11. 3. Расчет брусьев круглого поперечного сечения

11. 3. Расчет брусьев круглого поперечного сечения на прочность при совместном действии изгиба и кручения

В общем случае нагружения в поперечном сечении вала возникают крутящий. Мкр. и изгибающие моменты МX и МY, нормальная (продольная) N и поперечные QX и QY силы. При рассмотрении конкретных схем нагружения некоторые из перечисленных внутренних силовых факторов могут не учитываться. Например, в сопротивлении материалов обычно пренебрегают влиянием продольных, а также поперечных сил: величина касательных напряжений от действия поперечных сил намного меньше, чем от действия крутящего момента. С сочетанием изгиба и кручения брусьев круглого поперечного сечения наиболее часто приходится встречаться при расчете валов круглого поперечного сечения. Напомним: в брусе круглого сечения не возникает косой изгиб).

11. 3. 1. Внутренние силовые факторы Рассмотрим пространственную стержневую систему. Методом сечений определяются внутренние силовые факторы. Строятся эпюры ВСФ. Эпюры используют для определения опасного (опасных) сечения и положения опасных точек. Для опасных точек опасного сечения записывается условие прочности. Решим поставленную задачу для стержня АВ круглого поперечного сечения диаметром d.

С учетом вышеприведенных комментариев (пренебрегая действием поперечных сил), для участка АВ построены эпюры крутящего Мкр. и изгибающих моментов МХ и М Y. В связи с тем, что для круглого бруса косой изгиб невозможен (WX =WY), эпюры изгибающих моментов можем сложить геометрически (плоскости их действия можем совместить) – получим суммарную эпюру изгибающих моментов Мизг. .

Внимание: на разных участках бруса эпюра Мизг. очерчивается прямой или кривой: Рассмотрим произвольное сечение круглого бруса АВ на участке длиной b, нагруженное моментами. Значение суммарного изгибающего момента определится по формуле:

Эпюры МХ и МY очерчиваются прямыми линиями. Если прямые описываются уравнением вида y = k z, то эпюра суммарного изгибающего момента также будет очерчиваться наклонной прямой: Если прямые линии описываются выражениями вида y = a + k z, то получим уравнение кривой второго порядка – параболы с минимумом:

11. 3. 2. Условие прочности записывается для опасных (опасной) точек опасного сечения. Опасным считается сечение, в котором суммарный изгибающий момент и крутящий момент одновременно достигают величин, близких к своим максимумам. В рассматриваемом примере опасным сечением является опора А. Для нахождения опасных точек сечения построим эпюру нормальных напряжений от действия суммарного изгибающего момента и эпюру касательных напряжений от действия крутящего момента.

Опасными будут точки D и K, наиболее удаленные от нейтральной линии, которая, в свою очередь будет перпендикулярна линии действия Мизг. (линия, совпадающая с KD). На рисунке показано напряженное состояние элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки D. Имеет место частный случай плоского напряженного состояния (отсутствуют нормальные напряжения по направлению оси Y).

Условие прочности по III и IV теориям прочности для опасного сечения при плоском напряженном состоянии, как известно, записывается в виде: Напряжения, действующие в опасной точке, имеют максимальные значения и определяются в соответствии с известными расчетными формулами. При прямом изгибе: при кручении:

Подставим значения напряжений, например в условие прочности по III теории, с учетом, что Wρ = 2 WX. теории Приведенный (эквивалентный или расчетный) момент по III теории прочности. Аналогично для IY теории прочности: Условие прочности при совместном действии изгиба с кручением:

11. 3. 4. Порядок расчета вала Валы подвергаются действию одновременно линейных деформаций (от МХ и МY) и угловой деформации (от МКР. ). Здесь мы не будем учитывать, что нормальные напряжения (от Мизг. ) переменны во времени. Валы опираются на подшипники. В подшипниках вал вращается без трения. Мощность и вращение передаются с вала на вал посредством шкивов и шестерен. Направления усилий (давления шестерен и натяжения ремней) зависят от взаимного расположения валов и задаются некоторым углом. 1) Для заданной схемы вала по мощности и частоте вращения определяют значения скручивающих моментов, передаваемых шкивами и шестернями. При необходимости определяют величину и направление неизвестного скручивающего момента, составляя уравнение равновесия Σ m =0.

2) Строят эпюру крутящих моментов Mкр. . 3) Определяют усилия (давления) на шестернях Р и натяжения ремней t. 4) Усилия приводят к центру тяжести вала. Для шкивов учитывают также собственный вес G. 5) С учетом полученных схем приведения сил, определяют проекции этих сил на оси координат. Силы PX и PY вызывают изгиб вала в двух плоскостях. При определении вертикальных составляющих учитывают величину и направление собственного веса. 6) Изображают схему действия сил в вертикальной плоскости (с учетом направлений векторов), определяют опорные реакции и вычерчивают эпюру МХ.

7) Изображают схему действия сил в горизонтальной плоскости (с учетом направлений векторов), определяют опорные реакции и вычерчивают эпюру МY. Часто, для удобства, вектора сил поворачивают в одном направлении (по ходу или против хода часовой стрелки) в плоскость чертежа – в вертикальную плоскость. 8) Строят эпюру Мизг. как суммарную от действия МХ и МY. 9) Рассматривая эпюры крутящих и суммарных изгибающих моментов, определяют опасное сечение вала. 10) По одной из теорий прочности проводят расчет вала (чаще всего – проектировочный расчет, т. е. расчет диаметра вала). Из условия прочности формула для определения диаметра вала при совместном с учетом действии изгиба с

11. 3. 3. Приведение усилий к центру тяжести вала Валы в различных механизмах предназначаются для передачи или перераспределения мощности и частоты вращения за счет использования клиноременных или зубчатых передач. При этом валы подвергаются действию скручивающих моментов и усилий, действующих в общем случае по всем направлениям.

Зубчатая передача На параллельных валах, расположенных произвольно друг относительно друга, насажены шестерни. Последние находятся в зацеплении. В зацеплении возникает некоторое усилие (давление) P. Стрелкой показаны направления вращения шестерен с круговой частотой ω.

Рассмотрим, например, нижнюю шестерню диаметром D и перенесем вектор Р параллельно самому себе в центр тяжести вала, уравновесив его таким же усилием, но направленным в противоположную сторону. Перечеркнутые вектора усилия Р создают пару сил – момент, скручивающий вал: Вал диаметром d нагружен скручивающим моментом m и усилием P, приложенным в центре тяжести вала:

Обычно скручивающий момент задан или может быть определен через мощность N, к. Вт и частоту вращения ω, рад/сек: Усилие Р определяется по формуле к. Нм Частота вращения ω связана с числом оборотов вала n, об/мин зависимостью: Если мощность N будет задана в лошадиных силах (л. с. ), а число оборотов n, об/мин, то скручивающий момент m рассчитывается в к. Гм в соответствии с формулой

Клиноременная передача На валы насажены шкивы, которые соединяются между собой ремнем. За счет натяжения ремня усилие передается с одного вала на другой. Рассечем ремень и рассмотрим равновесие верхнего шкива диаметром D. В ветвях ременной передачи возникают усили Приведем эти усилия (натяжение набегающей ветви – t, сбегающей – 2 t), к центру тяжести вала.

Вал диаметром d нагружен скручивающим моментом m и усилием P=3 t, приложенным в центре тяжести вала. Скручивающий момент Натяжение Шкивы – достаточно массивные тела и их собственный вес необходимо учитывать. Вес шкива G прикладывается в центре тяжести вала и направлен вертикально вниз.

11. 4 Основы расчета прямых стержней прямоугольного сечения

Рассмотрим брус, нагруженный силами Р 1 и Р 2. Разложим внешние силы на составляющие (проекции на оси) и приведем их к оси вала.

Строим эпюры внутренних силовых факторов. По эпюрам устанавливаем опасное сечение. Опасным является сечение, где приложена сила Р 2.

Для определения опасных точек опасного сечения строим эпюры напряжений от всех внутренних силовых факторов: нормальных напряжений от действия изгибающих моментов, касательных напряжений от действия поперечных

Касательные напряжения при кручении прямоугольного сечения рассмотрены ранее. Максимальные значения касательных напряжений определяются: для длинной стороны (в точках L и N): WК = β W b 3 для короткой стороны К = β b 3 (в точках K и M): Значения коэффициентов зависят от отношения h/b.

Максимальные нормальные напряжения от изгиба не совпадают с максимальными касательными напряжениями от кручения, поэтому для выявления опасной точки необходимо рассматривать сочетание напряжений в разных точках сечения. Обычно бывает достаточно рассмотреть три точки: одну из угловых точек (А или С); одну посередине длинной стороны прямоугольника (L или N); одну посередине короткой

Для указанных точек: W К = β b 3

Величина касательных напряжений от действия поперечных сил мала и этими напряжениями обычно пренебрегают. Эквивалентные напряжения в опасных точках сечения (в точках L и K) определим по известным выражениям (например, по третьей теории прочности): в точке L в точке К

11. 5 Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом витка

Пружины, как упругие элементы, имеют широкое распространение в технике. Они используются в машинах и механизмах чаще всего в качестве амортизаторов – для смягчения ударов и толчков. Иногда – используются как аккумуляторы энергии для приведения в движение отдельных деталей или механизмов. Пружины изготавливают из высококачественной стали в виде прутков круглого поперечного сечения ([τ] = 200… 800 МПа). Цилиндрическими они называются потому, что имеют форму цилиндра. Пружины с малым шагом витка имеют угол наклона витка к плоскости, перпендикулярной оси пружины, не превышающий 14° (витки лежат в этой плоскости). Обычно такие пружины нагружаются осевой нагрузкой – растягивающей или сжимающей.

11. 5. 1 Внутренние силовые факторы Рассмотрим пружину, нагруженную растягивающей силой Р. Средний диаметр D (радиус пружины R) определяется как расстояние от центра тяжести сечения витка до оси пружины. Число витков обозначим n.

Рассечем пружину плоскостью, проходящей через ее ось, (сечение пройдет через виток пружины) и отбросим ее нижнюю часть. пружины Внешнюю силу перенесем параллельно в центр тяжести сечения проволоки. Приведем усилия к центру тяжести сечения вала. В центре тяжести сечения проволоки будут действовать поперечная сила и Q = Р крутящий момент:

11. 5. 2 Напряжения в сечении витка Для определения напряжений используем принцип суперпозиции. Действие поперечной силы вызывает деформацию сдвига, а крутящий момент – кручение. Вспомнив теорию этих видов нагружения, запишем соответствующие формулы для определения касательных напряжений: при сдвиге касательные напряжения распределены по сечению равномерно при кручении, в соответствии с формулой Максимальные касательные напряжения при кручении

11. 5. 3 Условие прочности Суммируем напряжения в опасных точках (на контуре сечения). Получаем условие прочности при растяжении (сжатии) пружины Увеличение среднего диаметра D уменьшает прочность пружины. Увеличение же диаметра проволоки d – наоборот, приводит к увеличению прочности. Кроме того, значение имеет кривизна пружины, определяемая отношением ее диаметров Обычно для пружин рассматриваемого типа

Если пружина имеет малую кривизну витков то влиянием сдвига обычно пренебрегают: Для пружин большой кривизны расчет напряжений ведут с учетом поправочного коэффициента k Величина коэффициента k всегда больше единицы. Условие прочности для пружин большой кривизны

11. 5. 4 Деформация (осадка) пружины Осадка (λ)– величина перемещения витков пружины под действием внешней нагрузки. Формулу для расчета осадки можно вывести, проанализировав величину потенциальной энергии, накапливаемой упругой системой при кручении. Она будет определяться работой внешних сил на перемещении λ.

Определение потенциальной энергии рассматривается в данном курсе позднее, поэтому без вывода и без учета влияния среза запишем формулу для определения осадки пружины: n – число витков пружины, G – модуль сдвига для материала проволоки. Жесткость пружины с есть величина усилия P, при котором осадка равна единице (1 мм, 1 см). [ кг/см ]. Чем больше число витков n, тем меньше жесткость пружины и больше ее деформация (осадка). При нагружении пружины расчетная величина осадки не должна превышать