1 Три случая взаимного расположения прямых в

1

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве m p l n l II p n m a b 2

Планиметрия Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. a. IIb Стереометрия Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. a. IIb 3

Определение Две прямые в пространстве называются параллельными, если 1) они лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются b a Показать (1) 4

Прямые а и с не параллельны с Прямые b и с не параллельны b a a. IIb Показать (2) 5

Две параллельные прямые определяют плоскость. (определение параллельных прямых) b a Показать (1) 6

Определение Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. С В D Отрезки АВ и СD параллельны m FL II n F АВ II СD А n b a L Отрезок FL параллелен прямой n Показать (2) 7

№ 17. Точки М, N, P и Q – середины отрезков BD, CD, AB и АС. РMNQP - ? D 12 см M N В 14 А P см Q С 8

Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. b А а Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых 9

Теорема Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Прямая и не лежащая на ней точка определяют плоскость М b a Показать (2) 10

Повторим. Следствие из аксиомы параллельности. b c а Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a. IIb, c b c a Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых 11

Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость. a b М ? Показать (2) 12

Плоскости и имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой (А 3) a b р М N Прямая р лежит в плоскости и пересекает прямую а в т. М. Поэтому она пересекает и параллельную ей прямую b в некоторой точке N. Прямая р лежит также в плоскости. Значит, N – общая точка прямой b и плоскости. , поэтому N – точка 13

№ 19. Прямые, содержащие стороны АВ и ВС параллелограмма AВСD пересекают плоскость. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость. D D А С В О N Р М Каково взаимное расположение точек О, Р, М, N? Проверить (3) 14

Повторим. Следствие из аксиомы параллельности. с а b Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a. IIс, b. IIс a. IIb Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве. 15

Теорема с Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a. IIс, b. IIс Докажем, что a. IIb a b Докажем, что а и b 1) Лежат в одной плоскости 2) не пересекаются К 1) Точка К и прямая а определяют плоскость. Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. Допустим, что прямая b пересекает плоскость. Тогда по лемме с также пересекает. По лемме и а также пересекает. Это невозможно, т. к. а лежит в плоскости 16 2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.

Дано: АА 1 II СС 1, АА 1 II ВВ 1, ВВ 1 = СС 1 Доказать, что В 1 С 1 = ВС В 1 А 1 С 1 В А С Проверка 17

Дано: А 1 С 1 = АС, А 1 С 1 II АС, А 1 В 1 = АВ, А 1 В 1 II АВ Доказать, что CС 1 = ВB 1 В 1 А 1 С 1 В А С Проверка 18

Треугольник АВС и квадрат АEFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что КМ II EF. Найдите КМ, если АЕ=8 см. В M K С А 8 см F Е 19

Квадрат АВСD и трапеция KMNL не лежат в одной плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL соответственно. Докажите, что КL II BC. Найдите BC, если KL=10 см, MN= 6 см. M 6 см N D А В K С С L 10 см 20

Отрезок АВ не пересекается с плоскостью. Через концы отрезка АВ и его середину (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А 1, В 1 и М 1. а) Докажите, что точки А 1, В 1 и М 1 лежат на одной прямой. б) Найдите АА 1, если ВВ 1 = 12 см, ММ 1=8 см. В М А А 1 M 1 В 1 Проверка 21