15 Имитационное моделирование 1 2 3 4 Технология

15. Имитационное моделирование 1. 2. 3. 4. Технология компьютерного моделирования. Генерирование равномерных случайных последовательностей. Моделирование случайных событий и случайных величин. Статистическая проверка результатов имитационных экспериментов

1. Технология компьютерного моделирования n. Различают физическое, компьютерное и математическое моделирование. Физическое - моделью является либо сама исследуемая система, либо другая с подобной физической природой исследуемых свойств. Компьютерное - модель реализуется с помощью компьютерной программы. Математическое – модель представляется в виде математических отношений. n. Преимущества компьютерного моделирования : 1. Возможность использования на ранних стадиях проектирования систем. 2. Возможность исследования системы при любых условиях. 3. Возможность прогнозирования поведение системы, основываясь на результатах натурных испытаний и фактического использования. 4. Сокращение времени испытаний систем. 5. Часто бывает единственным реализуемым способом решения оптимизационных задач. n. Недостаток - большие затраты времени и средств на построение адекватной модели, а также трудность учета в модели некоторых важных особенностей реальной системы.

Временные процессы Имитационное моделирование позволяет исследовать процессы во времени. Естественно, что действительная скорость протекания большинства исследуемых процессов значительно отличается от скорости компьютерного моделирования. Поэтому при использовании имитационного моделирования необходимо соотносить между собой три представления времени: реальное, модельное и компьютерное. n Под реальным подразумевают время, в котором исследуемая система работает в действительности. n В масштабе модельного времени организуется работа самой имитационной модели (с постоянным шагом и по особым состояниям). n Компьютерное время отражает реальные затраты времени компьютера на проведение моделирования. n Модельное времени служит для: отображения переходов моделируемой системы; синхронизации работы компонент модели; изменения масштаба времени функционирования исследуемой системы; управления ходом модельного времени; моделирования квазипараллельной обработки событий в модели. n

Метод статистических испытаний ( Монте-Карло) n. Метод статистических испытаний представляет собой совокупность формальных процедур, посредством которых воссоздаются любые случайные факторы (случайные события, случайные величины с произвольным распределением и т. п. ). Влияние случайных факторов на систему моделируется с помощью случайных чисел. n. Основой для получения таких чисел с требуемым законом распределения являются равномерно распределенные случайные числа в диапазоне [0, 1]. n. Свойство: вероятность того, что значения случайной величины попадут на некоторый интервал с границами , равняется длине этого интервала:

2. Генерирование равномерных случайных последовательностей n. Методы генерирования: физический, табличный и программный. n. Физическое (аппаратное) - базируется на использовании определенных физических явлений. Действительно случайные числа можно получить лишь с помощью физических генераторов. Преимущества: скорость генерирования чисел очень высока; места в оперативной памяти не занимает; запас чисел не ограничен. Недостатки: нет возможности физический датчик зафиксировать на определенном случайном числе; нужна периодическая корректировка датчиков, поскольку их физические свойства со временем изменяются; необходимо иметь специальное устройство к компьютеру. В последние годы аппаратные генераторы активно применяются в системах защиты информации. n. Табличный основан на использовании таблиц случайных чисел, сгенерированных аппаратными средствами. Необходима внешняя память для хранения чисел. Применяется в основном для ручных расчетов.

Программный метод n. Программный метод позволяет получать только псевдослучайные числа, хотя при достаточно большом количестве их статистические свойства совпадают с действительно случайными. n. Псевдослучайные числа получают с помощью рекуррентного соотношения , а значит, между двумя соседними числами существует зависимость. Алгоритмы получения равномерных случайных последовательностей: метод серединных квадратов, метод произведений, конгруэнтные методы (мультипликативный, смешанный, аддитивный). n. Все стандартные библиотечные программы вычисления последовательности равномерно распределенных случайных чисел основываются на понятии конгруэнтности. n. Два целых числа А и В конгруэнтны по модулю m (где m – целое число), когда существует такое целое число k, что А – В = km, то есть когда разность А – В делится на m без остатка (числа А и В дают одинаковые остатки при делении на абсолютную величину числа m). Это записывается как читается и «А конгруэнтно по В модулю Например, m» . , .

Статистические тесты n. Применение метода статистических испытаний успешно только в случае, когда создаваемые генератором числа являются случайными, равномерно распределенными на отрезке [0, 1] и независимыми. Практически бывает достаточно, чтобы последовательность приблизительно отвечала требованиям идеального генератора, что проверяется с помощью специальных статистических тестов. n. Разделяет тесты проверки генераторов на три типа: на периодичность, на случайность и на равномерность. n. Проверка на периодичность. Если среди множества генерируемых случайных чисел нет динаковых, l, совпадает одним о а с с созданных прежде чисел, то l называется отрезком апериодичности. Очевидно, что l ≤ 2 k. n. Проверка на случайность. Сюда относятся следующие типы тестов: частот, пар, комбинаций, серий и корреляции. n. Проверка на равномерность. Используются тесты по моментам распределения и по гистограмме.

3. Моделирование случайных событий и случайных величин Пусть в результате попытки может наступить одно из n несовместных событий A 1, A 2, …, Ai, …, An, образующих полную группу: , где pi – вероятность появления события Ai. Методика моделирования этих событий заключается в следующем. 1. Разбиваем отрезок [0, 1] на n частей длиной p 1, p 2, …, pi, …, pn. Координаты точек деления отрезка: где pi – вероятность появления события Ai. 2. Генерируем случайное число равномерной случайной последовательности [0, 1]. Если lk-1 < lk, , считаем, что состоялось событие Ak. Действительно, по этой схеме: P{Ak} = P{lk-1 < lk}=lk–lk-1 = pk.

Генерация случайных величин Равномерное дискретное распределение имеет вид где k = 0, 1, 2, …. Отсюда xi = [ ξi (n + 1) ]. Геометрическое распределение Распределение Пуассона Для получения величины X, генерируются ξi равномерной случайной последовательности [0, 1], пока не будет выполняться неравенство Нормальное распределение. Центральна граничная теорема: распределение суммы большого количества взаимно независимых случайных величин близко к нормальному. В большинстве генераторов, n=12, что значительно упрощает процесс:

Моделирование случайной величины по функции распределения. 1. Построить график или таблицу интегральной функции распределения на основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс. Значения случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (x), а значения вероятности (от 0 до 1) – по оси ординат (y). 2. Сгенерировать случайное число ξi равномерной случайной последовательности [0, 1]. 3. Провести горизонтальную прямую от точки на оси ординат, соответствующей выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей. 4. Опустить из точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс. 5. Принять полученное значение x как выборочное; 6. Повторять шаги 2 -5 для всех требуемых случайных переменных.

Метод обратной функции Пусть ξi равномерной случайной последовательности [0, 1], тогда случайная величина X, являющаяся решением уравнения Рассмотрим генерирование случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [a, b]. n Тогда Экспоненциальное (показательное) распределение По экспоненциальному закону распределяются интервалы времени между появлениями событий, подчиняющихся пуассоновскому распределению с интенсивностью λ. Это относится к целому ряду явлений: продолжительности телефонных разговоров, сроку службы многих электронных деталей, времени поступления заказов на предприятия обслуживания, прибытия самолетов в аэропорт и т. п.

4. Статистическая проверка результатов имитационных экспериментов n. При имитационном моделировании на достоверность результатов влияет целый ряд дополнительных факторов, основные из которых: – моделирование случайных факторов, основанное на использовании генераторов случайных чисел; – наличие нестационарного режима работы модели; – использование нескольких разнотипных математических методов в рамках одной модели; – зависимость результатов моделирования от плана эксперимента; – необходимость синхронизации работы отдельных компонентов модели. Пригодность имитационной модели оценивается: адекватностью, стойкостью, чувствительностью. Адекватность модели проверяют на основании сравнения измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели с помощью ряда статистических критериев: по среднему значению откликов модели и системы; по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы; по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы