13 Расчет простейших статически неопределимых систем Стержневая

13. Расчет простейших статически неопределимых систем

Стержневая система в широком смысле слова – это всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. К таким конструкциям, в частности, относятся фермы, рамы, балки. Цель расчета бруса и стержневой системы (состоящей из отдельных брусьев – стержней), как и любой конструкции: определение размеров поперечных сечений стержней, при которых обеспечивается прочность или жесткость, или и то и другое. Исходя из условий прочности и жесткости при центральном растяжениисжатии, видим, что в первую очередь необходимо знать экстремальное значение продольной силы.

Под статически определимыми стержневыми системами понимают такие, в которых усилия в стержнях и на опорах (опорные реакции) определяются из уравнений статики. Опасное сечение (где действуют экстремальные продольные силы) легко определяется из эпюры N и, далее, задача решается с применением соответствующих условий – прочности и жесткости. Расчет статически определимых стержней рассматривали в осеннем семестре. Рассмотрим расчет статически определимой стержневой системы, представляющей собой два симметрично расположенных стержня, соединенных в точках А, В, С посредством шарниров. Площади поперечного сечения стержней одинаковы и равны F.

Расчет сводится к определению усилий N 1 и N 2 в стержнях АВ и АС. Эти усилия направлены вдоль стержней, в связи с шарнирным их соединением. Для определения осевых усилий рассечем стержни и запишем уравнения равновесия: По известным усилиям определяются опасные сечения стержней и проводится расчет в соответствии с поставленной задачей.

13. 1 Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии Статически неопределимыми называют системы, в элементах (стержнях) которых усилия не могут быть определены с помощью уравнений статики. Говорят, что система имеет дополнительные ( «лишние» ) связи.

«Лишними» такие связи называют потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции и ее геометрической неизменяемости (деформация стержней и соответствующие ей перемещения отдельных точек системы могут возникать только от действия внешних сил). Наличие этих связей обусловлено требованиями к прочности и жесткости конструкции или условиями ее работы. Число лишних неизвестных или степень статической неопределимости системы устанавливается разностью между числом неизвестных усилий и числом уравнений статики.

На рисунке стержень опирается на две жесткие опоры. Возникают две реакции N 1 и N 2, величина и направление которых неизвестны, т. к. можно составить только одно уравнение равновесия. В уравнении – два неизвестных осевых усилия: Задача один раз статически неопределима. Одна связь (опора) – «лишняя» .

На рисунке– стержневая система, составленная из трех стержней, соединенных шарнирно. В стержнях действуют три усилия, направленные вдоль этих стержней. Можно составить только два уравнения равновесия: Задача один раз статически неопределима, одна связь (стержень) – «лишняя» .

Для решения задачи по определению неизвестных усилий (говорят – для раскрытия статической неопределимости) необходимо составить неопределимости дополнительные уравнения. Их количество равно степени статической неопределимости. Дополнительные уравнения составляются на основе общего принципа: условий совместности деформаций: т. к. стержни соединяются между собой определенным образом – шарнирно, жестко или в соединении имеются некоторые зазоры, стержни этой системы деформируются совместно. Методику раскрытия статической неопределимости рассмотрим на примерах.

1. Стержень имеет площадь поперечного сечения F и изготовлен из материала с модулем упругости I рода Е. Неизвестны 2 усилия – N 1 и N 2. Их величина будет зависеть от положения точки приложения заданной силы Р. 1. Силовая сторона задачи. Уравнение равновесия составлено нами ранее. 2. Геометрическая сторона задачи. Составим уравнение совместности деформаций для одного из опорных сечений (в опорных сечениях – заделки, перемещения равны нулю).

Например, отбросим мысленно нижнюю опору. Это опорное сечение станет свободным и переместится вниз за счет абсолютной линейной деформации Δl. P участка длиной b под действием силы Р. С другой стороны, рассматриваемое опорное сечение – неподвижно, следовательно, перемещение его должно быть равно нулю.

Это условие будет выполняться, если реакция на опоре N 2 будет по величине и направлению такой, что абсолютная линейная деформация от ее действия Δl. N окажется равной по величине и противоположной по направлению деформации Δl. P. Условие совместности деформаций запишется в виде: Δ ℓ P = Δ ℓ N.

3. Физическая сторона задачи. По закону Гука: 4. Решение системы уравнений (синтез). Решаем систему уравнений

2. Примем, что площадь поперечного сечения боковых стержней одинакова F 1=F 2=F, а средний стержень имеет площадь n. F. 1. Силовая сторона задачи. Составляют уравнения равновесия (в данном случае – два). Они нами составлены ранее. Имеем три неизвестных усилия и два уравнения статики. Система один раз статически неопределима.

2. Геометрическая сторона задачи. Рассмотрим перемещения стержней, сходящихся в точке А. Под действием внешней силы исследуемая точка переместится в положение А 1. Концы стержней АВ, АD, АС соединены шарнирно в точке А, поэтому они получат соответствующие удлинения. Причем эти стержни деформируются совместно, в соответствии с геометрией системы.

Мысленно рассоединим стержни в ненагруженном состоянии (в т. А) и соединим их в положении после нагружения (в т. А 1). Концы крайних стержней переместятся по дуге из т. А соответственно в т. К и т. М и, удлинившись, соединятся в т. А 1. Вертикальное перемещение точки А весьма мало; угол АА 1 М равен углу АА 1 К; дуги можно заменить прямыми, поэтому углы АКА 1 и АМА 1 – прямые. Ввиду симметрии системы, абсолютные удлинения крайних стержней будут равны между собой: Геометрически эти деформации определяются отрезками КА 1=МА 1. Средний стержень удлинится на величину отрезка АА 1 и его удлинение

Рассматривая прямоугольные треугольники АКА 1 и АМА 1 можем записать соотношение сторон: Данное уравнение есть уравнение совместности деформаций рассматриваемой системы.

3. Физическая сторона задачи. В уравнении совместности деформаций выразим абсолютную деформацию через продольные силы по закону Гука: Ввиду малости перемещений длина стержней мало меняется, поэтому После преобразований получим зависимость между неизвестными усилиями в стержнях 1 и 3:

4. Решение системы уравнений (синтез). Решаем систему уравнений и после преобразований получим зависимости, с помощью которых определяются искомые усилия в стержнях: С увеличением площади среднего стержня (с увеличением n): усилие в нем увеличится; усилия в крайних стержнях уменьшатся.

В этом отличительная особенность статически неопределимых систем от статически определимых: повышение жесткости (EF) одних элементов приводит к увеличению в них усилий и, обычно, к снижению усилий в других элементах. В статически определимых системах усилия в элементах не зависят от их жесткости. Далее решается задача в соответствии с ее условием. По известным усилиям, записав условие прочности или условие жесткости, решаем задачу по проверке прочности или жесткости, проводим проектировочный расчет или определяем допускаемое значение нагрузки.

На практике встречаются и другие задачи. Порядок расчета в связи с наличием натягов. Натяги зачастую связаны с неточностью изготовления элементов (стержней). Неточность изготовления (даже незначительные погрешности) требует приложения дополнительных усилий для сборки узла, при этом возникают натяги и соответствующие монтажные напряжения. В строительстве применяется так называемое предварительное натяжение арматуры в железобетонных элементах (предварительно напряженные конструкции). конструкции В растянутой зоне бетонной плиты располагают предварительно напряженную сжимающими напряжениями стальную арматуру. Натяги могут возникать также и при температурном воздействи

Пример 1. Средний стержень изготовлен проектного размера на малую величину Δ. короче Для сборки стержней в узле А необходимо средний стержень растянуть, а крайние стержни сжать.

1. Силовая сторона задачи. Уравнения равновесия: Неизвестны два усилия. Задача 1 раз статически неопределима.

2. Геометрическая сторона задачи. Крайние стержни будут укорачиваться на величину Δ 1=Δ 2=АА 1 cosα, а средний стержень удлинится на величину Δ 3=D 1 A 1. Точка А 1 - точка, в которой соединятся стержни. Тогда уравнение совместности деформаций запишется в виде: Ход дальнейшего решения аналогичен порядку решения в предыдущих примерах: рассматривается физическая сторона задачи и решается система уравнений.

Средний стержень, еще до нагружения внешней силой будет растянут некоторой нагрузкой, т. е. напряжения от натяга будут суммироваться с напряжениями от эксплуатационных нагрузок, что не учитывается в обычных расчетах и может привести к потере прочности.

Пример 2. Стержень, имеющий жесткость EF, изготовлен короче заданной длины на величину Δ. Вид расчетной схемы и порядок решения будут зависеть от величины перемещения нижнего сечения (определяемого величиной и положением по длине силы Р, а также жесткостью сечения стержня). стержня

а) величина перемещения нижнего сечения меньше величины зазора – абсолютная линейная деформация стержня ΔℓP<Δ. Задача статически определима. б) величина перемещения нижнего сечения больше или равна величине зазора – абсолютная линейная деформация стержня ΔℓP ≥ Δ. Задача статически неопределима.

Таким образом, в первую очередь, необходимо определить величину перемещения нижнего сечения, которое будет определяться деформацией участка бруса длиной b от действия силы Р: Решение для случая ΔℓP<Δ традиционно для решения статически определимых задач.

В случае, если ΔℓP ≥ Δ, необходимо раскрыть статическую неопределимость. 1. Силовая сторона задачи. На опорах (после закрытия зазора) возникнут две реакции, величины которых неизвестны. Уравнение равновесия: 2. Геометрическая сторона задачи. Уравнение совместности деформаций получим, рассматривая схему

3. Физическая сторона задачи. В соответствии с законом Гука 4. Решение системы уравнений (синтез). Статическая неопределимость раскрыта.

Расчеты в связи с изменением температуры Напряжения в сечении стержня при температурных воздействиях будут возникать даже при отсутствии внешних нагрузок. Рассмотрим стержень длиной ℓ и площадью F, изготовленный из материала с модулем упругости Е. Оба конца стержня жестко защемлены. Начальная температура стержня t 1. . Стержень нагревается до температуры t 2. Определить напряжения, которые возникнут в сечении стержня. Градиент температуры будет положительным: Δ t= t 2 – t 1 > 0

1. Силовая сторона задачи. Как известно, при нагреве материалы расширяются, т. е. стержень будет стремиться удлиниться, т. е. будет распирать опорные сечения. Из-за наличия этих жестких опор, в них возникнут реакции N 1 и N 2. Уравнение равновесия: Стержень один раз статически неопределим. 2. Геометрическая сторона задачи. В связи с жестким опиранием, длина стержня ℓ изменяться не будет. Т. е. перемещения опорных сечений равны нулю, следовательно, температурная линейная деформация Δt=0.

В отсутствие одной из опор, например правой, стержень при нагревании удлинится на величину Δt. Это удлинение должно компенсироваться абсолютной линейной деформацией от действия реакции Уравнение совместности деформаций: Δ l N. Δt = Δl. N.

3. Физическая сторона задачи. По известной из курса физики формуле определим температурную деформацию стержня: Δt = α ℓ Δt α – коэффициент линейного температурного расширения материала стержня, град-1. По закону Гука Сила сжимает стержень 4. Решение системы уравнений (синтез). Приравняв полученные зависимости, определим значение реакции на опоре и соответствующие температурные напряжения:

Отметим, что температурные (при нагреве стержня) напряжения по знаку – сжимающие. Следовательно, в случае охлаждения такого стержня (Δt=t 2–t 1<0), нормальные напряжения будут растягивающими. Кроме того, видим, что на величину напряжений не влияет длина стержня. Эти обстоятельства следует учитывать в случае использования хрупких материалов, а также, если стержень подвергается действию изменяющихся по величине и знаку температур. На практике встречаются достаточно сложные схемы стержневых систем, и в каждом конкретном случае задача сводится к геометрическому анализу деформаций и составлению соответствующих уравнений совместности деформаций.

Задача. Абсолютно жесткий брус расположен на стержнях, прикрепленных шарнирами, и нагружен силой Р. Площадь стержней, соответственно, равна 2 F и F (F=10 см 2). Длина стержней 2 l и l. Определить значение допускаемой силы [P] из расчета по допускаемым напряжениям и из расчета по разрушающим (предельным) нагрузкам. Материал стержней – сталь Ст. 3 ([σ]=160 МПа, σТ=240 МПа, Е=2× 105 МПа).

Можно составить два уравнения равновесия для силовой схемы. Т. к. стержни соединены с жестким брусом посредством шарниров, то усилия в стержнях будут направлены вдоль оси этих стержней: ΣY=0; N 1+N 2–P+RA=0; Σm. A=0; 3 N 1– 5 P+6 N 2=0. Первое уравнение включает и неизвестную реакцию, т. е. имеем три неизвестных. Во втором уравнении неизвестных два – усилия N в стержнях. Следовательно, в решении достаточно

Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Под действием внешней силы Р брус, оставаясь прямым (абсолютно жесткий брус – не деформирующийся), повернется вокруг шарнира А на некоторый угол. Стержни в местах крепления удлинятся, т. е. точки В и С переместятся вертикально в положения В 1 и С 1.

Отрезки ВВ 1 и СС 1 – абсолютные линейные деформации стержней. Из подобия треугольников АВВ 1 и АСС 1 имеем: . Получили уравнение совместности деформаций.

Физическая сторона задачи. Подставляем в полученное уравнение усилия в соответствии с формулой закона Гука. .

П Решаем систему уравнений. олучаем значения усилий в стержнях Р. 3× 0, 5 N 2 – 5 P+6 N 2=0. . в долях силы

А) Расчет по допускаемым напряжениям Из условия прочности С учетом, что максимальные нормальные напряжения возникают во втором стержне, имеем: Решаем уравнение относительно силы Р: .

Б) Расчет по разрушающей нагрузке Материал стержней – сталь, т. е. пластичный материал Следовательно, после достижения напряжением во втором стержне (как в более нагруженном) нагруженном значения предела текучести, этот стержень нагружаться не будет (напряжения не растут, увеличиваются деформации – см. диаграмму растяжения: площадка текучести). Нагрузку будет воспринимать первый стержень. Таким образом: N 2 = σТ F ; N 1 = σТ 2 F и уравнение примет вид: 3 N 1 – 5 P+6 N 2=0. 3 σТ 2 F – 5 Р + 6 σТ F = 0.

в обоих стержнях напряжения достигнут предела текучести – предельная грузоподъемность системы: Получаем значение силы, при котором Разделим предельное значение силы на коэффициент запаса n. Т=1, 5 и получим допускаемое значение силы: [PТ] = 576 : 1, 5 = 384 к. Н. Видим, что при расчете во втором случае допускаемая нагрузка выше, чем в первом на величину 384: 238, 8=1, 61. Расчет по разрушающим нагрузкам дает возможность в большей степени использовать свойства материала и особенности стержневой системы.