решение уравнения (16. 50) будет иметь вид: (16. 52) Таким образом, система участвует одновременно в двух колебательных движениях: затухающие колебания и вынужденные колебания с амплитудой, которую можно определить по уравнению: (16. 53) В полученной зависимости числитель есть перемещение, которое получила бы колеблющаяся масса m, если бы к ней статически была приложена сила Поэтому, можно записать: (16. 54)

16. 4. 5. Динамический коэффициент (коэффициент нарастания колебаний) Коэффициент β в формуле (16. 54) по сути является динамическим коэффициентом (показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения). Этот коэффициент называют также коэффициентом нарастания колебаний: (16. 55) На величину коэффициента нарастания колебаний β влияют: соотношение частот Ω и ω и величина параметра затухания n.

16. 4. 6. Резонанс. При отсутствии затухания (n = 0) и с учетом этого обстоятельства, выражение (16. 55) можно упростить: Видим, что при n=0 возможно совпадение частот: (16. 56) Тогда значение коэффициента β обращается в бесконечность. Амплитуда При наличии же затухания Следовательно, величина β остается ограниченной, но в зоне совпадения частот – его значение будет максимальным.

Явление повышения амплитуды при совпадении частот собственных колебаний и возмущающей силы называется резонансом. СОВПАДЕНИЕ ЧАСТОТ – есть УСЛОВИЕ РЕЗОНАНСА. В технике явление резонанса имеет большое значение при эксплуатации конструкций, возможность его Зависимость возникновения также коэффициента необходимо учитывать нарастания колебаний при проектировании от соотношения конструкций. частот и при разных

На рисунке отношение Видим, что кривые заметно отличаются друг от друга в зоне резонанса. Если частоты отличаются Зависимость сильно, то можно принять коэффициента n=0 (расчет ведем в запас нарастания прочности). колебаний от соотношения частот и при разных Если частоты Ω и ω близки значениях по величине, то необходимо КОНСТРУКЦИЮ ИЗМЕНИТЬ так, чтобы частоты отличались по величине.

Для выполнения этого условия используют, например, смягчение подвески, изменение жесткости элементов. Если это сделать трудно применяется демпфирование системы – специальные устройства, которые способствуют рассеянию энергии, т. е. величину коэффициента n увеличивают С учетом подходов к решению задач динамики, конструктивными методами. такой же будет зависимость, например, для нормальных напряжений а условие прочности будет иметь вид