1 Задача 1 Записать уравнение неразрывности все

1

Задача 1. Записать уравнение неразрывности (все известные Вам формы записи) 2

Задача 2 «Почти» параллельный поток несжимаемой жидкости у х const Как упростить выражение для скорости, если учесть граничное условие (условие «непротекания» ) 3

1. Граничные условия Для всех х (и для х = 0) вертикальная составляющая скорости равна 0 4

Используя уравнение неразрывности, найти связь между коэффициентами 5

2. Уравнение неразрывности Найти ротор и циркуляцию скорости по некоторому контуру, лежащему в плоскости x, y 6

7

- площадь контура 8

Отсутствует вращательная составляющая движения 9

у Плоскопараллельное движение вблизи границы uх Поступательное движение х Чистая деформация Поворот «затвердевшей» частицы 10

Если поле скорости однородно (не меняется) вдоль координат движение жидкости безвихревое y u x 11

12

Для безвихревого движения компоненты ротора скорости равны нулю Это необходимое и достаточное условие существования потенциала скорости 13

Скорость является потенциальным вектором для безвихревого движения 14

Запишем выражение (считая t параметром) Используя потенциал скорости 15

Записанное выражение является полным дифференциалом потенциала скорости. 16

Найти линейный интеграл вдоль контура L от точки А до точки В для безвихревого течения жидкости В L А 17

В L А 18

19

Что будет, если точки А и В совпадают? 20

Пусть grad непрерывен и однозначен во всех точках однозвязного объема, тогда однозначен во всем объеме Если точки А и В совпадают и циркуляция скорости по любому замкнутому контуру тоже равна нулю 21

Если циркуляция скорости отлична от нуля, то потенциал скорости не существует, так как движение вихревое. Могут ли быть линии тока замкнуты при безвихревом движении жидкости? 22

Если замкнутый контур представляет собой линию тока, А L то циркуляция отлична от нуля Такое движение является вихревым 23

Для безвихревого движения (если есть потенциал скорости) линии тока не могут быть замкнуты. 24

Односвязный объем жидкости: если ЛЮБУЮ замкнутую кривую можно стянуть в точку, оставаясь внутри объема. ИЛИ, если мембрана (поверхность натянутая на любую замкнутую кривую) полностью лежит в объеме 25

Задача Может ли существовать потенциальное (безвихревое) течение жидкости в односвязном объеме, ограниченном со всех сторон твердыми стенками ? 26

В односвязном объеме, ограниченном со всех сторон твердыми стенками, не может существовать незамкнутых линий тока, так как нормальная составляющая скорости на границе равна нулю. В такой области течение всегда вихревое. 27

Для потенциального движения Показать, что для потенциального течения ускорение также представляет собой потенциальный вектор. Запишем компоненты ускорения, записав компоненты скорости 28

29

30

Для потенциального течения ускорение представляет собой потенциальный вектор 31

Контрольная работа 1. Записать уравнения неразрывности и линии тока. 2. Записать полную производную по времени от скорости 3. Найти компоненты скорости, если известен потенциал скорости Записать уравнение для линий равного потенциала Записать через потенциал скорости дивергенцию 32 скорости

Запишем уравнение неразрывности для потенциального течения 33

Если жидкость несжимаема, то 34

Это уравнение Лапласа, решение - гармоническая функция координат 35

Свойства безвихревого движения в односвязном объеме Записать полный поток несжимаемой жидкости через замкнутую поверхность для безвихревого течения (выразить через потенциал скорости) Вихревое и потенциальное течение 36

Для любой замкнутой поверхности будет иметь место соотношение для несжимаемой жидкости: Свойство 1 Положительное направление нормали сколько втекает, столько вытекает жидкости 37

Доказать Свойство 2. ни в одной точке жидкости потенциал скорости не может иметь максимума или минимума. Указание. Пусть есть такая точка. Окружить замкнутой достаточно малой поверхностью и проверить свойство № 1. 38

Пусть в точке а потенциал имеет максимум В каждой точке поверхности S S а Что противоречит свойству № 1 39

Свойство 3. Ни в одной точке внутри жидкости величина скорости u не может иметь максимума. Минимум может быть, например 0. Пусть скорость в точке а направлена вдоль оси х а ее значение в этой точке ua х (Продифференцировать ур-е Лапласа по х) 40

скорость жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. обладает свойством № 2 41

4. В односвязном объеме жидкости, ограниченном твердыми стенками не может существовать безвихревое движение. 42

Если есть свободная поверхность, то безвихревое движение возможно, так как происходит деформация свободной поверхности. Учитывая, что представляет собой гармоническую функцию координат, деформация водной поверхности имеет вид гармонических волн. 43

Внутри односвязного объема жидкости существует единственное безвихревое движение если заданы на границах объема: а) либо значение потенциала б) либо значения нормальной составляющей скорости в) либо потенциал на части границы и нормальная составляющая скорости на оставшейся части границы 44

Это справедливо и для внешней области 45

46

Компоненты ротора скорости: Вихревые линии - линии, направление которых совпадает всюду с мгновенной осью вращения 47 жидкости.

Вычислить 48

Уравнение неразрывности – дифференциальная форма теоремы Гаусса Тогда по теореме Гаусса получается, что поток вихря сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю. 49

50

Дифференциальное уравнение вихревых линий, параллельных вектору ротора скорости 51

Если через каждую точку малой замкнутой кривой провести соответствующую вихревую линию, то получим трубку, которая называется вихревой трубкой. Жидкость внутри трубки образует вихревую нить или просто вихрь. Вихревые линии, параллельные ротору скорости 52

Для каждой точки поверхности вихревой трубки выполняется равенство Здесь l, m, n - направляющие. 53

Нормаль, направленная внутрь объема положительна Применяем к вихревой трубке свойство учитывая, что боковые поверхности трубки – есть вихревые линии, т. е. параллельны ротору скорости, получаем для суммарного потока вихря: 54

Произведение (ротора скорости на площадь нормального сечения трубки) называется интенсивностью вихревой трубки (или вихря). Интенсивность вихря не меняется вдоль вихревой трубки. 55

Связь интенсивности вихревой трубки и циркуляции скорости теорема Стокса 56

Для бесконечно малого плоского сечения трубки (ротор вдоль сечения не меняется) 57

Циркуляция по какой-либо замкнутой кривой равна сумме напряжений всех вихрей, охватываемых этой кривой. 58

Разобьем все поле вихрей на вихревые трубки равной интенсивности. В соответствии с число входящих трубок должно быть равно числу выходящих трубок. 59

Вихревая линия во внутренней точке жидкости не может ни начинаться, ни оканчиваться. Все вихревые линии должны образовывать замкнутые вихревые линии, или же, начинаться и кончаться на границах жидкости, пронизывая ее толщу. 60

flow 4 3 1 Вихри имеют форму цилиндров с горизонтальной осью перпендикулярной направлению потока 1 см bottom 61

1 y x 2 2 z 1 -центральная часть вихря, 2 -конец основного вихря, 3 -конец вихря-спутника, 4 -дно 62

Чехарда двух вихревых колец. Два последовательных выхлопа воздуха выбрасывались через отверстие диаметром 8 см поршнем, приводимым в движение ударами двух маятников. Визуализация течения получалась при помощи дымовой проволочки, протянутой поперек отверстия и видной в левых частях снимков. 63

При данном числе Рейнольдса, рассчитанном по диаметру отверстия и примерно равном 1600, второе кольцо движется быстрее, так как находится в индуцированном первым кольцом поле; на третьем фотоснимке второе кольцо уже проскальзывает сквозь первое. Затем процесс повторяется, и на последнем снимке уже первое кольцо проскальзывает сквозь второе. [Yamada, Matsui, 1978] 64

65

Верхний ряд снимков показывает истечение воды с введенной в нее краской через пятисантиметровое отверстие, в результате чего создается осесимметричное вихревое кольцо. Число Рейнольдса этого кольца равно примерно 15000. Нижний ряд снимков показывает последовательное разрушение кольца из-за неустойчивости. Развиваются синусоидальные возмущения с семью волнами на кольце. Внешние слои кольца в отличие от его ядра искривляются. Амплитуда волн возрастает до тех пор, пока кольцо внезапно не испытает перехода к турбулентности при сохранении видимости 66 его структуры. [Didden, 1977]

Гексагональное дымовое кольцо. Нарастание волн вокруг вихревого кольца часто называется неустойчивостью Уиднелла по имени первого исследователя. К моменту, показанному на данном снимке, этот процесс привел к замечательной симметричной структуре, созданной дымом в воздухе при числе Рейнольдса, примерно равном 1000. Фото G. J. 67 Jameson, M. Urbicain

Вынужденная неустойчивость круглой струи Слабые периодические звуковые волны создаются громкоговорителем, расположенным вблизи струи и работающим на ее собственной частоте. В результате длина ламинарного пограничного слоя на периферии струи уменьшается и начинается образование вихревых колец, более регулярное, чем при невынужденном возникновении неустойчивости. 68 Фото R. Wille, A. Michaike, Н. Fiedler

Задача 1 Жидкость вращается вокруг оси 0 z как твердое тело с угловой скоростью . Определить ротор скорости внутри вихрей 69

y a u= a x 70

Вихрь rotu и циркуляция скорости цилиндрического вихря j j i k 71

Задача 2 Получить уравнение линий тока у uх х 72

73

Задача 3. Скорость частиц жидкости пропорциональна расстоянию до оси 0 х и параллельна этой оси: Определить поле вихрей, форму вихревых линий 74

y x z 75

76

Уравнение вихревых линий y z 77

78

Силы массовые – тяжести, инерции – действуют на выделенный объем жидкости независимо от того, существуют ли рядом другие элементы жидкости Силы поверхностные - определяют взаимодействие между соседними элементами на поверхности объема. Внутри объема силы взаимодействия частиц уравновешивают друга. 79

Обозначим вектор поверхностной силы, d. S отнесенной к единице площади d. S. Тогда на площадку d. S со стороны окружающей жидкости будет действовать сила Проекция вектора на нормаль – нормальное давление (или растяжение, если угол (р, n) тупой). Проекция на площадку d. S - косое напряжение или сила трения 80

Применяем начало Даламбера: В каждый момент времени движения любой материальной системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции, взаимно уравновешиваются 81

Уравнение движения идеальной жидкости – существует только нормальная составляющая поверхностной силы Используем теорему Гаусса Это справедливо для любого объема жидкости – выражение под интегралом равно нулю 82

(1) Записать уравнения движения (1) в декартовых координатах 83

уравнения Эйлера 84

Цилиндрические координаты 85

Для безвихревого движения Массовая сила должна иметь потенциал 86

87

Умножим уравнение движения на элементарное перемещение вдоль линии тока. Для стационарного движения жидкости в поле потенциальных сил 88

89

Если жидкость баротропна (плотность зависит только от давления) и несжимаема Интеграл движения Бернулли - Эйлера 90

В поле действия потенциальных сил уравнение Бернулли справедливо: Для вихревого стационарного движения – вдоль линий тока Для безвихревого стационарного движения для любых точек жидкости у y u uх х x 91

Река имеет участок, где оба берега представляют собой сегмент вложенных окружностей с единым центром. Показать, что у берега А скорость течения больше, а уровень ниже, чем у берега В. Считать движение установившимся и безвихревым. z Уравнение неразрывности A B r 92

Так как движение безвихревое rotu=0 93

Из уравнения неразрывности Все производные произведения равны 0 Из уравнения Бернулли получаем соотношение для высоты поверхности воды на берегу А и В 94

Давление на поверхности воды атмосферное, везде одинаковое 95

Промежуточная контрольная вар. 1 1. Получить уравнение линии тока для течения 2. Написать уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости 3. Написать полную производную по времени от плотности жидкости 96

Промежуточная контрольная вар. 2 1. Получить ротор скорости для течения 2. Написать уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости 3. Написать полную производную по времени от скорости жидкости 97

Промежуточная контрольная вар. 3 1. Получить ротор скорости для течения 2. Написать уравнение Эйлера для стационарного течения жидкости 3. Как направлен вектор ротора скорости относительно вихревой линии 98

Промежуточная контрольная вар. 4 1. При каких условиях линия тока совпадает с траекторией движения жидкой частицы 2. Какой член в уравнении Эйлера описывает действие поверхностных сил на жидкую частицу 3. Показать, что вдоль вихревой трубки циркуляция сохраняется 99

Промежуточная контрольная вар. 5 1. Записать уравнение неразрывности для потенциального течения 2. Привести пример плоскопараллельного вихревого течения 3. Показать, что внутри жидкости вихри не могут начинаться и заканчиваться 100

Промежуточная контрольная вар. 6 1. Показать, что ни в одной точке жидкости потенциал скорости не может иметь максимума или минимума. 2. Показать, что уравнение неразрывности можно записать в виде 3. В какой плоскости лежит вектор ротора скорости для течения 101

Промежуточная контрольная вар. 7 1. Чему равна циркуляция по замкнутому контуру, лежащему в плоскости х, у для течения 2. Записать через потенциал скорости выражение 3. Уравнение Бернулли, особенности применения для течения 102