11 12 Угол между векторами 1 10 А

11 12 Угол между векторами 1 10 А 2 В a 9 b a b= a 3 О Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Градусную меру этого угла обозначим буквой a 8 a 4 7 5 Угол между векторами равен a 6 a и b

Угол между векторами b a О 2 Градусная мера угла a не зависит от выбора точки О, от которой откладывают a векторы aиb b a a О 1 Обоснуем это с помощью рисунка.

Найти углы между векторами. f a a 30 d b c d 0 f b b ^d 300 a c = 1200 b c = 900 d c = 1800 Два вектора называются перпендикулярными, перпендикулярными если угол между ними равен 900. b^c a b= b^f d f = 00

№ 1039 Диагонали квадрата пересекаются в точке О. Найдите углы между векторами. 0 АВ, АС = 45 С В 0 АВ, DА = 90 OА, OB = 900 О OА, OС = 180 0 0 А D 0 АC, BD = 90 0 АD, DB = 135 0 АO, OC = 0

№ 1040 Диагонали ромба пересекаются в точке О, диагональ ВD равна стороне ромба. Найдите углы между векторами. С 0 АВ, АD = 60 0 АВ, DА = 120 BА, AD = 1200 В О D OC, OD = 90 0 0 АB, DC = 00 А АB, CD = 1800

Сумма векторов – вектор. Разность векторов – вектор. Произведение вектора на число – вектор. Скалярное произведение векторов – число. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a b = a b cos(a b )

0 a b = 900 b a b = a b cos 900 =0 a a b Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю. a b = 0 , то векторы a Обратно: если перпендикулярны. и b Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b =0 Û a ^b

a b < 900 >0 a b = a b cos a > 0 b a Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый. a b > 0 Û a b < 900

a b > 900 <0 a b = a b cos a < 0 b a Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой. a b < 0 Û a b > 900

Если a b = 00 b 1 a b = a b cos 00 = a b a Если a b = 1800 -1 a b = a b cos 1800 = – a b

a a = 00 a 1 a a = a a cos 00 = a a Скалярное произведение a a скалярным квадратом вектора = называется a и обозначается a 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2 = a 2

Определите знак скалярного произведения. c b <0 b n 350 c a b >0 a c =0 a a a >0 a n <0 c n =0 b n <0

Скалярное произведение в физике Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что F j M N работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними. A = F MN cos j A = F MN

В Найти скалярное произведение векторов 2 M А 2 4 MN MB = MN N С MB cos MN, MB = = 2 2 cos 600 = 4 1 = 2 2 MN CA = MN CA cos MN, CA = = 2 4 cos 1800 = 8 (-1) = – 8 NM CB = NM CB cos NM, CB = = 2 4 cos 600 = 8 1 = 4 2

В Найти скалярное произведение векторов CB CB = CB 2 = 42 =16 4 CB BC = – BC 2 = А С D AC CB = AC – BC 2 = – 42 = – 16 CB cos AC, CB = 4 4 cos 1200 = 16 (– cos 600) = 16 (– ) = – 8 2 AC BD = 0 т. к. AC ^ BD

Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание АС, СВ = … 0 90 15 АВ, СА = … 00 А АВ, СВ = … 0 60 300 6 0 CВ CА = … т. к. CВ ^ СА АВ ВА = … А BА = – BА 2 = –B В С – BА 2 = – 62 = – 36

Маленький тест ВС ВА = 1 2 9 9 ВС ВА ПОДУМАЙ ! cos ВС, ВА = 6 3 cos 600 = 18 1 2 В 600 ВЕРНО! 6 300 3 18 Проверка ПОДУМАЙ ! С А

Скалярное произведение векторов АС и ВА : отрицательно, т. к. угол между векторами тупой В ВЕРНО! 1 2 3 6 отрицательно; ПОДУМАЙ ! равно нулю; положительно. Проверка (2) 300 С ПОДУМАЙ ! А

Скалярное произведение координатных векторов i и j : равно нулю, т. к. угол между векторами прямой y 1 1 2 – 1 3 0 ПОДУМАЙ ! ВЕРНО! Проверка j О i 1 x

Скалярный квадрат вектора ВЕРНО! 1 1 2 – 1 ПОДУМАЙ ! 3 0 ПОДУМАЙ ! Проверка i равен: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. i 2= i 2 = 1

a b = 12, 12 a = 3, то векторы a и b : b = 4, Если ВЕРНО! 1 2 3 сонаправлены; перпендикулярны; a b = a b cos a b 12 = 3 4 cos a b ПОДУМАЙ ! противоположно направлены. cos a b = 1 a b = 00 ПОДУМАЙ ! Проверка (4) если a b

– 20 x y = – 20, x = 4 , то векторы x и y : y = 5, 5 Если x y = x y cos x y 1 2 3 ПОДУМАЙ ! – 20 = 4 5 cos x y сонаправлены; ПОДУМАЙ ! перпендикулярны; ВЕРНО! противоположно направлены. Проверка (4) cos x y = – 1 x y = 1800 если x y

m и n , если m = 5, n = 6. Найдите угол между векторами m n = – 15, 1 2 3 500 ПОДУМАЙ ! 600 1200 ВЕРНО! Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой Проверка

12, a b = 12 Если a=3 3, b = 8, 8 то угол между векторами a 1 b и 300 2 600 3 1200 равен: ПОДУМАЙ ! ВЕРНО! ПОДУМАЙ ! Проверка (3) a b = a b cos a b 12 = 3 8 cos a b = 1 2 a b = 600