1 ЗВІДНОСТІ Проблема  зводиться до проблеми :

1 ЗВІДНОСТІ Проблема  зводиться до проблеми : з розв’язності  випливає розв’язність . Нерозв’язна  зводиться до    нерозв’язна. Метод нумерацій дозволяє масові проблеми подавати за допомогою числових множин, тому далі – звідність множин. Уточнення поняття звідності A до B відрізняються способом застосування та обсягом інформації про B, яку використовуємо для розв’язання питання про A. Сильні звідності: m-звідність та її окремий випадок – 1-звідність. Неформально m-звідність множини A до множини B: для розв'язання питання "xA" треба поставити єдине питання до множини B, причому заздалегідь указаним ефективним способом, який можна уточнити як певну РФ g, тобто питання "g(x)B".

2 m-звідність, 1-звідність A m B, якщо існує РФ g: xN xA  g(x)B. Записуємо також g : A m B. A 1 B, якщо існує ін’єктивна РФ g: xN xA  g(x)B. Властивості m-звідності та 1-звідності r1) Якщо A 1 B, то A m B. r2) Відношення 1 та m рефлексивні й транзитивні. r3) Am B  A m B; те саме вірно для 1. r4) Якщо A m B та B є РМ, то A є РМ; те саме для 1. g : A m B  A(x) = B(g(x)) – РФ, адже B та g є РФ. r5) Якщо A m B та B є РПМ, то A є РПМ; те саме для 1. РФ g: A m B  чA(x) = чB(g(x)) – ЧРФ, адже чB є ЧРФ. r6) A – нерекурсивна РПМ  невірно A m A та невірно A m A; те саме для 1. Справді, A не є РПМ (теорема Поста). За r5) невірно A m A; за r3) невірно A m A. .

3 r7) A m N  A = N; те саме для 1. Нехай g : A m N, тоді xA  g(x)N. Але g(x)N вірно завжди. r8) A m   A = ; те саме для 1. r9) N m A  A  . Якщо РФ g : N m А, то AЕg  . Якщо A  , то зафіксуємо aA і задамо g(x) = a xN; тоді g : N m A. r10)  m A  A  N. r11) N 1A  A містить нескінченну РПМ. Нехай g : N 1 A. Тоді xN  g(x)A, звідки Eg A. Однак Eg є нескінченною РПМ як область значень ін’єктивної РФ g. Якщо L –нескінченна РПМ та LA, то L = Eg для деякої ін’єктивної РФ g. Тоді g(x)A для всіх xN, звідки g : N 1 A.

4 r12) Якщо A рекурсивна і B   та B  N, то A m B. Виберемо bB, aB. РФ g(x) = bA(x)+ansg(A(x)) m-зводить A до B. r13) Для довільної B маємо A m AB та A m BA. 2x : A m AB та 2x+1 : A m BA. r14) Для довільної B маємо A m AB та A m BA. Візьмемо довільний bB. Тоді C(x, b) : A m AB та C(b, x) : A m BA. r15) Якщо A є РПМ, то A m D.

5 m-еквівалентність A m B  A m B та B m A. Bведемо класи еквівалентності відносно m – m-степені. dm(A) = {B | A m B}. Пишемо A

6 Пишемо a

7 Властивості m-степенів Згідно r4), r5), r7), r8), r12), r15) маємо d1) 0m m a для всіх m-степенів a  0,  n. d2) n m a для всіх m-степенів a  0. d3) 0 m a для всіх m-степенів a  n. d4) Якщо a m b і m-степінь b – РП, то a – РП m-степінь. d5) Існує найбільший РП m-степінь 0'm : b m 0'm  РП m-степеня b. Точна верхня грань (супремум) m-степенів a та b – m-степінь ab: – a m ab та b m ab; – ab m d  m-степеня d такого, що a m d та b m d.

8 Теорема (про супремум). Для кожної пари m-степенів a та b існує єдина точна верхня грань. Покладемо ab = dm(AB), де Aa, Bb. Тоді 2x : A m AB та 2x+1 : B m AB. Отже, a m ab, b m ab. Якщо a та b – РП m-степені, то ab – РП m-степінь Нехай d – довільний m-степінь такий, що a m d та b m d. Нехай Md, f та g – такі РФ, що f : A m M та g : B m M. m-зводить AB до M. Тому ab = dm(AB) m d. Звідси ab – точна верхня грань m-степенів a та b.

9 Продуктивні та креативні множини Нехай A – не РПМ. Тоді не існує такого n, що A = Dn. Тому для кожної Dx A існує yA\ Dx (множина таких y нескінченна). Якщо таке y ефективно обчислюється за x, то A – продуктивна. A продуктивна, якщо існує РФ g така, що Dx  A  g(x)A\ Dx. Така g – продуктивна функція множини A. Множина креативна, якщо вона є РПМ і має продуктивне доповнення. Приклад 1. Множина D продуктивна з продуктивною функцією g(x) = x. Нехай Dx  D. Якщо xDx, то x(x), тому xD, що суперечить Dx  D. Отже, xDx, тому xD. Звідси xD\Dx. Приклад 2. Множина D креативна, тому що D є РПМ і D продуктивна.

10 Теорема 1. Нехай A – продуктивна та A m B. Тоді множина B продуктивна. Нехай РФ f : A m B, g – продуктивна функція для A. Візьмемо довільну Dx B. Маємо xA  f(x)B, тому f–1(Dx) = {y | f(y)Dx}  A. x(f(y)) є ЧРФ, тому за s-m-n існує РФ k така: xy маємо x(f(y)) = k(x)(y). Звідси yf–1(Dx)  f(y)Dx  yDk(x), тому f–1(Dx) = Dk(x). Однак f–1(Dx)A і g продуктивна для A, тому g(k(x))A\f–1(Dx) = A\Dk(x). Звідси f(g(k(x)))B\Dx. Отже, B продуктивна з продуктивною f(g(k(x))). Наслідок. Нехай A креативна, B – РПМ та A m B. Тоді B креативна. Якщо A mB, то A m B за r3); але A креативна, тому A продуктивна, звідки B продуктивна, тому РПМ B креативна.

11 Приклад 3. Для кожного aN множина Ca = {x | x(x) = a} креативна. За s-m-n існує РФ s така: f(z, x) = s(z)(x) для всіх z, x. Звідси zD  s(z)(s(z)) = а  s(z)Ca, тому РФ s : D m Ca. Однак "xCa" є ЧРП: xCa  Px(x)a. Отже, Ca є РПМ, за наслідком теореми 1 множина Ca креативна.

12 Достатні умови продуктивності для індексних множин Такі умови базуються на теоремі Райса – Шапіро. Теорема 2. Для продуктивності N() достатньою є одна з умов: Пр1) ЧРФn та f; Пр2) існує fЧРФn така, що  для кожної скінченної   f; Пр3) існують fЧРФn та gЧРФn такі, що g та f g. Для доведення Пр1 та Пр2 повторимо доведення теореми Райса дуальної та теореми Райса–Шапіро. Для побудованих там РФ s маємо zD  s(z)N(). Для доведення Пр3 задамо Повторимо доведення теореми Райса–Шапіро та знайдемо РФ s таку: zD  s(z)N()

13 Пр1 випливає з Пр3. Візьмемо f = f, тоді fg для довільної g. За Пр3 N() продуктивна. Приклад 4. Множина A = {x | х є заданою ЧРФ g} продуктивна. Якщо g – нескінченна функція, то А продуктивна за Пр2. Якщо g – скінченна, то А продуктивна за Пр3. Приклад 5. A = {x | х не є заданою ЧРФ g} продуктивна при g  f та креативна при g = f. Якщо g  f, то f{х | х не є заданою ЧРФ g}, тому множина А продуктивна за Пр1. Якщо g = f, то A = {x | х  f} = {x | Dх  } є РПМ, тому вона креативна.

14 Теорема 3. 1) Нехай ЧРФn. Тоді N() рекурсивна   =  або  = ЧРФn. 2) Нехай ЧРФn та . Тоді N() є РПМ  N() креативна. Твердження 1) випливає з теореми Райса. Неможливо f, так як тоді N() продуктивна за Пр1, тому не є РПМ. Отже, f, звідси N(’) = N \ N() за Пр1 продуктивна, і якщо N() є РПМ, то вона креативна. Теорема 4. Клас продуктивних множин незамкнений відносно , , . A = {x | x не є РФ} продуктивна за Пр1: f{x | x не є РФ}. B ={x | x є РФ} продуктивна за Пр2, тому що для кожної РФ g кожна скінченна   g не є РФ. Звідси: AB = N та AB =  – не продуктивні. Якщо L креативна, то M = L продуктивна, але РПМ L = M не продуктивна.

15 Теорема 5. 1) Якщо A продуктивна, то AB та BA продуктивні. 2) Якщо A креативна та B є РПМ, то AB та BA креативні. 3) Якщо A продуктивна та B  , то AB та BA продуктивні. 4) Якщо A креативна, B   та В є РПМ, то AB та BA креативні. Якщо A креативна та B є РПМ, то AB, BA, AB та BA є РПМ Твердження теореми випливає з теореми 1, її наслідку, r13, r14. Теорема 6. Клас креативних множин незамкнений відносно , , . Якщо A креативна, то AN та NA креативні за теоремою 5. Однак (AN)(NA) = N не креативна, тому що рекурсивна. За прикладом 3 C0 = {x | x(x) = 0} та C1 = {x | x(x) = 1} креативні. Однак C0 C1 =  – рекурсивна, тому не креативна. Якщо A креативна, то A продуктивна, тому не креативна

16 Теорема 7. Кожна продуктивна множина містить нескінченну РПМ. Нехай A – продуктивна множина з продуктивною функцією g. За s-m-n виначимо РФ k таку: Dk(x) = Dx{g(x)} для кожного x. Побудуємо послідовності x0, x1,..., xn,... та y0, y1,..., yn,... Нехай x0 – один з індексів функції f. Тоді y0 = g(x0). Але Dx0 =   A, тому за продуктивністю A y0 = g(x0)A\ Dx0 = A. Після n-го кроку: Dxn = {y0, y1,..., yn–1}A, де всі yk попарно різні. На (n+1)-му кроці: хn+1 = k(xn), yn+1 = g(xn+1). Маємо Dxn+1 = Dk(xn) = Dxn{g(xn)} = Dxn{yn} = {y0, y1,..., yn}. За продуктивністю A тоді yn+1 = g(xn+1)A\Dxn+1 = A\{y0, y1,..., yn}. Таким чином, yn+1A та yn+1{y0, y1,..., yn}. Отже, B = {y0, y1,..., yn} нескінченна та BA. Множина B алгоритмічно перелічна, тому за ТЧ B є РПМ.

17 Імунні та прості множини Нескінченна множина імунна, якщо вона не містить нескінченних РПМ. Іімунна не може бути РПМ. За теоремою 7 імунна не може бути продуктивною. Множина проста, якщо вона є РПМ і має імунне доповнення. A проста  A є РПМ, A нескінченна та AR    нескінченної РПМ R. Проста множина не може бути ні рекурсивною, ні креативною.

18 Теорема 1. Існує ЧРФ f така, що Еf імунна та Еf проста. Побудуємо ЧРФ f таку, що Еf містить хоч би по одному елементу кожної нескінченної РПМ та Еf нескінченна. Жодна нескінченна РПМ повністю в таку Еf не вміщається, тому Еf імунна, а Ef – проста. Визначимо f(x) = x(z(x(z)>4x)). Тоді f(x)>4x для всіх xDf. Для довільного nN множина {0,..., 4n} містить n елементів Ef , так як f(n)>4n і елементи Ef можуть братися тільки з f(0),..., f(n–1). Тому nN {0, ..., 4n} містить > 3n елементів множини Еf . Отже, Еf нескінченна. Нехай B – довільна нескінченна РПМ. Тоді B = Eg для деякої РФ g. Нехай k – індекс функції g, тобто g суть k. Значення f(x) = x(z(x(z)>4x)) визначене, тому що k є РФ із нескінченною множиною значень. Отже, f(k)Ek Ef = EgEf = BEf, тому BEf    неможливо BEf

19 Теорема 2. Множина A проста  A нескінченна та AR є нескінченною РПМ для кожної нескінченної РПМ R. Доводимо . Припустимо супротивне: існує така нескінченна РПМ R, що AR скінченна. Тоді R\(AR) = R\ A теж нескінченна РПМ, але A(R\ A) = . Це суперечить простоті множини A. Доводимо . N є нескінченною РПМ, тому за умовою множина AN = A є нескінченною РПМ. Якщо для кожної нескінченної РПМ R множина A R нескінченна, то AR. Отже, A проста. Теорема 3. Якщо множини A та B прості, то AB проста. Нехай R – нескінченна РПМ. Якщо A проста, то за теоремою 2 AR є нескінченною РПМ. Звідси (AB)R = B(AR)   за простотою B. A та B нескінченні, звідки N\(AB)  A нескінченна. Тому AB проста.

20 Теорема 4. Існують прості множини A та B такі: AB = N. Задамо f(x) = x(z(x(z) > 4x)). За доведенням теореми 1 Еf проста. Розглянемо A = Ef N2x та B = Ef N2x+1. Зрозуміло, що AB = N. Покажемо, що A та B прості. nN множина {0, ..., 4n} містить n елементів Ef. Крім того, {0,..., 4n} містить 2n+1 парних і 2n непарних чисел. Отже, {0,..., 4n} містить 3n+1 елементів A та 3n елементів B. Тому для nN множина {0, ..., 4n} містить n елементів A та >n елементів B, звідки A та B нескінченні. Нехай R – довільна нескінченна РПМ. Тоді R = Ek, де k – індекс деякої РФ k. Значення f(x) = x(z(x(z)>4x)) визначене, тому що k є РФ та Ek нескінченна. Отже, f(k)EkEf = REf, тому REf  . Звідси R (Ef N2x) = RA   та R(Ef N2x+1) = RB  . Таким чином, A та B – прості множини, для яких AB = N. Наслідок. Клас простих множин незамкнений відносно  та доповнення.

21 Теорема 5. Якщо множини A та B прості, то AB проста. Теорема 6. Якщо A проста, то AB та BA не є простими. Візьмемо довільний dA. Тоді L = {d}N та M = N{d} – нескінченні РПМ. Однак L(AB) =  та M(BA) = , тому AB та BA не прості. Наслідок. Якщо множини A та B прості, то AB не проста.

22 Посилення властивостей імунності й простоти веде до понять гіперімунної та гіперпростої множин. Нехай A = {z0zn для всіх n. Множина A гіперімунна, якщо A нескінченна та не існує РФ, яка мажорує A. Множина A гіперпроста, якщо A є РПМ та A гіперімунна. Теорема 7. Гіперімунні множини існують. Нехай f0, f1,..., fn,... – деяка послідовність тотальних функцій на N, яка включає всі РФ1. Задамо функцію g: g(0) = f0(0); g(n+1) = z(z>g(n) та z>fn+1(n+1)). Звідси Еg не мажорується жодною РФ, тому Еg гіперімунна.

23 Теорема 8. Якщо A гіперімунна, то A імунна. Нехай нескінченна множина A не імунна. Тоді A не гіперімунна. Якщо A не імунна, то A  нескінченну РПМ, звідки існує нескінченна РМ RA. Нехай f – строго монотонна РФ така, що R = Ef . Тоді R = {f(0) zin  zn. Отже, РФ g мажорує A, тому A не гіперімунна. Наслідок. Якщо A гіперпроста, то A проста.

24 Рекурсивна та ефективна нероздільність. m-повнота Множини A і B ефективно нероздільні якщо AB =  та існує РФ f(x, y) така: Da A, Db B та DaDb =   f(а, b)DaDb Така f – продуктивна функція пари нероздільних множин A та B. Множини A і B рекурсивно нероздільні, якщо AB =  і не існує РМ R такої, що RA та RB = . Теорема 1. Якщо A і B ефективно нероздільні, то A і B рекурсивно-нероздільні. Нехай A і B – ефективно нероздільні з продуктивною функцією f. Припустимо, що A і B не є рекурсивно-нероздільними, тобто існує РМ R: RA та RB = . Нехай R = Da та R = Db. Тоді R = Da A, R = Db B, DaDb = RR = . Однак DaDb = RR = N, що суперечить ефективній нероздільності A і B.

25 Теорема 2. C0 = {x | x(x)=0} та C1 = {x | x(x)=1} –ефективно нероздільні РПМ. Задамо функцію h, яка за тезою Чорча є ЧРФ. За s-m-n існує РФ u така: h(x, y, z) = u(x,y)(z)  x, y, z. Покажемо, що u – продуктивна функція для пари нероздільних C0 та C1. Нехай a і b такі, що Da C0, Db C1 та DaDb = . u(a, b)Da  u(a,b)(u(a, b)) = h(a, b, u(a, b)) = 1  u(a, b)C1Db – суп-ть. u(a, b)Db  u(a,b)(u(a, b)) = h(a, b, u(a, b)) = 0  u(a, b)C0Da – суп-ть. Отже, u(a, b)DaDb  u – продуктивна для пари ефективно нероздільних C0 і C1

26 Теорема 3. Нехай A і B – ефективно нероздільні РПМ. Тоді A і B креативні. Нехай A = Da та B = Db. Нехай f – продуктивна функція для пари множин A та B. Візьмемо РФ u: Du(x,y) = DxDy для всіх x, y. Візьмемо довільну Dх  A. Тоді DxB = DxDb = Du(x,b). Маємо Du(x,b) B, Da = A. Звідси f(а, u(x, b))DaDu(x,b) = ABDx. Тому f(а, u(x, b))A\Dx. Отже, g(x) = f(а, u(x, b)) є продуктивною функцією для A, звідки A креативна. Аналогічно p(x) = f(u(x, а)), b) – продуктивна для B, звідки B креативна.

27 РПМ L m-повна, якщо A m L для кожної РПМ A. РПМ L 1-повна, якщо A 1L для кожної РПМ A. Теорема 4. A є РПМ  A m D. D є РПМ, тому A m D  A є РПМ. Якщо A є РПМ, то f(x, y) = чА(x) + 0y є ЧРФ. За s-m-n існує РФ s(x): f(x, y) = s(x)(y)  x, y. Маємо xA  s(x)(y) = 1 y  s(x)(s(x))  s(x)D. Тому s : A m D Наслідок 1. Множина D m-повна. Наслідок 2. Множина L m-повна  L m D. Наслідок 3. m-степінь 0'm складається з m-повних множин. Наслідок 4. Кожна m-повна множина креативна. РПМ L m-повна  D m L  (D креативна) L креативна.

28 Теорема (Майхілла). Якщо L креативна, то L m-повна. Нехай B – довільна РПМ, p – продуктивна функція L. Покажемо B m L. За s-m-n  РФ s(x, y): f(x, y, z)  s(x,y)(z)  За теоремою ClFP для s(x, y) існує РФ n(y): y s(n(y),y) = n(y) Звідси y Ds(n(y),y) = Dn(y)  Покажемо yB  p(n(y))L. Це означає p(n(y)) : B m L. Нехай yB, тоді Dn(y) ={p(n(y))}. Нехай p(n(y))L  {p(n(y))} = Dn(y)  L  (L продуктивна) p(n(y))L\ Dn(y) – суп-ть. Тому p(n(y))L. Нехай yB  Dn(y) =   (L продуктивна) p(n(y))L\ = L  p(n(y))L Наслідок 1. L креативна  L m-повна. Наслідок 2. b – m-степінь простої множини  0m

29 ВІДНОСНА ОБЧИСЛЮВАНІСТЬ. Т-ЗВІДНІСТЬ Розглядаємо обчислюваність n-арних функцій на N відносно тотальних функцій. Неформально: f обчислювана відносно тотальної функції  (оракула), якщо існує алгоритм для обчислення f, який може брати потрібні значення функції . Формалізація відносної обчислюваності. Релятивізація теорем МНРО додатково використовують команди O(n) – звернення до оракула Виконання команди O(n) означає: 'Rn := ('Rn). Смисл МНРО-програми залежить від конкретного оракула. МНРО-програму P, яка виконується МНРО з оракулом , позначаємо P. МНРО-програма P обчислює f : NnN відносно оракула , або -обчислює f, якщо f(a1, a2,..., an) = b  P(a1, a2,..., an)b. Функція f МНРО-обчислювана відносно , або -обчислювана, якщо існує МНРО-програма P, яка обчислює f відносно .

30 Функція частково рекурсивна відносно , або -ЧРФ, якщо вона отримується з о, s, Іmn та  за допомогою операцій Sn+1, R, M. -РФ – це тотальна -ЧРФ Теорема 1. f є -ЧРФ  f МНРО-обчислювана відносно . Клас усіх -ЧРФ позначимо ЧРФ. Елементарні властивості -ЧРФ: о1) ЧРФ. о2) Для довільного оракула  маємо ЧРФЧРФ. о3) Якщо тотальна функція  є -ЧРФ, то ЧРФ ЧРФ. о4) Якщо  рекурсивна, то ЧРФ = ЧРФ. Релятивний аналог тези Чорча: Теза Тьюрінга. Клас -ЧРФ збігається з класом n-арних функцій на N, алгоритмічно обчислюваних відносно .

31 Ефективна нумерація n-арних -ЧРФ – на основі кодування МНРО-програм. Кодування команд МНРО: (Z(n)) = 5n; (S(n)) = 5n+1; (T(m, n)) = 5С(m, n)+2; (J(m, n, q+1)) = 5С(С(m, n), q)+3; (O(n)) = 5n+4. Позначення: m,n Dm,n Em,n Якщо n=1, то позначення m Dm Em L назвемо -РМ, якщо L є -РФ. L назвемо -РПМ, якщо L =  або L = Ef для деякої -РФ f. Предикат P назвемо -РП, якщо P є -РФ. Предикат P назвемо -ЧРП, якщо чР є -ЧРФ.

32 Релятивні варіанти теорем R1) Релятивна s-m-n-теорема.  m, n>1  РФm+1 smn(z, x1,..., xm): z,x1,...,xm,y1,...,yn Релятивна s-m-n (спрощена).  -ЧРФ f(x, y)  РФ s(x): x, y f(x, y) = s(x)(y). R2) Функція, універсальна для класу n-арних -РФ, не є -ЧРФ. R3) Існує -ЧРФ, універсальна для класу n-арних -ЧРФ. R4) Релятивна теорема Кліні про НТ. R5) Релятивна теорема Поста. Якщо L та L є -РПМ, то L та L є -РМ. R6) Такі визначення -РПМ еквівалентні: df1) L =  або L є областю значень деякої -РФ; df2) L є областю значень деякої -ЧРФ; df3) L є областю визначення деякої -ЧРФ; df4) часткова характеристична функція множини L є -ЧРФ.

33 R7) Q(x1,..., xn) є -ЧРП тоді й тільки тоді, коли існує -РП R(x1,..., xn, y): Q(x1,..., xn)  yR(x1,..., xn, y). R8) Якщо Q(x1,..., xn, y) є -ЧРП, то y1...ykQ(x1,..., xn, y1,..., yk) теж є -ЧРП. R9) D = {x | х (x) визначене} є -РПМ і не є -РМ. R10) D = {x | х (x) невизначене} не є -РПМ. Обчислюваність відносно множини B – це обчислюваність відносно B. Функцію називають B-РФ / B-ЧРФ, якщо вона B-РФ / B-ЧРФ. Множину A називають B-рекурсивною, якщо A є B -РФ. Множину A називають B-РПМ, якщо чA є B-ЧРФ. Предикат P називають B-рекурсивним, якщо P є B-РФ. Предикат P називають B-ЧРП, якщо чP є B-ЧРФ. Позначення: mB,n DmB,,n EmB,n mB DmB EmB ЧРФB РФB

34 Теорема 3. 1) Множина A є A-РМ. 2) Якщо A є B-РМ і B є C-РМ, то A є C-РМ. 3) Якщо A є B-РПМ і B є C-РМ, то A є C-РПМ. 4) Якщо A є B-РМ і B є C-РПМ, то не завжди A є C-РПМ. Доводимо 1). Маємо A(x) = nsg(A(x)), тому A є A-РМ. Доводимо 2). B є C-РМ  B є C-РФ  ЧРФB ЧРФC. Але A є B-РМ, тобто AЧРФB, звідки AЧРФC. Доводимо 3). B є C-РМ  ЧРФBЧРФC. Але A є B-РПМ  чAЧРФBЧРФC. Доводимо 4). Візьмемо A = DC і B = DC. Тоді DC є DC-РМ згідно 1) та DC є C-РПМ, але DC не є C-РПМ.

35 T-звідність Патологічні властивості m-звідності: – специфічна поведінка  та N, – не завжди A m A. Така неприємна ситуація – внаслідок обмеженості природи m-звідності: g : A m B, якщо для розв'язання питання "xA" треба задати єдине питання до B, причому заздалегідь указаним способом "g(x)B". Загальніші: таблична та обмежено-таблична звідності tt та btt, q-звідність q Найадекватніше інтуїтивне поняття звідності – Тьюрінгова звідність Неформально AT B, якщо для розв'язання "xA" необхідно відповісти на скінченну кількість питань про B, але їх кількість і природа заздалегідь невідомі. A T-зводиться до B, якщо A є B-рекурсивною. A T B, якщо A T B та B T A. A

36 Властивості T-звідності t1) A T A. t2) Якщо A T B та B T C, то A T C. Випливає з п. 2 теореми 3. t3) Для кожної A маємо A T A та AT A. Випл. з п. 1 теор. 3. t4) A T A для кожної множини A. Випливає з t3). t5) Якщо A m B, то A T B. Нехай РФ g : A m B. Тоді A(x) = В(g(x)), звідки A є B-РФ. t6) Якщо B є РМ і AT B, то A є РМ. B є РФ, тому ЧРФB = ЧРФ та РФB = РФ. Якщо AT B, то AРФB = РФ. t7) Якщо A є РМ, то AT B для кожної множини B. AРФЧРФЧРФB, звідки A є B-рекурсивною. t8) Якщо A є РПМ, то AT D. За r15) Am D для кожної РПМ A, звідки за t5) A T D.

37 Теорема 1. B є A-РПМ  Bm DA. B є A-РПМ  чB є A-ЧРФ  f(x, y) = чB(x)+o(y) є A-ЧРФ. За релятивною s-m-n-теоремою існує РФ s така: f(x, y) = Аs(x)(у) для всіх x, y. При xB маємо Аs(x)(у) = 1 для всіх y, звідки Аs(x)(s(x)), тому s(x)DA. При xB маємо  Аs(x)(у) для всіх y, тому Аs(x)(s(x)), звідки s(x)DA. Отже, xB  s(x)DA, тому Bm DA. Нехай РФ f : Bm DA. Тоді xB  s(x)DA. Але DA є A-РПМ, f є РФ  "xB" є A-ЧРП  B є A-РПМ. Наслідок 1. Якщо B є A-РПМ, то BT DA. Наслідок 2. A

38 Приклад 1. Існують множини А та В такі: А

39 Вводимо класи еквівалентності відносно T dT(A) = {B | ATB} Такі класи назвемо T-степенями, або степенями нерозв'язності. T-степінь рекурсивний, якщо він містить РМ. T-степінь рекурсивно-перелічний, якщо він містить РПМ. На множині T-степенів введемо відношення  часткового порядку: a  b, якщо A T B для деяких Aa, Bb. Зрозуміло, що a  b  A T B для всіх Aa, Bb. Будемо писати a < b, якщо a  b та a  b. a | b, якщо невірно a < b та невірно b  a.

40 Властивості T-степенів s1) Існує єдиний рекурсивний T-степінь 0, який складається з усіх РМ. 0 є найменшим T-степенем: 0 < b для кожного T-степеня b  0. s2) Існує найбільший рекурсивно-перелічний T-степінь 0' = dT(D): b  0' для кожного рекурсивно-перелічного T-степеня b. s3) Кожний нерекурсивний РП Т-степінь містить множини, які не є РПМ. s4) Якщо dm(A) m dm(В), то dТ(A) Т dТ(В). s5) dm(A)  dТ(A) для довільної множини A. Теорема 2.  пари T-степенів a та b існує єдина точна верхня грань ab = dT(AB), де Aa, Bb. Am AB та Bm AB  A T AB та B T AB  a  ab та b  ab. Нехай d – довільний T-степінь такий, що a  d та b  d.  Aa, Bb та Ld маємо, що A та B є L-РМ. Однак xAB  x парне та x/2A або x непарне та (x–1)/2B, тому функція AB є L-РФ. Звідси ab  d.

41 Т-повні множини A-РПМ B T-повнa, якщо LT B для кожної A-РПМ L. DА = {x | xА(x)} – T-повна A-РПМ для кожної AN. Зокрема, D є T-повною РПМ. Це випливає з теореми 1: В є A-РПМ  B m DA. Звідси: якщо B є A-РПМ, то BT DA. Існують T-повні прості й навіть гіперпрості множини. Теорема (Деккер). Нехай A – нерекурсивна РПМ. Тоді існує гіперпроста множина B така, що A Т B. Нехай f – ін’єктивна РФ така: A = Ef Задамо B = {x | y(y>x & f(у) f(x))}. Тоді B є РПМ за ТЧ. B = {x | y(y>x  f(y)>f(x))} – гіперімунна та A Т B. Наслідок. Кожний нерекурсивний РП T-степінь містить гіперпросту множину.

42 У 1944 р. Е. Пост поставив проблему: чи існує РП T-степінь b: 0 < b < 0'? Теорема (Мучника–Фрідберга, 1956). Існують РПМ A та B: A |T B. Наслідок. Існують РП T-степені a та b: 0 < a < 0', 0 < b < 0' та a | b. Структура T-степенів, зокрема, РП T-степенів, дуже складна. Деякі результати Теорема.  РП T-степеня a такого: 0 < a < 0'  РП T-степінь b: a | b. Теорема (щільності Сакса).  пари РП T-степенів a та b таких, що a < b, існує РП T-степінь c такий, що a < c < b. T-степінь m мінімальний, якщо 0 < m та не існує T-степеня a: 0 < a < m. Теорема. Існує мінімальний степінь m такий, що m < 0'. За теоремою щільності, такий мінімальний T-степінь не може бути РП! Теорема (про розбиття).  РП T-степеня c  РП T-степені a < c, b < c: c = ab. Теорема Існують РП T-степені a > 0 та b > 0 такі, що 0 = inf(a, b); 2) Існують РП T-степені a та b такі, які взагалі не мають найбільшої нижньої грані (навіть серед T-степенів, які не є РП).

43 Операція стрибка За наслідком 2 теореми 1 A

44 Стрибком T-степеня b називають b' = dT(DB), де Bb. Коректність: за наслідком 2 b' не залежить від вибору конкретного Bb. Властивості операції стрибка jm1) b < b' для довільного T-степеня b. jm2) Якщо a  b, то a'  b'. jm3) 0 < b' для довільного T-степеня b. jm4) Якщо a = b, то a' = b'. jm5) Якщо Aa, Bb та B є A-РПМ, то b  a'. T-степінь b повний, якщо b = a' для деякого T-степеня a. Повний T-степінь складається тільки з Т-повних множин. Множина всіх повних T-степенів є множиною значень операції стрибка.

45 Введемо операцію n-кратного стрибка, або n-стрибка. Для довільної AN покладемо A(0) = A, Для довільного T-степеня a покладемо a(0) = a, a(k+1) = (a(k))'. Властивості операції n-кратного стрибка Ураховуючи A

46 -стрибком множини AN назвемо множину A() = {C(x, y) | xA(y)}. -стрибком T-степеня a назвемо T-степінь a () = dT(A()), де Aa. Теорема. A(n) 0. Покладемо A = B(n). Тоді A(x) = B(x+n) для всіх x. Звідси uA()  l(u)A(r(u))  l(u)B(r(u)+n)  C(l(u), r(u) + n)B(). Отже, A() m B(). Згідно jn1, маємо B

47 Упорядкування Т-степенів досить нетривіальне. Теорема (Кліні, Пост). Існує зліченна сукупність Т-степенів, розташованих між 0 та 0', лінійно впорядкована за типом раціональних чисел. Теорема. Існують Т-степені а та b такі: 1) a < 0(), b < 0() та a | b; 2) 0(n) < a та 0(n) < b для кожного nN; 3)  Т-степеня d такого, що d  a та d  b, існує nN: d  0(n). Наслідок. 1) Т-степені a і b не мають найбільшої нижньої грані; 2) 0() не є найменшою верхньою гранню Т-степенів 0, 0',..., 0(n),... П.1 наслідку випливає з п.3 теореми. Згідно п.1 теореми a < 0() та b < 0(). Згідно п. 2 a та b є верхніми гранями Т-степенів 0, 0',..., 0(n), …. Звідси п.2 наслідку Теорема (С. Купер).  Т-степеня b  0' існує мінімальний степінь m такий, що m' = m0' = b.