1 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі

1 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Лекція 6 Булеві функції Булеві функції

2 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі n-мірні куби та задача мінімізації Позначимо En множину всіх наборів {(1, 2, ..., n)}. Множину En називатимемо n-мірним кубом, а набори (1, 2, ..., n) – його вершинами. На наступних двох слайдах подано зображення проекцій три- та чотиримірного кубів на площину. Означення 2.20. Нехай і1, …, іr – фіксована система чисел з 0 та 1 така, що 1i1i2...irn. Множину всіх вершин (1, 2, ..., n) куба En таких, що і1 = і1, і2 = і2, іr = іr, називатимемо (n-r)-мірною гранню. Отже, (n-r)-мірна грань є (n-r)-мірним підкубом куба En. Очевидно, що (n-r)-мірна грань є (n-r)-мірним підкубом куба Еn.

3 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Проекція тримірного кубу на площину

4 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Проекція чотиримірного кубу на площину

5 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Взаємозв’язок кубів із булевими функціями Нехай f(x1, …, xn) – довільна булева функція. Зіставимо їй підмножину Nf вершин куба Еn так, що (1, …, n)Nf тоді й тільки тоді, коли f(1, …, n) = 1, тобто реалізуємо бієктивне відображення :F(1)Nf, де F(1) ={(1, …. n)f(1, …, n)= 1}. Зрозуміло, що за підмножиною Nf вихідна функція f(x1, …, xn) відновляється однозначно.

6 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Приклад 2.7. Функції, що задана таблицею, відповідає множина Nf = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} (слайд 3). Приклад взаємозв’язку

7 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Інтервал r-го рангу Розглянемо як вихідну функцію елементарну r-місну кон'юнкцію K(x1, ..., xn) рангу r, де K(x1, ..., xn) = Означення 2.21. Множина вершин куба Nk, відповідна кон'юнкції K(x1, ..., xn), називається інтервалом r-го рангу. Інтервал r-го рангу Nk являє (n-r)-мірну грань. .

8 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Приклад інтервалів Приклад 2.8. Кон'юнкціям K1(x1, ..., xn) = K2(x1, ..., xn) = K3(x1, ..., xn) = x1 відповідають інтервали: Nk1 = {(0, 0, 0), (1, 0, 0)} (ранг 2, якому відповідає одномірна грань); Nk2 = {(1, 0, 0), (1, 0, 1)} (ранг 2, якому відповідає одномірна грань); Nk3 = {(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} (ранг 1, якому відповідає двомірна грань). Ці інтервали є відповідно ребром, ребром і площиною. ,

9 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Властивості бієктивного відображення  Відзначимо очевидні властивості введеного бієктивного відображення :F(1)Nf. Якщо f(x1, ..., xn) = g(x1, ..., xn)h(x1, ..., xn), то: Ng Nf, NhNf; 2. Nf = Ng Nh. Зокрема, якщо функція f(x1, ..., xn) має д.н.ф. A, де A = K1 ...Ks, то із наведених властивостей випливає, що NkіNf , i{1, 2, ..., s}, тобто образ кон'юнкції Ki, який належить д.н.ф. функції f(x1, ..., xn) є інтервалом, що розташований усередині множини Nf, і Nf = .

10 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Таким чином, д.н.ф. функції f(x1, ..., xn) відповідає покриття множини Nf інтервалами Nk1, Nk2, … Nks. Справедливим є й зворотне твердження: будь-якому покриттю множини Nf інтервалами, що розташовані всередині множини Nf, відповідає д.н.ф. A функції f(x1, ..., xn). Взаємозв’язок д.н.ф. з покриттям інтервалами

11 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Приклад 2.9. Для функції f(x1, x2, x3), таблицю якої наведено у прикладі 2.7 (слайд 6), Цим д.н.ф. відповідають два покриття множини Nf: Nf = Nk1Nk2Nk3Nk4Nk5; Nf = , де Nk1 = {(0, 0, 0)}, Nk2 = {(1, 0, 0)}, Nk3 = {(1, 0, 1)}, Nk4 = {(1, 1, 0)}, Nk5 = {(1, 1, 1)}, = {(0, 0, 0), (1, 0, 0)}, = {(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Одно із покрить складається із точок, друге – із ребра та двомірної грані. Приклад покриття інтервалами , .

12 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Ранг інтервалу Нехай ri означає ранг інтервалу Nkі (дорівнює рангу кон'юнкції Ki). Число r, де r = будемо називати рангом покриття.

13 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Геометрична задача про покриття Тепер можна сформулювати геометричну задачу про покриття, еквівалентну задачі про мінімізацію булевої функції. Знайти для даної множини Nf таке покриття інтервалами, які належать Nf, Nf = Nk1Nk2…Nks, щоб його ранг r був найменшим (min( )), тобто

14 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Задачі про мінімізацію та покриття Таким чином, задача про мінімізацію булевої функції має дві постановки: одну – в аналітичній (вихідна), другу – у геометричній формі (задача про покриття), унаслідок чого вживаються дві мови: аналітична та геометрична, відповідно. Іноді використовують комбіновану мову, в якій, наприклад, кон'юнкції називають інтервалами, а д.н.ф. – покриттями.

15 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Тупиковість на основі геометричних уявлень Означення 2.22. Покриття множини Nf, що складається з максимальних (щодо Nf) граней, називається незвідним, коли сукупність граней, яку можна одержати із вихідної викиданням будь-якої грані, не буде покриттям Nf. Означення 2.23. Д.н.ф., що відповідає незвідному покриттю множини Nf, називається тупиковою (у геометричному розумінні). Теорема 2.6. Поняття тупикової д.н.ф. щодо перетворень 1 та 2 і тупикової д.н.ф. у геометричному змісті є еквівалентними.

16 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Приклад 2.10. Нехай f(x1, x2, x3, x4) задається таблицею. На рисунку (слайд 17) показано множину Nf, із максимальними гранями: N5, N6, N7 – ребра, N1, N2, N3, N4 – двомірні грані (площини). Таким чином покриттю N1N2N3N4N5N6N7 відповідає скорочена д.н.ф. = f(x1, x2, x3, x4), а значення функціонала LЛ(A) = 9. Приклад знаходження покриття

17 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі Рисунок до прикладу 2.10

18 Задача мінімізації булевих функцій у геометричній формі