1 Внешний угол треугольника лежащий вне плоскости

1 Внешний угол треугольника – лежащий вне плоскости, равен сумме углов не смежных с ним. 2 Теорема о сумме углов треугольника – равны 180 градусам. 3 Средняя линия треугольника – соединяет середины боковых сторон, равна половине основания. 4 Биссектриса делит противоположную сторону в отношении двух прилежащих сторон (l=√(ab-a 1 b 1)). 5 Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2: 1 (m=√(2(b 2+c 2)-a 2)/2). 6 Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис, центр описанной – серединных перпендикуляров. 7 Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, отношение периметров – коэффициенту подобия. 8 Теорема косинусов (a 2=b 2+c 2 -2 ab cos(bˆc)). Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма (d 12+d 22=2(a 2+b 2). 9 Теорема синусов (a/sin a(противолежащий угол)=b/sin b= c/sin c=2 R(описанной окружности)). 10 Прямоугольный треугольник: высота, проведенная из прямого угла делит треугольник на 2 подобных исходному, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу (h=ab/c=√cacb, ca=a 2/c, cb=b 2/c); радиусы вписанной (r=(a+b-c)/2) и описанной (R=c/2) окружностей; стороны (b= c cos a(прилежащий угол)=c sin b(противолежащий угол)); площадь ( S=ab/2=(c 2 sin a sin b)/2); медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы. 11 Свойство диаметра перпендикулярного хорде - диаметр делит хорду на два равных отрезка 12 Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами - эти дуги равны 13 Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки – A*B=A*C 14 Вписанный угол - вершина которого лежит на окружности=12 дуги на которую опирается. Центральный угол - вершина которого лежит в центре окружности = дуге на которую опирается. Вписанный угол в 2 раза меньше центрального. 15 Угол с вершиной внутри круга - вершина в окружности(полу сумма соответствующих ему дуг). Угол с вершиной вне круга - вершина вне окружности(полу разность соответствующих ему дуг). Угол между касательной и хордой – равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой. 16 Свойство хорд, пересекающихся в круге: AS*SB = CS*SD (AB, CD-хорды; S-пересечение) 17 Свойство секущей и касательной, проведенных к окружности из одной точки: 2 МА=МВ*МС 18 Свойство секущих, проведенных к окружности из одной точки: AD*AE=AB*AC 19 Свойство вписанного; описанного четырехугольников (S=(a+b+c+d)2*r=√((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)), pполупериметр). 20 Правильный многоугольник - у которого все стороны и углы равны r=a2 tg(180n) R=a2 sin(180n). 21 Правильный четырехугольник S=a 2=2 R 2=4 r 2=c 2/2(c-диагональ); r=a/2; R=√ 2 a/2. 22 Правильный треугольник S=√ 3 a 2/4=3√ 3 R 2/4=3√ 3 r 2; R=√ 3 a/3; r=√ 3 a/6; h=l=m=√ 3 a/2. 23 Правильный шестиугольник сторона(a)=R; S=3√ 3 R 2/2=3√ 3 a 2/2=2√ 3 r 2; r=√ 3 a/2. 24 Равновеликие фигуры – плоские фигуры с одинаковыми площадями. 25 Формулы для вычисления площади прямоугольника (S=ab=a√(d 2 -a 2)=b√(d 2 -b 2)), квадрата (S=a 2=2 R 2=4 r 2=c 2/2(c-диагональ)), параллелограмма(S=ah=ab sin a=(d 1 d 2 sin a)/2), треугольника (S=(ah)/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=(ab sin a)/2=abc/4 R=pr), ромба (S=ah=a 2 sin a=(d 1 d 2)/2), выпуклого четырехугольника(S =(d 1 d 2 sin угла между ними)/2), правильного треугольника(S=(√ 3 a 2)/4), правильного шестиугольника (S=3/2 (√ 3 a 2)), правильного многоугольника (S=(na 2)/4 tg(360/2 n)=(rna)/2, n- число сторон), трапеции (S=((a+b)/h)/2), круга (S=Пr 2), кругового сегмента (S=(R 2/2)((П*угол*sin угла)/180), кругового сектора (S=(lr)/2=(Пr 2*градусы)/360). 26 Вектор – направленный отрезок. Координаты вектора AB(x 2–x 1; y 2–y 1). Длина вектора √((x 2 x 1)2+(y 2 -y 1)2). 27 Равные вектора – имеющие одинаковую длину и сонаправленные. (x 1; x 2) = а · (y 1; y 2). 28 Коллинеарные вектора лежат на параллельных прямых или на одной прямой. (x 1; x 2) = а · (y 1; y 2). 29 Координаты середины отрезка x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2. 30 Нахождение расстояние между точками это нахождение длины вектора с такими координатами. 31 Сложение (x 1; x 2) + (y 1; y 2) = (x 1 + x 2; y 1 + y 2). Умножение на число 5(x 1; x 2) = (5 x 1; 5 x 2). 32 Разложение вектора b(8; 1) по векторам p(1; 2) и q(3; 1): составим уравнения (1 x+3 y=8; 2 x+1 y=1) и найдем x и y. Ответ: b=-1 p+3 q. 33 Скалярное произведение (x 1; x 2) и (y 1; y 2) = (x 1*x 2; y 1*y 2). 34 Векторы являются перпендикулярными когда их скалярное произведение равно нулю. 35 Угол между векторами это их скалярное произведение умножить на cos угла между ними. 1 Внешний угол треугольника – лежащий вне плоскости, равен сумме углов не смежных с ним. 2 Теорема о сумме углов треугольника – равны 180 градусам. 3 Средняя линия треугольника – соединяет середины боковых сторон, равна половине основания. 4 Биссектриса делит противоположную сторону в отношении двух прилежащих сторон (l=√(ab-a 1 b 1)). 5 Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2: 1 (m=√(2(b 2+c 2)-a 2)/2). 6 Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис, центр описанной – серединных перпендикуляров. 7 Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, отношение периметров – коэффициенту подобия. 8 Теорема косинусов (a 2=b 2+c 2 -2 ab cos(bˆc)). Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма (d 12+d 22=2(a 2+b 2). 9 Теорема синусов (a/sin a(противолежащий угол)=b/sin b= c/sin c=2 R(описанной окружности)). 10 Прямоугольный треугольник: высота, проведенная из прямого угла делит треугольник на 2 подобных исходному, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу (h=ab/c=√cacb, ca=a 2/c, cb=b 2/c); радиусы вписанной (r=(a+b-c)/2) и описанной (R=c/2) окружностей; стороны (b= c cos a(прилежащий угол)=c sin b(противолежащий угол)); площадь ( S=ab/2=(c 2 sin a sin b)/2); медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы. 11 Свойство диаметра перпендикулярного хорде - диаметр делит хорду на два равных отрезка 12 Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами - эти дуги равны 13 Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки – A*B=A*C 14 Вписанный угол - вершина которого лежит на окружности=12 дуги на которую опирается. Центральный угол - вершина которого лежит в центре окружности = дуге на которую опирается. Вписанный угол в 2 раза меньше центрального. 15 Угол с вершиной внутри круга - вершина в окружности(полу сумма соответствующих ему дуг). Угол с вершиной вне круга - вершина вне окружности(полу разность соответствующих ему дуг). Угол между касательной и хордой – равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой. 16 Свойство хорд, пересекающихся в круге: AS*SB = CS*SD (AB, CD-хорды; S-пересечение) 17 Свойство секущей и касательной, проведенных к окружности из одной точки: 2 МА=МВ*МС 18 Свойство секущих, проведенных к окружности из одной точки: AD*AE=AB*AC 19 Свойство вписанного; описанного четырехугольников (S=(a+b+c+d)2*r=√((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)), pполупериметр). 20 Правильный многоугольник - у которого все стороны и углы равны r=a2 tg(180n) R=a2 sin(180n). 21 Правильный четырехугольник S=a 2=2 R 2=4 r 2=c 2/2(c-диагональ); r=a/2; R=√ 2 a/2. 22 Правильный треугольник S=√ 3 a 2/4=3√ 3 R 2/4=3√ 3 r 2; R=√ 3 a/3; r=√ 3 a/6; h=l=m=√ 3 a/2. 23 Правильный шестиугольник сторона(a)=R; S=3√ 3 R 2/2=3√ 3 a 2/2=2√ 3 r 2; r=√ 3 a/2. 24 Равновеликие фигуры – плоские фигуры с одинаковыми площадями. 25 Формулы для вычисления площади прямоугольника (S=ab=a√(d 2 -a 2)=b√(d 2 -b 2)), квадрата (S=a 2=2 R 2=4 r 2=c 2/2(c-диагональ)), параллелограмма(S=ah=ab sin a=(d 1 d 2 sin a)/2), треугольника (S=(ah)/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=(ab sin a)/2=abc/4 R=pr), ромба (S=ah=a 2 sin a=(d 1 d 2)/2), выпуклого четырехугольника(S =(d 1 d 2 sin угла между ними)/2), правильного треугольника(S=(√ 3 a 2)/4), правильного шестиугольника (S=3/2 (√ 3 a 2)), правильного многоугольника (S=(na 2)/4 tg(360/2 n)=(rna)/2, n- число сторон), трапеции (S=((a+b)/h)/2), круга (S=Пr 2), кругового сегмента (S=(R 2/2)((П*угол*sin угла)/180), кругового сектора (S=(lr)/2=(Пr 2*градусы)/360). 26 Вектор – направленный отрезок. Координаты вектора AB(x 2–x 1; y 2–y 1). Длина вектора √((x 2 x 1)2+(y 2 -y 1)2). 27 Равные вектора – имеющие одинаковую длину и сонаправленные. (x 1; x 2) = а · (y 1; y 2). 28 Коллинеарные вектора лежат на параллельных прямых или на одной прямой. (x 1; x 2) = а · (y 1; y 2). 29 Координаты середины отрезка x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2. 30 Нахождение расстояние между точками это нахождение длины вектора с такими координатами. 31 Сложение (x 1; x 2) + (y 1; y 2) = (x 1 + x 2; y 1 + y 2). Умножение на число 5(x 1; x 2) = (5 x 1; 5 x 2). 32 Разложение вектора b(8; 1) по векторам p(1; 2) и q(3; 1): составим уравнения (1 x+3 y=8; 2 x+1 y=1) и найдем x и y. Ответ: b=-1 p+3 q. 33 Скалярное произведение (x 1; x 2) и (y 1; y 2) = (x 1*x 2; y 1*y 2). 34 Векторы являются перпендикулярными когда их скалярное произведение равно нулю. 35 Угол между векторами это их скалярное произведение умножить на cos угла между ними. 1 Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую; до плоскости - наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. 2 Свойство точки равноудаленной от сторон многоугольника (вершин)- если через центр вписанной в многоугольник окружности проведена прямая перпендикулярная плоскости многоугольника, то все точки этой прямой равноудалены от сторон (вершин) многоугольника. 3 Углом между прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. 4 Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость. 5 Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. 6 Признак параллельности прямых( о двух прямых, параллельных третьей) – эти прямые параллельны. 7 Признак параллельности прямой и плоскости - если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. 8 Признаки параллельности плоскостей в пространстве - если плоскость а параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости б, то эти плоскости параллельны. 9 Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. 10 Признак перпендикулярности плоскостей - если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости. 11 Теорема о трех перпендикулярах - если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной. 12 Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.