1 ВОЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОЙСКОВОЙ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ ОБОРОНЫ ВООРУЖЕННЫХ СИЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИМЕНИ МАРШАЛА СОВЕТСКОГО СОЮЗА А. М. ВАСИЛЕВСКОГО Кафедра (естественнонаучных дисциплин) Дисциплина «МАТЕМАТИКА» доцент Давыдова Т. В. каб. 1/407 тел. 1 -15 Смоленск - 2014
2 ВОЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОЙСКОВОЙ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ ОБОРОНЫ ВООРУЖЕННЫХ СИЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИМЕНИ МАРШАЛА СОВЕТСКОГО СОЮЗА А. М. ВАСИЛЕВСКОГО Кафедра (естественнонаучных дисциплин) Тема № 13. Математическая статистика и случайные процессы Занятие № 168. Применение метода статистического моделирования доцент Давыдова Т. В. каб. 1/407 тел. 1 -15 Смоленск - 2014
3 Учебные вопросы: 1. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. 2. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Литература: Дополнительная 1. Иванов А. А. Методы решения математических задач. – Смоленск, ВА В ПВО ВС РФ, 2006. Инв. № 26473. [5] с. 143 – 156.
4 1. Вычисление интегралов методом Монте-Карло
5 В 1949 году американские ученые Н. Метрополис и С. Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло» , где изложили суть метода.
6 В 1949 году американские ученые Н. Метрополис и С. Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло» , где изложили суть метода. Улам Станислав Марцин (1909 -1984) – американский математик Николас Константин Метрополис (1915 -1999) — американский математик и физик
7 Теоретической основой метода Монте-Карло являются предельные теоремы теории вероятностей. Пусть требуется найти значение некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину , математическое ожидание которой равно : .
8 Практически поступают следующим образом: производят испытаний, в результате которых получают возможных значений , вычисляют их среднее арифметическое , которое принимают в качестве оценки т. е. приближенного значения : .
9 Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло
10 1) Пусть требуется вычислить определенный интеграл . Переименуем переменную интегрирования: (1) Рассмотрим непрерывную случайную величину – равномерно распределенную на с плотностью распределения .
11 Рассмотрим непрерывную случайную величину . Найдем математическое ожидание случайной функции : (2) Найдем приближенное значение математического ожидания. (3) Из (1), (2), (3) следует (4)
12 2) Пусть требуется вычислить определенный интеграл . Введем новую переменную: (5) Пересчитаем пределы интегрирования: при ; .
13 Тогда (6)
14 Пример , Методом Монте-Карло вычислить и оценить абсолютную погрешность. Решение 1) Воспользуемся формулой (6), тогда ; . Положим
15 Найдем точное значение интеграла: . Оценим абсолютную погрешность: 0, 288
16 3) Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где – прямоугольник: . Аналогично формуле (6), получим , (7) где – случайные числа.
17 Замечание. Для оценки абсолютной погрешности воспользуемся формулой для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении, т. е. найдем (выборка объема ), найдем ; . Запишем доверительный интервал: (8)
18 2. Статистические методы обработки экспериментальных данных
19 Пусть имеется объектов, для которых после измерения некоторой характеристики получен набор значений . Величина называется выборочным средним. Эта величина представляет собой координату точки, относительно которой группируются все значения ряда данных. Медиана определяется как срединное значение в ранжированном ряду данных. Это значит, что по обе стороны от неё расположено ровно по половине данных. Мода представляет собой наиболее часто встречающееся в выборке значение. Размах представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями ряда данных: .
20 Для сравнения распределений, данные которых имеют разные размерности, вводят безразмерную характеристику – коэффициент вариации .
21 Пусть двумерная случайная величина, где – зависимые случайные величины. Пусть . Линейная средняя квадратическая регрессия на вычисляется по формуле , где – коэффициент корреляции величин . Величина называется коэффициентом регрессии.
22 Занятие окончено Благодарю за внимание !
Скачать презентацию 1 ВОЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОЙСКОВОЙ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ ОБОРОНЫ ВООРУЖЕННЫХ СИЛ
Занятие 13-168Л студенты. слайды.ppt