1 УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ДУ вида

1 УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

ДУ вида 4 где f 1(x) и f 2(y) – непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Правая часть такого уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель зависит только от х, а другой – от у. Метод решения таких уравнений называется методом разделения переменных. Для его использования запишем производную как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:

Теперь уравнение нужно преобразовать к виду, в котором дифференциал и функция переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой: Пусть у=φ(х) является решением уравнения (4). Тогда подставляя у=φ(х), получим тождество: два дифференциала равны другу. При этом справа дифференциал выражен через переменную х, а слева – через у.

Так как дифференциалы равны, то неопределенные интегралы от этих выражений будут отличаться на произвольную постоянную величину:

1 Найти частное решение уравнения при у0 =4, х0 =-2.

Потенцируем: Это общее решение уравнения, описывающее семейство интегральных кривых. Для нахождения частного решения подставим начальные условия: Частное решение будет иметь вид:

2 Найти общее решение уравнения

Сделаем замену: Тогда уравнение будет иметь вид:

Возвращаемся к старым переменным:

2 НЕПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДУ первого порядка называется неполным, если функция явно зависит только от одной переменной (х или у).

1 Пусть функция зависит только от х. Решением этого уравнения будет

2 Пусть функция зависит только от у. Решением этого уравнения будет

Найти общее решение уравнения

3 ЛИНЕЙНЫЕ ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ДУ первого порядка называется линейным, если оно имеет вид 5

Функции f(x) и g(x) – непрерывны. Неизвестная функция и ее производная входят в такое уравнение линейно. Если g(x)=0, то уравнение называется однородным. Если g(x) не равно 0, то уравнение называется неоднородным.

Для решения неоднородного ДУ первого порядка используется Сначала решается однородное уравнение методом разделения переменных:

Это получено решение однородного ДУ. Теперь ищем общее решение неоднородного ДУ. Будем полагать, что С 2 является новой неизвестной функцией от х: С 2(х), т. е.

Подставляем это выражение в исходное уравнение (5) и находим неизвестную функцию С 2(х).

Интегрируем последнее выражение: Результат интегрирования подставляем в общее решение однородного уравнения: Это получено общее решение неоднородного ДУ.

1 Найти общее решение уравнения

Решаем однородное уравнение методом разделения переменных:

Получили решение однородного ДУ. Теперь ищем общее решение неоднородного ДУ. Полагаем, что С 2 является новой неизвестной функцией от х: С 2(х), т. е. Подставляем в исходное уравнение:

Интегрируем: Подставляем уравнения: в общее решение однородного

2 Найти общее решение уравнения

Решаем однородное уравнение методом разделения переменных:

Получили общее решение однородного ДУ. Теперь ищем общее решение неоднородного ДУ. Полагаем, что С 2 является новой неизвестной функцией от х: С 2(х), т. е. Подставляем в исходное уравнение:

Интегрируем: Подставляем уравнения: в общее решение однородного