10. Потенциал. Работа сил электрического поля. Рассмотрим электрическое поле точечного заряда q. Если в это поле поместить другой заряд q´, то на него будет действовать кулоновская сила где - единичный вектор, направленный вдоль радиусвектора , соединяющего заряд q с зарядом q´. Кулоновская сила центральная, поэтому она консервативная и следовательно работа, совершаемая этой силой при перемещении заряда q´ в поле заряда q не зависит от пути.
Пусть 1 и 2 начальная и конечная точки, в которых находился заряд q´. Работа кулоновской силы на произвольном пути между этими точками равна (1. 30) где r 1 и r 2 – расстояния между зарядами q и q´ в начале и конце движения заряда q´ , - проекция вектора перемещения на направление вектора силы,
вместе с тем является приращением расстояния между зарядами. Если начальная и конечные точки совпадают, то перемещение заряда происходит по замкнутому пути L. В этом случае r 1 = r 2 и согласно (1. 30) работа кулоновской силы равна нулю Отсюда получаем соотношение (1. 31) где поля - проекция вектора напряженности электрического на направление элементарного перемещения.
Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности по замкнутому контуру L. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Силовое поле, обладающее таким свойством называется потенциальным. Формула (1. 31) справедлива только для поля неподвижных зарядов. Если заряды движутся, то циркуляция вектора напряженности не равна нулю.
Формула (1. 30) показывает, что работа по перемещению заряда q´ не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точки. Отсюда следует, что электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными. Работу можно записать как разность значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках
Величина константы в потенциальной энергии не влияет на физические свойства. Ее выбирают так, чтобы при удалении заряда q´ от заряда q на бесконечность потенциальная энергия обращалась в нуль, тогда const = 0 и получаем (1. 32)
Будем теперь рассматривать заряд q´ как пробный заряд, с помощью которого изучается электрическое поле заряда q. Составим отношение. Оно уже не зависит от величины пробного заряда и поэтому характеристикой электрического поля заряда q является (1. 33) - называется потенциалом электрического поля в точке r.
Как видно из формулы (1. 33), потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный пробный заряд. Поэтому потенциал – является энергетической характеристикой электрического поля. Если имеется система зарядов q 1, q 2 , …, q. N, то из принципа суперпозиции вытекает, что потенциал суммарного электрического поля системы равен сумме потенциалов электрических полей отдельных зарядов (1. 34) где - r 1, r 2 , …, r. N - расстояния от зарядов до выбранной точки поля.
Из формулы (1. 33) также следует, что некоторый заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом имеет потенциальную энергию (1. 35) Работа сил поля, совершаемая при перемещении этого заряда из точки 1 в точку 2, пропорциональна убыли потенциала (1. 36)
Если заряд q перемещается в точку 2, находящуюся на бесконечности, то и значит Следовательно, потенциал равен работе, совершаемой силами электрического поля над единичным положительным зарядом при перемещении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу надо совершить против сил электрического поля, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в заданную точку поля.
За единицу электрического потенциала принимается потенциал в такой точке поля для перемещения в которую из бесконечности положительного заряда величиной в 1 Кл необходимо совершить работу, равную 1 Дж. Эта единица называется вольтом Для характеристики энергий микрочастиц часто используется вспомогательная единица энергии – электронвольт (э. В). Электронвольт равен работе, совершаемой силами электрического поля над элементарным зарядом при его перемещении между двумя точками, разность потенциалов которых составляет 1 В
11. Связь потенциала и напряженности электрического поля. Эквипотенциальные поверхности Электрическое поле можно описать с помощью двух величин – вектором напряженности и потенциалом. Между ними существует связь, найдем ее. Для этого используем выражение для силы , действующей на заряд q в электрическом поле. С одной стороны эта сила равна С другой стороны, для консервативных сил Приравнивая, получаем (1. 37)
или в декартовых проекциях (1. 38)
Построим теперь поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Уравнение поверхности имеет вид Такая поверхность называется эквипотенциальной. При любом перемещении вдоль этой поверхности потенциал не меняется, поэтому согласно (1. 36) работа электрических сил при таком перемещении заряда равна нулю. Пусть - вектор элементарного перемещения, направленный по касательной к эквипотенциальной поверхности. Работу электрических сил при таком перемещении заряда q´ можем записать как где - угол между векторами и .
Поскольку работа d. A при перемещении по эквипотенциальной поверхности должна быть равна нулю, то Значит, что вектор напряженности электрического поля перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности в каждой ее точке. Поэтому силовые линии напряженности электрического поля ортогональны к эквипотенциальной поверхности. Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была постоянна. Тогда по густоте этих поверхностей можно судить о напряженности поля. Действительно, там где эквипотенциальные поверхности расположены гуще, там быстрее меняется потенциал, то есть больше , а значит больше и.
Зная положение силовых линий можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление вектора напряженности. Рассмотрим два простейших случая, взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.
1) Потенциал точечного заряда q равен Поэтому эквипотенциальные поверхности его поля являются концентрическими сферами, а силовые линии – радиальными прямыми.
2) Электрическое поле между разноименно заряженными бесконечными плоскостями однородно и направлено перпендикулярно к ним. Эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости перпендикулярные и параллельные заряженным плоскостям.
12. Примеры расчета разности потенциалов по напряженности электрического поля Используя формулы (1. 37) и (1. 38), связывающие напряженность электрического поля с потенциалом, найдем разность потенциалов между точками поля, созданного протяженными электрическими зарядами.
1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
2) Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей Между плоскостями поле однородное, напряженность равна Поэтому разность потенциалов между двумя точками в этом месте В частности, разность потенциалов между плоскостями В точках, расположенных слева и справа от двух плоскостей, электрическое поле и потенциал равны нулю.
3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности Заряд сферы равен Q, радиус сферы - R. Вне сферы r > R напряженность поля такая же, как и у точечного заряда. Поэтому можно воспользоваться формулой (1. 33) для потенциала Тогда для разности потенциалов в двух точках вне сферы (r 1 > R, r 2 > R), получаем
Внутри сферы r < R напряженность поля равна нулю E = 0, поэтому из следует условия . Найдем константу из граничного Распределение потенциала заряженной сферы показано на рисунке.
4) Поле равномерно заряженного шара Заряд шара равен Q, радиус шара равен R. Вне шара поле такое же, как у точечного заряда и заряженной сферы, поэтому разность потенциалов в точках, находящихся вне шара равна Внутри шара r < R напряженность поля равна
Если две точки 1 и 2 находятся внутри шара (r 1 < R, r 2 < R), то разность потенциалов между ними равна
5) Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра Радиус цилиндра равен R, линейная плотность заряда равна λ. Напряженность поля вне цилиндра (r > R) равна Поэтому разность потенциалов между двумя точками, расположенными вне цилиндра (r 1 > R, r 2 > r 1), есть
Скачать презентацию 10 Потенциал Работа сил электрического поля Рассмотрим электрическое
Lektsia_4_Potentsial_2.ppt