11 Исследования характера поведения функций 1 Условие монотонности

11. Исследования характера поведения функций 1. Условие монотонности функции Теорема 1. Для того, чтобы непрерывная на [a, b] и дифференцированная на (a, b) функция f(x) была постоянной на [a, b] н. и д. , чтобы f (x) 0 на (a, b). Теорема 2. Для того, чтобы непрерывная на [a, b], дифференцируемая на (a, b) функция f(x) была не убывающей ( не возрастающей ) на [a, b] н. и д. , чтобы f (x) 0 (f (x) 0) на (a, b). Теорема 3. Для того, чтобы непрерывная на [a, b], дифференцируемая на (a, b) функция f(x) была строго монотонно возрастающей (убывающей ) на [a, b] н. и д. , чтобы f (x) 0 (f (x) 0) на (a, b) и чтобы не существовало промежутка [ , ] [a, b], на котором f (x) 0. Математический анализ, 1 семестр

Математический анализ, 1 семестр

12. Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы ) Определение. Пусть f(x) задана на [a, b] и x 0 (a, b), x 0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x 0 выполнено неравенство f(x) f(x 0). Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x 0 выполнено неравенство f(x)< f(x 0). Аналогично определяются: минимум, строгий минимум. Теорема. ( Необходимый условие экстремума ) Если x 0 – точка экстремума функции f и существует f (x 0), то f (x 0)=0. Математический анализ, 1 семестр

Теорема. (Первое достаточное условие экстремума) f непрерывная в точке x 0. Если в некоторой проколотой окрестности точки x 0 функция f(x) дифференцируема и f (x) меняет знак при переходе через точку x 0 , то x 0 есть точка экстремума ( строгого ), причем производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум, производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум. Теорема (Второе достаточное условие экстремума) Пусть x 0 – стационарная точка функции f и f (x 0) 0, тогда, если f (x 0)>0, то в точке строгий минимум Математический анализ, 1 семестр

Математический анализ, 1 семестр

Математический анализ, 1 семестр

Теорема ( Достаточное условие выпуклости ) Если f непрерывна на [a, b], дважды дифференцируема на (a, b) и f (x)>0 на (a, b), то f строго выпукла вниз. Определение. Точка x 0 называется точкой перегиба функции f, если в точке x 0 существует касательная и в некоторой окрестности точки x 0 график f лежит по разные стороны от касательной. Теорема. ( Необходимое условие точки перегиба ) Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки перегиба x 0, то f (x 0)=0. Математический анализ, 1 семестр