14 4 Практический расчет сжатых стержней на устойчивость

14. 4. Практический расчет сжатых стержней на устойчивость 14. 4. 1. Расчет на прочность На первом этапе проводится расчет стержня на прочность, причем с учетом возможного ослабления поперечного сечения стержня, т. е. в условии прочности при сжатии оперируют так называемой площадью НЕТТО: (14. 10) При этом, как известно, Опасное напряжение равно, соответственно, для пластичного материала – пределу текучести, для хрупкого – пределу прочности.

14. 4. 2. Расчёт на устойчивость Расчет проводят как проверочный по аналогичной формуле (см. 14. 10), но без учета ослабления сечения (т. е. по площади БРУТТО), т. к. местное ослабление сечений (например, отверстия, выточки и т. п. ) в малой степени влияет на величину критической силы. В качестве опасного напряжения принимают критическое напряжение материала стержня: (14. 11) Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость

Коэффициент запаса при расчете на устойчивость принимают несколько выше, чем коэффициент запаса прочности nу › n , так как nу учитывает не только величину n при расчете на прочность, но и возможные эксцентриситет приложения нагрузки, начальную кривизну стержня, неоднородность материала и т. д. Приведем ориентировочные значения коэффициентов запаса устойчивости для различных отраслей и материалов: В строительстве: для стали nу = 1, 8… 3, 5; для чугуна nу = 5, 0… 5, 5; для дерева nу = 2, 8… 3, 2. В машиностроении: например, для стальных ходовых винтов станков nу = 4… 5. Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость [σ]y зависит не только от свойств материала, но и от формы и геометрических размеров стержня, так как σкр есть функция их (см. формулы 14. 3 и 14. 9). Поэтому в каждом конкретном случае [σ]y необходимо вычислять, что не очень удобно.

14. 4. 3. Коэффициент продольного изгиба При потере устойчивости стержень изгибается – продольная сила создает в поперечных сечениях изгибающий момент. Поэтому наравне с термином устойчивость используется и другое название – продольный изгиб стержня. Запишем отношение допускаемых напряжений σоп – опасные напряжения ( σТ или σв), φ – коэффициент продольного изгиба (коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие). КОЭФФИЦИЕНТ ПРОДОЛЬНОГО ИЗГИБА изменяется в пределах: Его значения приводятся в таблицах в зависимости от гибкости λ и свойств материала. (12. 12)

14. 4. 4. Условие устойчивости С учетом коэффициента φ можно записать условие устойчивости центрально сжатых стержней – значение основного допускаемого напряжения снижается на величину указанного коэффициента. ПРОВЕРКА УСТОЙЧИВОСТИ: или (14. 13) Записав формулу (14. 13) относительно площади сечения стержня, решаем проектировочную задачу (12. 14). ПРОЕКТИРОВОЧНЫЙ РАСЧЕТ: (14. 14)

Аналогично решается задача по определению допускаемой (с точки зрения обеспечения устойчивости) нагрузки (14. 15). ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСКАЕМОЙ НАГРУЗКИ: (14. 15) 14. 4. 5. Порядок проведения проверочного расчета Проверка устойчивости проводится в следующей последовательности: • определяется минимальный момент инерции сечения Imin; • определяется площадь сечения F;

• определяется минимальный радиус инерции сечения Для прокатных профилей значения imin находят в таблицах сортамента. Необходимо помнить, что сжимающая сила приложена в центре тяжести сечения и, поэтому, геометрические характеристики сечения следует определять в главных центральных осях; • определяется гибкость стержня • по таблицам (линейной интерполяцией), в зависимости от материала и гибкости, определяется коэффициент продольного изгиба φ; • проводится проверка устойчивости по формуле (14. 13). Аналогичным образом ведут расчет допускаемой нагрузки (по 14. 15).

Пример 1. Определить допускаемую нагрузку и запас устойчивости деревянной колонны квадратного поперечного сечения со стороной а=15 см, при [σ] = 10 МПа. Решение. Допускаемую нагрузку определим по формуле (14. 15), а коэффициент запаса, т. к. сжимающая сила неизвестна, определяется отношением сил – критической и допускаемой: Если будет задана внешняя нагрузка, то коэффициент запаса определим отношением этой нагрузки к допускаемой нагрузке.

1) Определим геометрические характеристики квадратного сечения: Для заданной схемы закрепления концов стержня µ = 0, 7. 2) Гибкость стержня: 3) По таблице для гибкости λ = 80, 8 и дерева путем линейной интерполяции находим коэффициент продольного изгиба: при λ = 80 →φ = 0, 49, а при λ = 90 → φ = 0, 38. Следовательно, на 10 единиц гибкости приходится: 0, 49 – 0, 38 = 0, 11. И тогда Принимаем:

4) Допускаемая нагрузка: 5) Критическая сила: т. к. λ=80, 8 ‹ λпред=110 (дерево), то по формуле Ясинского: 6) Коэффициент запаса устойчивости:

14. 4. 6. Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения допускаемых напряжений Проектировочный расчет, который проводится по формуле (14. 14), связан с определенными трудностями по определению коэффициента φ. Они заключаются в том, что искомой является площадь сечения, без знания значения которой, нельзя найти гибкость и, следовательно, коэффициент продольного изгиба. Получаем замкнутый круг. Поэтому при проведении расчетов используется так называемый метод последовательных приближений. Задачу решают, задаваясь рядом последовательных значений коэффициента φ, в результате определяется такое значение площади, при котором обеспечивается выполнение условия устойчивости (при обеспечении минимальной материалоемкости).

Первое приближение. 1) Задаются коэффициентом φ1. 2) Его значение, как известно, изменяется в пределах 0 ≤ φ ≤ 1. 3) Обычно принимают φ=0, 5… 0, 6, иногда даже 0, 1… 0, 2. 2) Определяют площадь: 3) В зависимости от заданной формы сечения по площади определяют его размеры (или номер прокатного профиля). 4) Определяют геометрические характеристики сечения: Jmin, imin. 5) Рассчитывают гибкость стержня

6) По таблице определяют значение φ’ 1 и сравнивают с φ1. Если φ’ 1= φ1, то расчёт окончен. Если их значения отличаются, то выполняют второе приближение. 7) Во втором приближении задаются средним значением φ: 8) Выполняются расчеты в соответствии с п. п. 2 – 6 и, если есть необходимость, переходят к третьему приближению и т. д. 9) Расчет прекращают при выполнении условия устойчивости: При этом превышение правой части над левой не должно быть более 5%. В идеале значения напряжений слева и справа должны быть одинаковыми.

Пример 2. Определить размеры прямоугольного сечения деревянной стойки, сжимаемой силой P = 50 к. Н. Отношение сторон прямоугольного сечения h/b =3. Допускаемое напряжение [σ] = 8 МПа. Один конец стойки заделан, другой свободен. Решение. Для удобства проведения расчетов, с учетом исходных данных, запишем параметры, используемые при решении, через величины b и φ:

• площадь поперечного сечения (по условию задачи h=3 b) • эта же площадь (в соответствии с формулой 14. 14) • минимальный радиус инерции • гибкость стержня

Ориентировочно примем φ=0, 5 и подсчитаем значение площади сечения по формуле (14. 14): Приравнивая значения площадей 125 = 3 b 2, определим значение основания прямоугольника Для полученного значения b=6, 45 см: По таблице при λ=322 и дерева φ<0, 08 и, следовательно, значение φ сильно завышено. Поэтому примем значение коэффициента в первом приближении намного меньшим ориентировочного значения, например, равным 0, 1.

Первое приближение: По таблице для λ 1=144, линейно интерполируя, получаем φ’ 1=0, 152. Второе приближение: По таблице λ 1=163, 6, линейно интерполируя, получаем φ’ 2=0, 117.

Третье приближение: Получаем φ’ 3=0, 12. Четвертое приближение: Получаем φ’ 4=0, 122.

Принятое и полученное расчетом в последнем приближении значения коэффициента φ равны. Таким образом, принимаем b = 13, 05 см; h = 3 b =39, 15 см. Проверяем правильность расчета:

14. 4. 6. Рациональные формы поперечных сечений, включая составные сечения В соответствии с формулами для определения критической силы или критических напряжений: чем больше значение минимального момента инерции (или минимального радиуса инерции) поперечного сечения стержня, тем оно более выгодно (будет более рациональным) при одной и той же площади. Известно: увеличение момента инерции бруса, работающего на изгиб, достигается концентрацией материала по периферии его поперечного сечения.

Этот принцип остается в силе и для гибкого сжимаемого стержня. Но еще необходимо стремиться к равенству главных центральных моментов инерции сечения. В этом случае: при одинаковом закреплении в главных плоскостях сечения будет обеспечена равноустойчивость стержня. Теоретически наиболее рациональным следует считать кольцевое сечение, имеющее наибольший момент инерции при данной площади и одинаковую жесткость по всем направлениям. В строительной практике кольцевое сечение не нашло широкого применения: конструктивные неудобства; высокая стоимость труб.

В стальных конструкциях распространены сквозные стержни, состоящие из ветвей в виде прокатных профилей (швеллера, уголки, двутавры), соединенных между собой решеткой или планками. Равноустойчивость достигается раздвижкой ветвей на требуемое расстояние. Наиболее распространены двухветвевые стержни из швеллеров полками внутрь. Ориентация профилей полками наружу при одинаковых габаритах сечения менее выгодна вследствие уменьшения радиуса инерции iy и увеличения расхода металла на решетку.

Сечение из двух двутавров применяется при значительных нагрузках, исключающих использование швеллеров. Четырехветвевые стержни находят применение в тех случаях, когда при малой площади сечения необходимо обеспечить достаточную жесткость (мачты, крановые стрелы и т. п. ).

14. 4. 7. Расчет гибкости относительно свободных и материальных осей. Сквозные стержни, состоящие из ветвей, имеют материальные и свободные оси сечения. Материальная ось непосредственно пересекает элементы сечения. Гибкость рассчитывают по известной формуле: Свободная ось не X – материальная ось Y - свободная ось пересекает элементы сечения. Гибкость рассчитывают по формуле: X , Y - свободные оси