1 Система счисления совокупность приемов и

1

Система счисления — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать: • возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин; • единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина); • простоту оперирования числами. 2

Типы систем счисления: - позиционные, - непозиционные. В позиционных системах счисления значение единицы цифры каждого разряда числа имеет постоянный вес. Этот вес определяется позицией, которую разряд занимает по отношению к запятой: 234, 5610 = 2*102 + 3*103 + 4*104 + 5*10 -1 + 6*10 -2 3

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание (базис) p-ной позиционной системы счисления — количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе: p=10 → {ai} = 0, 1, …, 9; p=2 → {ai} = 0, 1; p=5 → {ai} = 0, 1, 2. 3. 4; P=16 → {ai} = 0, 1, …, 9, A, B, C. D, E, F; p=q → {ai} = 0, 1. , …, q-1

Десятичное число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Эквиваленты в других системах счисления p=2 p=5 p=8 p=16 0000 00 0001 01 01 1 0010 02 02 2 0011 03 03 3 0100 04 04 4 0101 10 05 5 0110 11 06 6 0111 12 07 7 1000 13 10 8 1001 14 11 9 1010 20 12 A 1011 21 13 B 1100 22 14 C 1101 23 15 D 1110 24 16 E 1111 30 17 F 10000 31 20 10 Для любой позиционной системы счисления справедливо, что основание изображается числом 10 в своей системе. 5

6

В общем виде число А в p-ной позиционной системе счисления представляется в виде: A = an*pn+an-1*pn-1+…+a 1*p 1+a 0*p 0+a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m = = При k = Const получается число с фиксированной точкой: k=0: правильная дробь – число с фиксированной запятой A = a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m k=r: целое число – число с фиксированной точкой A = an*pn+an-1*pn-1+…+a 1*p 1+a 0*p 0 При k ≠ Const получается число с плавающей запятой.

Диапазон и точность представления чисел с фиксированной точкой Для чисел с фиксированной запятой при т = 0 Зн 2 -1 2 -2 … 2 -n --------- n+1 ---------/ Из этого выражения следует, что | X | макс = 0, 1. . . 1 = 1— 2 -п, а модуль минимального числа, не равного нулю: | X | мин = 0, 0. . . 01 = 2 -п. 8

Для чисел с фиксированной точкой: ЗН 2 n-1 2 n-2 … 20 --------- n+1 ---------/ Из этого выражения следует, что | X | макс = 0, 1. . . 1 = 2 п-1, а модуль минимального числа, не равного нулю: | X | мин = 0, 0. . . 01 = 20 = 1. 9

ПОГРЕШНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ Абсолютная погрешность представления - разность между истинным значением входной величины А и ее значением, полученным из машинного изображения Ам, т. е. ∆[А] = А - Ам. Относительная погрешность представления числа – отношение его абсолютной погрешности к самому числу: δ [А] = ∆[А] / А 10

ПОГРЕШНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ Абсолютная погрешность составляет половину единицы младшего разряда числа. Для правильных дробей: ∆[А] = 0. 5* 2 -n. δ [А]мин = ∆[А] / Амакс = (0. 5 * 2 -n)/ (1 -2 -n) ≈ 0. 5 *2 -n δ [А]макс = ∆[А] / Амин = (0. 5 * 2 -n) / 2 -n = 0. 5 Для целых чисел: ∆[А] = 0. 5* 20= 0. 5. δ [А]мин = ∆[А] / Амакс = 0. 5 / (2 п-1) ≈ 0. 5 / 2 п =0. 5* 2 -n δ [А]макс = ∆[А] / Амин = 0. 5 / 1 = 0. 5 11

ВЫБОР СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Основными факторами, определяющими выбор системы счисления, являются • степень сложности выполнения арифметических операций, • объем оборудования, необходимый для представления чисел, • условия реализации (создания) оборудования для представления цифр.

Оценка объёма оборудования Если принять, что каждый разряд числа представлен не одним элементом с p устойчивыми состояниями, a p элементами, каждый из которых имеет одно устойчивое состояние, то показатель экономичности укажет условное количество оборудования, которое необходимо затратить на представление чисел в этой системе. 13

Допустим, что имеется п разрядов для изображения числа в р-ичной СС. В этом случае максимальное число М будет отвечать выражению М = р п - 1 ≈ рп (1) Наряду с величиной М, являющейся мерой максимального количества информации, которое может быть представлено в п разрядах, оценим число элементов N, необходимое для изображения числа М: N = pn (2) Равенство (2) справедливо при условии, что для изображения каждого из допустимых в некотором разряде символов (цифр) требуется один элемент. Определим N как функцию от р и М. Из (1) следует, что п = In M/ln p. Подставляя это выражение в (2), получаем: N = р In M/ln p. Используя полученную зависимость, можно найти основание СС, при которой требуется минимум оборудования: Nʹ = d. N/dp = ln. M*((ln p - 1)/ln 2 p) Приравняв это значение к нулю, получим экстремум при р = е. Так как при р = е Nʹʹ>0, то характер экстремума соответствует минимуму. Таким образом, система при р = е требует минимума оборудования.

На практике целесообразно использовать системы с р = 3 или р = 2. Эти системы, согласно приведенной оценке, практически равноценны, так как N 2/N 3 = (2 ln 3)/(3 ln 2) ≈ 1, 056 Подобное сравнение десятичной и двоичной систем показывает, что десятичная система в 1, 5 раза менее экономична двоичной: N 10/N 2 ≈ 1, 5