1 Теория булевых функций Лекция 3 Классы

1. Теория булевых функций Лекция 3

Классы Поста Классы булевых функций n n n Класс Т 0 – класс функций, сохраняющих 0 Класс Т 1 – класс функций, сохраняющих 1 Класс M – класс монотонных функций Класс S – класс самодвойственных функций Класс L – класс линейных функций 2

Классы Т 0, Т 1 Определение Функция f (x 1, x 2, . . . , xn) называется сохраняющей 0, если f (0, 0, . . . , 0) = 0 Определение Функция f (x 1, x 2, . . . , xn) называется сохраняющей 1, если f (1, 1, . . . , 1) = 1 Например: xy, x y Т 0; xy, x y Т 1; 3

Класс М Определение Двоичный набор (x 1, x 2, . . . , xn) не больше набора (y 1, y 2, . . . , yn) (x 1, x 2, . . . , xn) (y 1, y 2, . . . , yn), если k = 1, 2, …, n: xk yk. Например: (0, 0) (0, 1), (0, 0) (1, 0), (0, 0) (1, 1); (0, 1) (1, 1); (1, 0) (1, 1); (0, 1) (1, 0), (0, 0, 0) (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1); (0, 0, 1) (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), ; (0, 1, 0) (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1); (1, 0, 0) (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1); (0, 1, 1) (1, 1, 1); (1, 0, 1) (1, 1, 1); (1, 1, 0) (1, 1, 1). 4

Класс М Утверждение Отношение на множестве двоичных наборов задает отношение порядка: 1. Рефлексивность (x 1, x 2, . . . , xn): (x 1, x 2, . . . , xn). 2. Транзитивность (x 1, x 2, . . . , xn) (y 1, y 2, . . . , yn), (y 1, y 2, . . . , yn) (z 1, z 2, . . . , zn) (x 1, x 2, . . . , xn) (z 1, z 2, . . . , zn). 3. Антисимметричность (x 1, x 2, . . . , xn) (y 1, y 2, . . . , yn) (x 1, x 2, . . . , xn). Например: 000 001, 001 101 000 101; 010 011, 011 111 010 111. 5

Класс М Диаграммы Хассе n=2 (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) n=3 (0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1) ! Упражнение: построить диаграмму Хассе для n = 4. 6

Класс М Определение Функция f (x 1, x 2, . . . , xn) называется монотонной, если (x 1, x 2, . . . , xn), (y 1, y 2, . . . , yn): (x 1, x 2, . . . , xn) (y 1, y 2, . . . , yn) f(x 1, x 2, . . . , xn) f(y 1, y 2, . . . , yn). Например: xy, x y М; 7

Класс S Определение Двоичные наборы (x 1, x 2, . . . , xn) и называются противоположными. Определение Функция f*(x 1, x 2, . . . , xn) = называется двойственной к функции f(x 1, x 2, . . . , xn). Определение Функция f(x 1, x 2, . . . , xn) называется самодвойственной, если на противоположных наборах она принимает противоположные значения: f (x 1, x 2, . . . , xn) = f*(x 1, x 2, . . . , xn) 8

Класс S Например: x y z S; xyz, x y z S; x y z xyz x y z 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 9

Класс L Определение Функция P(x 1, x 2, . . . , xn) называется полиномом Жегалкина, если она имеет следующий вид: P(x 1, x 2, . . . , xn) = С 0 С 1 x 1 С 2 x 2 … Сnxn Сn+1 x 1 x 2 Сn+2 x 1 x 3 … С 2 n– 1 x 1 x 2… xn. где Сi B (Сi {0, 1}). Например: n=2 P(x, y) = С 0 С 1 x С 2 y С 3 xy; n=3 P(x, y, z) = С 0 С 1 x С 2 y С 3 z С 4 xy С 5 xz С 6 yz С 7 xyz. 10

Класс L Утверждение Любая булева функция n переменных f (x 1, x 2, . . . , xn) может быть представлена полиномом Жегалкина, и это представление единственно. □ Представим данную функцию f (x 1, x 2, . . . , xn) в виде полинома Жегалкина с неопределенными коэффициентами: f(x 1, x 2, . . . , xn) = С 0 С 1 x 1 С 2 x 2 … Cn+1 x 1 x 2 … С 2 n-1 x 1 x 2… xn. Рассмотрим таблицу истинности функции f (x 1, x 2, . . . , xn). Поочередно подставляя всевозможные наборы переменных, находим коэффициенты полинома Жегалкина. Легко видеть, что за каждую подстановку находится только один коэффициент, причем единственным образом. Так как число наборов равно числу коэффициентов (и равно 2 п), отсюда следует утверждение теоремы. ■ 11

Класс L Например: 1. f(x, y) = x y = С 0 С 1 x С 2 y С 3 xy x y 0 0 1 1 1) f(0, 0): С 0 = 0; 2) f(0, 1): 0 С 2 = 1; 3) f(1, 0): 0 С 1 = 1; 4) f(1, 1): 0 1 1 С 3 = 1; x y = x y xy 12

Класс L 2. f(x, y, z) = x→y→z = С 0 С 1 x С 2 y С 3 z С 4 xy С 5 xz С 6 yz С 7 xyz x y z x→y→z 1) f(0, 0, 0): С 0 = 0; 2) f(0, 0, 1): 0 С 3 = 1; 0 0 0 1 1 1 3) f(0, 1, 0): 0 С 2 = 0; 0 1 0 4) f(0, 1, 1): 0 0 1 С 6 = 0; 0 1 1 5) f(1, 0, 0): 0 С 1 = 1; 1 0 0 0 1 6) f(1, 0, 1): 0 1 1 С 5 = 1; 1 0 1 1 1 0 7) f(1, 1, 0): 0 1 0 С 4 = 1; 1 1 1 8) f(1, 1, 1): 0 1 1 1 0 С 7 = 1; x→y→z = x z xy xz xyz 13

Класс L 2. f(x, y, z) = x→y→z = С 0 С 1 x С 2 y С 3 z С 4 xy С 5 xz С 6 yz С 7 xyz x y z x→y→z 1) f(0, 0, 0): С 0 = 0; 2) f(1, 0, 0): 0 С 1 = 1; 0 0 0 1 1 1 3) f(0, 1, 0): 0 С 2 = 0; 0 1 0 4) f(0, 0, 1): 0 С 3 = 1; 0 1 1 5) f(1, 1, 0): 0 1 0 С 4 = 1; 1 0 0 0 1 6) f(1, 0, 1): 0 1 1 С 5 = 1; 1 0 1 1 1 0 7) f(0, 1, 1): 0 0 1 С 6 = 0; 1 1 1 8) f(1, 1, 1): 0 1 1 1 0 С 7 = 1; x→y→z = x z xy xz xyz 14

Класс L Определение Функция f (x 1, x 2, . . . , xn) называется линейной, если она представима в виде полинома Жегалкина, не содержащего конъюнкций переменных (линейный полином Жегалкина): f(x 1, x 2, . . . , xn) = С 0 С 1 x 1 С 2 x 2 … Cnxn. Например: xy, x y L; x~y = x y 1 L. 15

Теорема Поста Определение Система булевых функций φ1, …, φm называется полной, если через булевы функции системы можно выразить все остальные булевы функции. Теорема Поста Система булевых функций φ1, …, φm является полной, если все функции системы одновременно не принадлежат ни одному классу Поста. 16

Примеры полных систем функций Утверждение 1 Система булевых функций x, xy, x y является полной. □ x x (0, 0) 0 x y xy x y 0 1 0 0 1 1 0 0 1 (1, 1) 1 1 1 xy x = x 1; (0, 1) 0 (1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 0) 1 x y = xy 1 = (x 1)(y 1) 1 = xy x y; T 0 T 1 M S L x – – – + + xy + + + – – x y + + + – – 17 ■

Примеры полных систем функций Следствие 1 Система булевых функций x, xy является полной. Следствие 2 Система булевых функций x, x y является полной. Следствие 3 Система булевых функций xy, x y не является полной. 18

Примеры полных систем функций Утверждение 3 Система булевой функции x↓y является полной. □ (0, 0) 1 x y x↓y 0 0 1 0 1 0 0 (1, 1) 0 1 1 0 x|y (0, 1) 0 (1, 0) 0 x↓y = xy x y 1; T 0 x↓y T 1 M S L – – – ■ 20