1 В И Гусакова МАТЕМАТИКА Теория вероятностей

1. В. И. Гусакова МАТЕМАТИКА Теория вероятностей и математическая статистика Учебно-методический комплекс по направлению «Менеджер» (бакалавр) Ростов-на-Дону 2011 2. В. И. Гусакова, В. Н. Кривошлыков, Н. С. Шепелова МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ Учебно-методическое пособие Ростов-на-Дону 2010 1

Элементы комбинаторики: Соединения Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a 1, a 2, a 3…an. Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки. 2

Перестановки Соединения, в каждое из которых входят все n элементов множества А и которые, следовательно, отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками из n элементов. Число таких перестановок обозначается символом Рn. Tеорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно Рn = n (n − 1) (n − 2) (n − 3)… 3 ∙ 2 ∙ 1 = 1 ∙ 2 ∙ 3…(n − 1) n = n! 3

Размещения Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле: Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу: 4

Сочетания Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n) взятых из n элементов множества А, отличающихся друг от друга по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний обозначается символом. Теорема 3. Число всех сочетаний из n элементов по m определяется формулой: Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу: . 5

Предмет теории вероятностей Основные понятия В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз. Результат или исход каждого испытания назовём событием. Виды событий: достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет. невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти. случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти. 6

Виды событий Случайные события A 1, A 2, …, An образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно появиться хотя бы одно из них. Случайные события A 1, A 2, …, An называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Случайные события A 1, A 2, …, An называются единственно возможными, если в результате испытаний происходит какоелибо одно и только одно из этих событий. Равновозможные события - несколько событий в данном опыте, ни одно из которых не является объективно более возможным, чем другое. 7

Определение Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместимыми и единственно возможными. Эти события называются исходами испытания или элементарными событиями. Совокупность всех исходов испытания называется пространством элементарных событий. 8

Операции над событиями Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий. Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий. Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие. Так вводится понятие противоположного события. 9

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий. Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим. Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A. Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т. е. P(A)= m(A)/ N. 10

Классическое определение вероятности Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства: Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. 11

Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В) Если и противоположные события, то. Теорема умножения. Если А и В независимые события, то Р(АВ) = Р(А)Р(В). Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Р(АВ). 12

Условная вероятность Часто реализация события А зависит от того: произойдет ли событие В или нет. В этом случае говорят, что события А и В зависимы, и вероятность события А записывают в виде Р(А/В) (читается: вероятность события А при условии, что произошло событие В; иногда вместо Р(А/В) в литературе встречается РВ(А). Теорема умножения принимает в рассмотренном случае вид: Р(АВ)=Р(В)Р(А/В). 13

Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии реализации одной из гипотез Н 1, Н 2, . . . , Нn, образующих полную группу событий. Тогда . (1) Формула (1) называется формулой полной вероятности. 14

Формула Байеса Предположим, что в результате испытания событие А произошло. Какова вероятность, что событие А произошло в результате реализации гипотезы Нk , т. е. P(Hk/A) = ? (происходит переоценка вероятностей гипотез). Ответ дает формула Байеса: 15

Теорема о вероятности хотя бы одного события Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из А 1, А 2, …. Аn независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , где 16

Повторные испытания. Схема Бернулли. Если проводится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Будем рассматривать лишь такие независимые события, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность. Пусть проводится серия n независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность интересующего нас события А равна р, 0 <р <1. Особо отметим, что величина р не зависит от результатов предыдущих или последующих испытаний. Такой тип испытаний получил название схемы Бернулли. Примерами такой схемы являются: многократное бросание монеты, игральных костей. 17

формула Бернулли: Какова вероятность, что при n испытаниях coбытие А произойдет ровно k раз? (Обозначается Pn(k)). Ответ на этот вопрос дает формула Бернулли: 18