1. Теория булевых функций Лекция 3
Нормальные формы булевых функций q q q Полиномиальная нормальная форма (ПНФ) Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) 2
Полиномиальная нормальная форма Полиномиальной нормальной формой называется полином Жегалкина. Теорема Любая булева функция n переменных f (x 1, x 2, . . . , xn) единственным образом представима в виде ПНФ (доказана ранее). 3
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций Определение: Положим Определение: Элементарной конъюнкцией (конъюнктом) называется произведение вида: δi {0, 1}. (1) Определение: Элементарной дизъюнкцией (дизъюнктом) называется выражение вида: δi {0, 1}. (2) Примечание: переменные в (1) и (2) не обязательно различны. 4
Полиномиальная нормальная форма Примеры - элементарные конъюнкции от x, y, z, w: - элементарные дизъюнкции от x, y, z, w: 5
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций Определение: Элементарная конъюнкция (дизъюнкция) называется правильной, если всякая переменная, которая в ней встречается, встречается только однажды (возможно, под знаком отрицания). Определение: Правильная элементарная конъюнкция (дизъюнкция) называется полной относительно переменных x 1, x 2, . . . , xn, если она содержит все n переменных. Примечание: существует 2 n правильных полных элементарных конъюнкций (дизъюнкций) относительно n переменных. 6
Полиномиальная нормальная форма Примеры - полные элементарные конъюнкции от x, y, z, w: - полные элементарные дизъюнкции от x, y, z, w: 7
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций Определение: Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется любая дизъюнкция элементарных конъюнкций. Определение: Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется любая конъюнкция элементарных дизъюнкций. Определение: Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) от переменных x 1, x 2, . . . , xn называется любая дизъюнкция различных правильных полных элементарных конъюнкций: Определение: Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) от переменных x 1, x 2, . . . , xn называется любая конъюнкция различных правильных полных элементарных дизъюнкций. 8
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций Теорема Любая булева функция f (x 1, x 2, . . . , xn), тождественно не равная 0, единственным образом представима в виде СДНФ. □ Существование. Пусть f (x 1, x 2, . . . , xn) = 1 на k наборах: Тогда f (x 1, x 2, . . . , xn) = Единственность следует из того, что число различных 9 СДНФ равно числу булевых функций. ■
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций Теорема Любая булева функция f (x 1, x 2, . . . , xn), тождественно не равная 1, единственным образом представима в виде СКНФ. □ Существование. Пусть f (x 1, x 2, . . . , xn) = 0 на k наборах Тогда f (x 1, x 2, . . . , xn) = Единственность следует из того, что число различных СКНФ равно числу булевых функций. ■ 10
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций СДНФ x y z f 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 11
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций СКНФ x y z f 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 12
Приведение к нормальным формам с помощью эквивалентных преобразований Полиномиальная нормальная форма (ПНФ) Полиномы Жегалкина логических операций: Примеры преобразований: 13
Скачать презентацию 1 Теория булевых функций Лекция 3 Нормальные
Мат.Логика Презентация для лекции 4.ppt