11 класс Цели урока Показать как используется

11 класс.

Цели урока: Показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.

Повторяем теорию: • Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? • Как находят координаты середины отрезка? • Как находят длину вектора? • Как находят расстояние между точками? • Как вы понимаете выражение «угол между векторами» ?

Повторяем теорию: • Какие векторы называются перпендикулярными? • Что называется скалярным произведением векторов? • Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? • Чему равен скалярный квадрат вектора? 0 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. • Свойства скалярного произведения?

Направляющий вектор прямой. а В А • Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей.

направляющий вектор прямой a a B A р

Решение задач № 1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых. а) б) θ θ φ=θ φ = 1800 - θ

1. p {x 1; y 1; z 1} - направляющий вектор для прямой a. 2. k {x ; y ; z } - направляющий вектор для прямой b. 2 2 2 1. Вычислить cos φ 2. Найти φ cos φ = a x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 12 + y 12 + z 12 р B b A k x 22 + y 22 + z 22

Решение задач № 2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости. . а) б) а θ φ φ α α φ

Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью. a Направляющий вектор для прямой. Вектор, перпендикулярный к плоскости . j - искомый угол между прямой и плоскостью θ - угол между векторами p и n a n θ j p a

Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью. 1. 2. 3. 4. p {x 1; y 1; z 1} - направляющий вектор для прямой a. n {x 2; y 2; z 2} - вектор, перпендикулярный плоскости α. Вычислить sin φ Найти φ sin φ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 12 + y 12 + z 12 x 22 + y 22 + z 22

№ 464 (а) Дано: Найти: угол между прямыми АВ и CD. Ваши предложения… 1. Найдем координаты векторов и 2. Воспользуемся формулой: φ = 300

Задача. Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1; DA = 1; DC = 2; DD 1 = 3. Найти угол между прямыми СВ 1 и D 1 B. Ваши предложения… 1. Введем систему координат Dxyz 2. Рассмотрим направляющие A 1 векторы прямых D 1 B и CB 1. z D 1 C 1 B 1 3 3. По формуле найдем cosφ. D 1 х A 2 C B у

Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1; АВ = ВС = ½ АА 1 № 467 (а) Найти угол между прямыми ВD и CD 1. 1 способ: D 1 1. Т. к. СD 1|| ВА 1, то углы между ВD и ВА 1; ВD и СD 1 – A 1 равны. 2. В ΔВDА 1: ВА 1 = , А 1 D = C 1 B 1 3. ΔВDА: по теореме Пифагора D 4. По теореме косинусов: A C B

Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми ВD и CD 1. 2 способ: D 1 1. Введем ДСК так, что 2. Пусть АА 1= 2, тогда A 1 АВ = ВС = 1. № 467 (а) z C 1 B 1 3. Координаты векторов: х D 4. Находим косинус угла между прямыми: у A C B

П. 50 -52, № 467 (б), 468.

№ 466 (а) Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 точка М принадлежит АА 1 АМ : МА 1 = 3 : 1; N – середина ВС Вычислить косинус угла между прям. MN и DD 1 z 1. Введем систему координат. 2. Рассмотрим DD 1 и МN. 3. Пусть АА 1= 4, тогда A 1 4. Найдем координаты векторов М DD 1 и MN. 5. По формуле найдем cosφ. Ответ: D 1 х A C 1 B 1 D C B N у