1 Раздел 1. Множества, отношения и алгебраические структуры

1 Раздел 1. Множества, отношения и алгебраические структуры 1.1. Множества, элементы множеств Множество – определённая совокупность объектов. Объекты - элементы множества. Примеры множеств а) N – мн-во натуральных чисел 1, 2, 3,…; б) P – мн-во всех простых чисел 2, 3, 5, 7…; с) Z – мн-во всех целых чисел …-2, -1, 0, 1, 2,…; d) R – мн-во всех действительных чисел. - x принадлежит М. - x не принадлежит М. Мн-во, элементы которого мн-ва, называются классом или семейством. Мн-во, не содержащее элементов, называется пустым – ø. Универсум (U) – достаточно широкое мн-во, из которого берутся элементы в каждом конкретном случае. Способы задания мн-в: 1) перечисление элементов: ; 2) порождающей процедурой, например 3) характеристическим предикатом, например .

2 Литература Кузнецов О.П., Адельсон – Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера / М., Энергоиздат, 1988.– 480с. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов : Учебник/ СПб.: Питер, 2000. – 304с. Липский В. Комбинаторика для программистов. - М.: Мир, 1988. Пестунова Т.М. Введение в комбинаторику: Учебное пособие / Красноярск: КГТУ, 2001.– 96c. Богульская Н.А., Пестунова Т.М. Дискретная математика. Основы теории графов: Учебное пособие/ Красноярск: КГТУ, 2004. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов / М.: Наука, 1984. – 224с. Оре, О. Теория графов. – М., Наука, 1980. – 336c.

3 1.2. Операции над множествами Сравнение множеств: A=B (эл-ты совпадают); (каждый эл-т А есть эл-т В); А - подмножество В. Если и , А – собственное или строгое подмножество В. По определению ø ; M . Два мн-ва равны, если они являются подмн-вами друг друга: Мощность конечного мн-ва – число его эл-тов - |ø|=0. Мн-ва равномощны - |A|=|B|. Операции над мн-вами: объединение пересечение разность симметрическая разность дополнение

4 Диаграммы Эйлера-Венна

5 Свойства операций над множествами 1. Идемпотентность 2. Коммутативность 3. Ассоциативность 4. Дистрибутивность 5. Поглощение 6. Св-ва нуля ø = ø = ø. 7.Св-ва единицы 8. Инволютивность 9. Законы де Моргана 10. Свойства дополнения 11. Свойства разности ø.

6 Прямое произведение множеств Прямое произведение множеств А и В - . . Пример. - множество координат точек плоскости. Прямое произведение называют декартовым.

7 1.3. Мощности множеств Мн-во всех подмн-в мн-ва М называют булеаном и обозначают . Теорема. Для конечного мн-ва Док-во: (по индукции) 1. ø. 2. Предположим верно Рассмотрим Обозначим ø. Мн-ва, равномощные N называются счётными

8 Теорема Кантора Т. Мн-во всех действительных чисел отрезка [0,1] не является счётным. Док-во. (от противного) Предположим, что существует нумерация. Расположим все числа, представленные десятичными дробями в порядке нумерации. … Рассмотрим дробь такую, что и т.д. Эта дробь не равна ни одному из чисел последовательности. Это противоречит предположению. Ч.т.д. Мощность мн-ва чисел отрезка [0,1] называется континуум. Равномощные ему множества – континуальные. Множество всех подмножеств счётного множества континуально.

9 1.4 Отношения Отношения - один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Определение. Подмножество R называется n-местным отношением на множестве А. При этом говорят, что элементы a1, a2, ... ,an находятся в отношении R, если (a1, a2, ... , an) . R. - прямое произведение множеств. Для n = 1 - одноместное отношение, для n = 2 - двухместное, для n = 3 – трехместное и т.д. Одноместные (унарные) отношения – подмн-ва мн-ва А. Они отражают наличие какого-то признака R у элементов мн-ва A. Пример унарного отношения Подмн-во четных чисел Nчетн на мн-ве N. Двухместные (бинарные) отношения используются для определения взаимосвязей пар элементов в множестве А. Пример бинарного отношения Отношение строгого неравенства (a > b) на мн-ве N.

10 Примеры отношений на конечном множестве А = {1, 2, 3, 4, 5} 1. Одноместное отношение: R - нечетные элементы А. R = {1, 3, 5} 2. Двухместное отношение: R - отношение равенства. R={(a,b):a=b, a,b A}. R= = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5)}. 3. Трехместное отношение: R - отношение суммы R = {(a, b, c): a + b = c, a, b, c A}. R+ = {(1, 1, 2); (1, 2, 3); (1, 3, 4); (1, 4, 5); (2, 1, 3); (2, 2, 4); (2, 3, 5); (3, 1, 4); (3, 2, 5); (4, 1, 5)}. Отношения могут быть заданы и на множествах разной природы: R Mn. M1 M2 ... При этом элементы (a1, a2, ... , an), находящиеся в отношении R, принадлежат соответственно a1 M1, a2 M2, ... , an Mn).

11 Бинарные отношения Для R рассмотрим: а) область определения: б) область значений: в) обратное отношение: г) композицию (для отношений R1 и R2):

12 Способы задания бинарных отношений 1.Списком (перечислением) пар, для которых это отношение выполняется. 2.Матрицей - бинарному отношению , где А={a1,a2, ..., an}, соответствует квадратная матрица S порядка n, в которой элементы sij принимают два возможных значения: Пример. Пусть А = {1, 2, 3}. Задать матрицей отношение: