1 Теория булевых функций Лекция 5 1

1. Теория булевых функций Лекция 5 1

Приведение к ДНФ, КНФ, ПНФ с помощью эквивалентных преобразований Пример: x y z 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2

Приведение к ДНФ, КНФ, ПНФ с помощью эквивалентных преобразований Пример: 3

Логические схемы 4

Логические схемы 5

Логические схемы 6

Логические схемы 7

Логические схемы 8

Логические схемы 9

Логические схемы 10

Логические схемы 11

Логические схемы 12

Минимальные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Определение Минимальной ДНФ (КНФ), называется ДНФ (КНФ), имеющая наименьшее возможное число вхождений переменных (возможно, под знаком отрицания). 13

Минимизация булевых функций n n Карты Карно Метод Куайна 14

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно Карты Карно были изобретены в 1952 Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 Морисом Карно и были призваны помочь упростить цифровые электронные схемы. Карта Карно рассматривается как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции, которая обеспечивает операции склеивания и поглощения. 15

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно Карта Карно для функции n переменных – это таблица, содержащая 2 n клеток, причем число строк и число столбцов обязательно степени 2, а в соседних клетках располагаются значения функции на наборах, отличающихся значением только одной переменной. 16

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно 17

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно Верхняя строка карты Карно является соседней с нижней, а правый столбец соседний с левым, т. о. вся Карта Карно сворачивается в фигуру тор (бублик) 18

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно Алгоритм минимизации Если необходимо получить минимальную ДНФ, минимизация производится по следующим правилам: 1) Объединяются соседние клетки, содержащие 1, в прямоугольные области, так чтобы одна область содержала 2 k (k целое число = 0, 1, 2, … ) клеток (область должна располагаться симметрично оси(ей) (оси располагаются через каждые четыре клетки), причем: - несоседние области расположенные симметрично оси(ей) могут объединяться в одну), - область должна быть как можно больше, а количество областей как можно меньше; - области могут пересекаться; - возможно несколько вариантов накрытия. 2) Для каждой области выполняется следующая последовательность действий: - выделяются переменные, которые не меняют значений в пределах этой области; - выписывается конъюнкция этих переменных, причём если неменяющаяся переменная нулевая, над ней ставится отрицание. 3) Конъюнкции всех областей объединяются дизъюнкцией. Для минимальной КНФ всё то же, только рассматриваются клетки, содержащие 0, не меняющиеся переменные в пределах одной области объединяются в дизъюнкции (отрицания ставятся над единичными переменными), а дизъюнкции областей объединяются в конъюнкцию. 19

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно 20

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно 21

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно 22

Минимизация булевых функций методом Куайна Определение. Правильная элементарная конъюнкция называется импликантой 1 булевой функции , если функция равна 1 на всех тех наборах, на которых равна 1 данная конъюнкция. Определение. Полная правильная элементарная конъюнкция n переменных называется конституентой 1. Определение. Правильная элементарная дизъюнкция называется импликантой 0 булевой функции , если функция равна 0 на всех тех наборах, на которых равна 0 данная дизъюнкция. Определение. Полная правильная элементарная дизъюнкция n переменных называется конституентой 0. 23

Минимизация булевых функций методом Куайна Алгоритм минимизации Если необходимо получить минимальную ДНФ, минимизация производится по следующим правилам: 1) Получение сокращенной ДНФ: производятся все возможные склейки конституент и импликант 1, при этом удобно производить склейки по следующему алгоритму: - рассортировать наборы, на которых функция =1, по числу 1 в наборе; - наборы с одинаковым числом 1 записать в столбики. Очевидно, что склеивать можно только конституенты и импликанты 1, отвечающие наборам из соседних столбиков. 2) Составляется матрица Куайна: в 1 -ом столбце перечисляются все результаты склеек, а в 1 -й строке перечисляются все конституенты 1. Во внутренних клетках таблицы на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит «+» , если i-я импликанта равна 1 на том же набор, что и j-я конституента. 3) Минимальный набор импликант, такой, что «+» присутствует в каждом столбце, называется ядром. Дизъюнкция импликант ядра образует минимальную ДНФ. Для минимальной КНФ всё то же, только рассматриваются конституенты и импликанты 0, при этом конъюнкция импликант ядра образует минимальную КНФ. 24

Минимизация булевых функций методом Куайна 25