1 ТЕОРІЯ АЛГОРИТМІВ Алгоритм – скінченна множину точно

1 ТЕОРІЯ АЛГОРИТМІВ Алгоритм – скінченна множину точно визначених правил для чисто механічного розв’язку задач певного класу. Характерні властивості алгоритму: Фінітність Масовість Дискретність Елементарність Результативність Детермінованість Для опису алгоритму вказуємо: – множину його початкових (вхідних) даних – множину вихідних даних, до яких належать результати роботи алгоритму.

2 За допомогою алгоритму кожний конкретний результат отримується за скінченну кількість кроків із скінченної множини вхідних даних. До таких даних алгоритм застосовний. В деяких ситуаціях процес виконання алгоритму для певних вхідних даних продовжується необмежено. До таких даних алгоритм незастосовний. Кожний алгоритм  із множиною вхідних даних X та вихідних Y визначає часткову функцію f : Х→Y. Якщо  застосовний до d, то значення f(d) рівне (d). Якщо  незастосовний до d, то f(d) невизначене. Такий алгоритм  обчислює функцію f.

3 Функція алгоритмічно обчислювана (АОФ), якщо існує алгоритм, який її обчислює. Множина L алгоритмічно перелічна, якщо L є множиною значень деякої АОФ, тобто існує алгоритм, який перелічує елементи множини L і тільки їх. Множина L алгоритмічно розв'язна відносно множини U, якщо існує алгоритм, який дозволяє для кожного xU визначати, xL чи xL.

4 Відносний алгоритм (алгоритм з оракулом): на деяких кроках може звертатися до зовнішнього відносно алгоритму об’єкту – оракула. Видані оракулом відповіді – це дані, вироблені на таких кроках звертання. Функція алгоритмічно обчислювана відносно оракула , якщо існує алгоритм з оракулом , який її обчислює.

5 Зв’язок алгоритмів та числень Поняття алгоритму можна звести до поняття числення в смислі зведення алгоритмічного процесу до процесу породження: кожний алгоритм можна трактувати як числення з такими ПВ, що виконання кожного із них відповідає виконанню одного кроку алгоритму. Поняття числення можна звести до поняття алгоритму в смислі зведення розгалуженого процесу породження до послідовного процесу переліку так, щоб алгоритм переліку відтворив усі породжені численням об’єкти і тільки їх.

6 Теорія алгоритмів – розділ математики, що вивчає загальні властивості алгоритмів. Усвідомлення неможливості існування алгоритмів розв’язку низки масових проблем  необхідність математичного уточнення поняття алгоритму. Після сформування поняття алгоритму як нової та окремої сутності першочерговою стала проблема знаходження адекватних формальних моделей алгоритму та дослідження їх властивостей – моделі для первісного поняття алгоритму (машини Тьюрінга, регістрові машини, нормальні алгоритми Маркова) – моделі для похідного поняття АОФ (-означувані функції, частково рекурсивні функції та ін.).

7 Доведено: кожна з відомих моделей задає (з точністю до кодування) один і той же клас функцій. Тому є всі підстави вважати, що кожна з таких моделей дає строге математичне уточнення інтуїтивного поняття АОФ. Таке твердження стосовно АОФ та строго визначеного класу частково рекурсивних функцій – теза Чорча (А.Чорч, 1936).

8 МАШИНИ З НАТУРАЛЬНОЗНАЧНИМИ РЕГІСТРАМИ МНР є ідеалізованою моделлю комп’ютера. МНР складається з регістрів, вмістом яких є натуральні числа. Регістри позначаємо так: R0, R1,..., Rn,... Вміст регістру Rn позначимо 'Rn Конфігурація МНР – це послідовність ('R0, 'R1,..., 'Rn,...) вмістів регістрів МНР. МНР-програма – скінченна послідовність команд МНР. Команди програми послідовно нумеруємо, починаючи з 1. Адреса команди – це номер команди в МНР-програмі. I1I2...Ik – МНР-програма з командами I1, I2,..., Ik |P| – довжина (кількість команд) МНР-програми P.

9 Типи команд МНР Тип 1. Обнулення n-го регістру Z(n): 'Rn : 0. Тип 2. Збільшення вмісту n-го регістру на 1 S(n): 'Rn : 'Rn + 1. Тип 3. Копіювання вмісту регістру T(m, n): 'Rn : 'Rm ('Rm не змінюється). Команди типів 1–3 – арифметичні. Наступник арифметичної команди – наступна команда програми. Тип 4. Умовний перехід J(m, n, q): 'Rn = 'Rm,  перейти до q-ї команди, інакше виконувати наступну команда програми q – адреса переходу Крок МНР – виконання однієї команди МНР. Саме МНР-програми є формальними моделями алгоритмів. Поняття МНР викор-ся для опису функціонування МНР-програм.

10 Виконання програми МНР починає з виконання першої команди. Наступна для виконання команда програми – як описано вище. Виконання програми завершується, якщо наступник відсутній (номер наступної команди  номера останньої команди програми). Фінальна конфігурація МНР – у момент завершення виконання програми. Вона визначає результат роботи МНР-програми над даною початковою конфігурацією. P(a0, a1,...): МНР-програма P не зупиняється при роботі над початковою конфігурацією (a0, a1,...) P(a0, a1,...): МНР-програма P зупиниться при роботі над початковою конфігурацією (a0, a1,...) P(a0, a1,...)(b0, b1,...): МНР-програма P при роботі над початковою конфігурацією (a0, a1,...) зупиняється з фінальною конфігурацією (b0, b1,...)

11 Кожна МНР-програма визначає однозначне відображення NN→NN, де NN – множина всіх нескінченних послідовностей нат. чисел. МНР-програми – фінітні об’єкти   МНР-програма в процесі виконання використовує тільки скінченну множину регістрів, усі вони явно вказані у МНР-програмі. Тому при розгляді відображень, заданих МНР-програмами, обмежимося скінченними послідовностями натуральних чисел. Надалі розглядаємо тільки скінченні конфігурації. Конфіг. (a0, a1,..., an, 0, 0,...), у якій 'Rm = 0  m > n – скінченна позначаємо (a0, a1,..., an) Якщо МНР-програма P починає роботу над скінченною початковою конфігурацією, то в процесі виконання P МНР перебуватиме тільки в скінченних конфігураціях.

12 МНР-програми P та Q еквівалентні, якщо вони визначають однакові відображення послідовностей натуральних чисел. Це означає: при роботі над однаковими початковими конфігураціями вони або обидві зупиняються з однаковими фінальними конфігураціями, або обидві не зупиняються. МНР-програма P стандартна, якщо q  |P| + 1  команди вигляду J(m, n, q). Конкатенація стандартних МНР-програм P = І1I2...Ik та Q = I1I2...Im – це стандартна МНР-програма I1...IkIk+1...Ik+m, де Ik+1,..., Ik+m – команди програми Q, у яких  команда J(m, n, q) замінена командою J(m, n, q + k).

13 МНР-програма P обчислює часткову n-арну функцію f : Nn→N: f(a1, a2,..., an) = b  P(a1, a2,..., an)b. Пишемо P(a1, a2,...)b замість P(a1, a2,...)(b,...) – значення аргументів посл-но розміщуються в регістрах, поч-чи із R0 – значення функції знімається з R0. Еквівалентне визначення обчислюваності f : Nn→N МНР-програмою P: – за умови (a1, a2,..., an)Df та f(a1, a2,..., an) = b P(a1, a2,..., an)b; – за умови (a1, a2,..., an)Df маємо P(a1, a2,..., an). f : Nn→N МНР-обчислювана, якщо існує МНР-програма, яка обчислює f.  МНР-програма обчислює безліч функцій нат. аргументів і значень. Фіксуємо наперед арність функцій (к-ть компонент початкових конфігурацій)   МНР-програма обчислює єдину функцію заданої арності.

14 Приклад 1. МНР-програма для функції x + y: 1) J(1,2,5) 2) S(0) 3) S(2) 4) J(0,0,1) Приклад 2. МНР-програма для функції x – y: 1) J(0,1,5) 2) S(1) 3) S(2) 4) J(0,0,1) 5) Т(2,0)

15 Приклад 3. МНР-програма для всюди невизначеної функції: 1) J(0,0,1) Приклад 4. МНР-програма для функції [x/2]: 1) J(0,2,7) 2) S(2) 3) J(0,2,7) 4) S(2) 5) S(1) 6) J(0,0,1) 7) Т(1,0)

16 Приклад 5. МНР-програма для функції 1) J(0,1,7) 2) J(0,2,6) 3) S(1) 4) S(2) 5) J(0,0,1) 6) Z(2) 7) Т(2,0)

17 Приклад 6. МНР-програма для функції f(x, y) = xy: 1) J(3,1,9) 2) J(0,2,6) 3) S(2) 4) S(4) 5) J(0,0,2) 6) Z(2) 7) S(3) 8) J(0,0,1) 9) Т(4,0)

18 Нехай P – стандартна МНР-програма для n-арної функції f. Найбільший номер регістру, задіяного при обч-ні f, позначимо (P). Для n-арної функції вважатимемо (P)  n – 1. P[k1, k2,..., kn R] позначимо МНР-програму, яка обчислює ту саму f, що й МНР-програма P, але за умови: – початкові значення аргументів занесені в регістри k1,..., kn, – значення функції знімається з регістру R. Для обчисл-я f задіяно найбільше (P) + 1 регістрів – з 0-го по (P)-й. МНР-програма P[k1, k2,..., kn R] для вип. k1 < k2 <...< kn має вигляд T(ki, i – 1), 1 < i  n Z(k), n  k  (P) P' T(0, R) P' відрізняється від P тільки зміщенням адрес на (P).

19 МАШИНИ ТЬЮРІНГА А.М. Тюрінг, Е.Пост 1936 р. Варіанти МТ: багатострічкові, машини з еластичною стрічкою і т. п. МТ – це (Q, T, d, q0, F), де: – Q – скінченна множина внутрішніх станів; – T – ск. алфавіт символів стрічки, символ порожньої клітини T –  : Q  T → Q  T  {R, L, } – функція переходів; – q0Q – початковий стан; – F Q – множина фінальних станів. Функцію переходів задають ск. множиною команд одного з типів: qapbR qapbL qapb де p, qQ, a, bT, QT. Вважаємо  тотальною   пар (q, a)D неявно, не додаючи відп. команди qaqa, вводимо довизначення (q, a) = (q, a, e)

20 Неформально МТ: – скінченна пам’ять – розділена на клітини необмежена з обох боків стрічка – голівка читання-запису. У кожній клітині – єдиний символ T, в  момент стрічка містить скінченну кількість символів  . Голівка читання-запису в  момент оглядає єдину клітину стрічки. Нехай МТ знаходиться в стані q та голівка читає символ a – при виконанні команди qapbR МТ переходить у стан p, замість a записує на стрічці b та зміщує голівку на 1 клітину направо – при виконанні команди qapbL – “ – “ – на 1 клітину наліво – при виконанні команди qapb – “ – “ – залишає голівку на місці.

21 Конфігурація МТ – це слово xqy, де x, yT*, qQ. Неформально: – на стрічці записано xy (зліва і справа від xy можуть стояти тільки ), – МТ знаходиться в стані q, – голівка читає 1-й символ підслова y. Конфігурація вигляду q0x – початкова Конфігурація вигляду xqy, де qF – фінальна Після переходу фінальної конфігурації, МТ зупиняється. Нехай МТ знаходиться в конфіг. xcqay, де x, yT*, a, cT, qQ. Після виконання команди qapbR МТ перейде до конфіг. xcbpy. Після виконання команди qapbL МТ перейде до конфіг. xpcby. Після виконання команди qapb МТ перейде до конфіг. xcpby.

22 Кожна МТ задає деяке вербальне відображення T*→T* : МТ М переводить uT* у vT*, якщо вона з початкової конфігурації q0u переходить до фінальної xqy, де qF, xy = v, , {}*. При цьому 1-й та останній символи слова v відмінні від , або v = . МТ М переводить слово u в слово v: v = M(u). МТ M зациклюється при роботі над словом u: починаючи роботу з початкової конфігурації q0u, M ніколи не зупиниться. Тоді M(u) невизначене. МТ M1 та M2 еквівалентні, якщо вони задають одне й те ж відображення. МТ детермінована, якщо функція  однозначна інакше МТ недетермінована

23 Можна вважати, що F складається з єдиного фінального стану q*: Нехай M = (Q, T, , q0, F). Візьмемо q*Q. Тоді МТ M’= (Q{q*}, T, ’, q0, {q*}), де ’= {qaq*a | qF, aT}, еквівалентна початковій машині M. Надалі – тільки детерміновані МТ з єдиним фінальним станом позначаємо їх (Q, T, , q0, q*). Конкретні МТ задаємо, указуючи множину команд початковий стан позначаємо q0, фінальний – q*.

24 МТ M обчислює часткову функцію f : Nn→N, якщо вона –  слово вигляду переводить в у випадку (x1,...,xk)Df – невизначене при (x1,..., xk)Df. Функція обчислювана за Тьюрінгом, або МТ-обчислювана: існує МТ, яка її обчислює. Кожна МТ обчислює безліч функцій натуральних аргументів і значень Зафіксуємо наперед арність функцій   МТ обчислює єдину функцію заданої арності.

25 Приклад 1. МТ, яка обчислює функцію x + y: q0|q1R q1|q1|R q1#q*| q0#q* Приклад 2. МТ, яка обчислює функцію f(x) = sg(x): q0q* q0|q1|R q1|q1R q1q* Приклад 3. МТ, яка обчислює предикат "x парне": q0|q1R q1|q0R q0q*| q1q*

26 Приклад 4. МТ, яка обчислює функцію x – y: q0|q1R q1|q1|R q1#q1#R q1q2L q2|q3L q3|q3|L q3#q3#L q3q0R q2#q*| q0#q4R q4q*

27 Приклад 5. МТ, яка кожне слово xT* переводить у слово x#x , #T q0 tq0 tR для всіх tT q0q1#L q1 tq1 tL для всіх tT q1q2R q2 tqt R для всіх tT qt pqt pR для всіх tT, pT{#} qt q't tL для всіх tT q't pq't pL для всіх tT, pT{#} q't q2tR для всіх tT q2#q*#

28 НОРМАЛЬНІ АЛГОРИТМИ МАРКОВА НА в алфавіті T – упорядкованa послідовність продукцій (правил) вигляду  або , де , T* та T, T. Продукції вигляду  – фінальні. Кожен НА в алфавіті T задає деяке вербальне відображення T*→T* (x) – слово, яке є результатом обробки слова x НА  Обробка слова x нормальним алгоритмом  – поетапно.

29 Покладемо x0 = x і скажемо: x0 отримано з x після 0 етапів. Нехай xn отримано з x після n етапів. Тоді (n+1)-й етап вик-ся так. Шукаємо першу за порядком  або  таку, що  – підслово xn. Застосуємо цю продукцію до xn – замінимо в xn найлівіше входження  на . Отримане слово позначимо xn+1. – застосована на (n+1)-етапі продукція не фінальна  перехід до (n+2)-етапу – ця продукція фінальна  після її застосування  зупиняється і (x) = xn+1. – на (n+1)-етапі жодна продукція  не застосовна до xn+1, тобто в  немає продукції, ліва частина якої – підслово слова xn+1   зупиняється, (x) = xn. Якщо в процесі обробки x НА  не зупиняється на жодному етапі, то (x) невизначене.

30 НА називають нормальним алгоритмом над алфавітом T, якщо він є НА у деякому розширенні T'T. НА над T задає T*→T*, використовуючи допоміжні символи T. Зупинка НА  над T при роботі над xT* результативна, якщо вона відбулась на слові yT*, інакше результат роботи  над x невизначений. НА  і  еквівалентні відносно алфавіту T, якщо  xT* – (x) та (x) або – (x) та (x) та (x) = (x)  НА над T існує еквівалентний йому відносно T НА в T{s} із єдиним допоміжним sT. Відомо, що вербальне відображення x  xx, xT*, не може бути заданим жодним НА в алфавіті Т.

31 НА  обчислює часткову функцію f : Nn→N, якщо він –  слово вигляду переводить в у випадку (x1,...,xk)Df – невизначене при (x1,..., xk)Df. Функція обчислювана за Марковим, або НА-обчислювана: існує НА, який її обчислює. Кожний НА обчислює безліч функцій натур. аргументів і значень Зафіксуємо наперед арність функцій   НА обчислює єдину функцію заданої арності.

32 Приклад 1. НА для функції f(x, y) = x + y: # Приклад 2. НА для функції x – y: |#|# #|#| # Приклад 3. НА для функції x/2: #|||# #|#| # #

33 Приклад 4. НА, який задає аxby  |xy: аbba| |bb| a b Приклад 5. НА для функції xy: # |a |b  аbba| |bb| a b

34 Приклад 6. НА для функції 2х в розширеному кодуванні: |a  a|| a|  | |  |   | Приклад 7. НА для функції 2х: || | #|# # # 

35 Приклад 8. НА, який  xT* x  xR (тут #T): #abb#a  a, bT ##a#a##  aT ## # Приклад 9. НА, який  xT* x  xx (тут #Т): ##aa#a##  aТ #abb#a  a, bТ #a  a  aТ ## ##

36 СИСТЕМИ ПОСТА. КОМБІНАТОРНІ СИСТЕМИ Канонічна система Поста над алфавітом T – це ФС (T*, A, P), у якої – множина аксіом A є скінченною підмножиною множини T* – множина ПВ P – із слів вигляду Тут T, усі k та і – фіксовані слова з T*, усі SkT, усі ji {1,..., m}. Символи Sk призначені для позначення довільних слів з T*. СП позначаємо P = (T, A, P). Множина P визначає на словах із T* відношення безп. виведення Р :  Р , якщо існує правило таке: для деяких u1,...., umT*  = 0u11...m–1umm та Рефлексивно-транзитивне замикання відношення Р позн. *Р  *Р  означає, що  отримане із  за допомогою правил з P.

37 Слово  породжується системою Поста P, якщо  *Р  для деякої A. Це записуємо P |– і називаємо таке слово  теоремою СП P. Множину Th(P) = {T*| P |– } назвемо множиною теорем СП P. Для задання СП достатньо вказати множину правил і множину аксіом. У випадку необхідності вказуємо й алфавіт T. Приклад 1. СП з A = {a, b, } та P = {SaSa, SbSb} породжує всі слова-паліндроми в алфавіті {a, b} Множина XT* породжувана за Постом, якщо: існують алфавіт T' T і СП P = (T', A, P) такі, що Th(P)(T*) = X.

38 ФС вигляду (T*, A, P), у яких мн-на аксіом A – скінченна підмножина T*, а ПВ мають вигляд , називають комбінаторними. СП є комбінаторними системами досить загального вигляду. Правило gSSh називається правилом у нормальній формі. СП, усі правила якої – у нормальній формі, – нормальна СП Правило Sg hS називається правилом в антинормальній формі. СП, усі правила якої – в антинормальній формі, – антинормальна СП. Кожна породжувана за Постом множина може бути породжена нормальною системою Поста. Те саме вірно й для антинормальних систем Поста.

39 Напівтуевська система – це система Поста, усі правила якої мають вигляд S1S2S1S2. Система Туе – це система Поста, усі правила якої мають вигляд S1S2S1S2, причому  правила S1S2S1S2 існує симетричне йому S1S2S1S2. Якщо кожну пару симетричних правил системи Туе об'єднувати в одне, то отримаємо комбінаторні системи, які називають екваційними численнями. Для екваційних числень правила записують у вигляді   .

40 Окремим випадком СП можна вважати породжувальні, або формальні граматики, різноманітні класи яких вивчаються в програмуванні. Поняття формальної граматики тісно пов’язане з поняттям напівтуевських систем. При визначенні формальних граматик явно вказують основний (термінальний) алфавіт T, допоміжний (нетермінальний) алфавіт TN, єдину аксіому s(TN)* і правила виведення, які записують у вигляді , де ,  (TTN)*. Формальні граматики записують у вигляді G = (T, TN, s, P). Формальна граматика є системою Поста в алфавіті TTN, усі правила якої мають вигляд S1S2S1S2, а множина аксіом складається з єдиного слова s. Мова L(G), породжувана формальною граматикою G, визначається як множина всіх теорем такої СП, які є словами термінального алфавіту.

41 Класифікація формальних граматик за Хомським. ФГ, у якій немає обмежень на правила виведення, – граматика типу 0. ФГ, у якій для ПВ виконується умова ||  ||, називається нескоротною, або граматикою типу 1. ПВ для граматик типу 1 можна звести до A, де ATN , . Такі ФГ називають також контекстними, контекстно-чутливими, або БС-граматиками. ФГ, у якій ПВ мають вигляд A, де ATN, – граматика типу 2. Такі ФГ називають також безконтекстними, або контекстно-вільними, або КВ-граматиками. ФГ, у якій ПВ вигляду AxB або Ax, де ATN та xT, – праволінійна. ФГ, у якій ПВ вигляду ABx або Ax, де ATN та xT, – ліволінійна. Праволінійні та ліволінійні грамматики утв. клас граматик типу 3. Такі граматики називають регулярними, або скінченно-автоматними.

42 Наведеним класам граматик відповідають певні класи алгоритмічних машин (автоматів), які задають такі самі класи мов. Граматикам типу 0 відповідають недетерміновані МТ. Граматикам типу 1 відповідають лінійно-обмежені автомати – недетерміновані МТ, які не збільшують довжину робочої стрічки. Граматикам типу 2 відповідають автомати з магазинною пам’яттю, або магазинні автомати Граматикам типу 3 відповідають скінченні автомати.

43 Обчислюваність функції за Постом означає породжуваність за Постом її графіка. Функція f : Nn→N обчислювана за Постом, якщо множина породжувана за Постом. Приклад 2. Система Поста для функції x+y : A = {##}; P = {X#Y#RX|#Y#R|, X#Y#RX#Y|#R| }. Приклад 3. Система Поста для функції f(x, y) = x–y : A = {##}; P = {X#Y#RX|#Y#R|, X#Y#R|X#Y|#R}.

44 Приклад 4. Система Поста для функції f(x, y) = xy : A = {##}; P = {X#Y#RX|#Y#RY, X#Y#RX#Y|#RX}. Приклад 5. Система Поста для функції f(x) = x2: A = {#}; P = {X#RX|#RХХ|}.

45 Приклад 6. Система Поста для функції f(x) = x2 – 2x: A = {#, ||#}; P = {X|#RX||#RXX|}. Треба врахувати, що f(1). Приклад 7. Система Поста для функції f(x) = x3: A = {}; P = {XQRX|QXX|RQQQXXX|, XQRX#R}. Для обчислення f(x+1) = (x+1)3 = f(x)+3x2+3х+1 потрібне x2, тому теоремами СП мають також бути коди трійок (x, x2, x3). Однак теоремами в алфавіті {|, #} можуть бути тільки коди елементів графіка f(x), тому для кодування трійок (x, x2, x3) використано .

46 Приклад 8. Система Поста для функції f(x) = x!: A = {#|}; P = {X#FX|F, SFABMSFA|BMB, SFABMSFAB|MA, SFSFMS#M}. До теорем СП належать коди п’ятірок (x+1, x!, a, b, ab), для їх кодування використано . З кодів п’ятірок (x+1, x!, x+1, x!, (x+1)x!) можна вивести закодовані в алфавіті {|, #} коди пар (x+1, (x+1)!).

47 Приклад 9. Система Поста для функції A = {}; P = {XX|, QS|QRQS|QRR|R|, XXRX#R, XXS|R|X#R}. До теорем СП належать коди трійок (x, r2, r), для їх код-ня вик-но . З кодів трійок (x, x, r) та (x, (r+1)2, r+1) за умови r2  х < (r + 1)2 можна вивести закодовані в алфавіті {|, #} коди пар (x, r).

48 Основна література 1. Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. – М., 1983. 2. Клини С. Математическая логика. – М.: Наука, 1973. 3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М., 1975. 4. Лісовик Л.П., Шкільняк С.С. Теорія алгоритмів. – К., 2003. 5. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – М., 1965. 6. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Математична логіка та теорія алгоритмів. – К., 2008. 7. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Основи математичної логіки. – К., 2006 8. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. – М., 1972 9. Шкільняк С.С. Теорія алгоритмів: приклади і задачі. – К., 2003. 10. Шкільняк С.С. Математична логіка: приклади і задачі. – К., 2007.

49 Додаткова література 1. Д.Гильберт, П.Бернайс. Основания математики. Т.1, Т.2. – М., 1982. 2. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебра, языки, программирование.– К., 1974. 3. Ю.В.Капітонова, С.Л.Кривий, О.А.Летичевський, Г.М.Луцький, М.К.Печурін. Основи дискретної математики. – К., 2002. 4. Лисовик Л.П., Редько В.Н. Алгоритмы и формальные системы. – К., 1981. 5. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. – М., 1979. 6. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. – М., 1980. 7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М., 1976. 8. Непейвода Н.Н.. Прикладная логика. – Новосибирск: НГУ, 2000. 9. Справочная книга по математической логике (под ред. Дж.Барвайса). Ч.1– 4. – М., 1982–1983. 10. Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. – М., 1987. 11. Шенфилд Дж. Математическая логика. – М.: Наука, 1975.