1
При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока, а =const. Для задания такой функции тока можно подобрать систему источников и стоков. 2
Показать, что поверхность цилиндра является линией тока R цилиндр сток О Q х Р источники 3
4
5
Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f(z), первая производная которой конечна для всех точек области между двумя концентрическими окружностями, описанными около начала координат, может быть разложена в ряд: 6
Если условия выполнены внутри круга, то Если условия выполнены вне круга, то Если условия выполнены во всей плоскости ху 7
Полагая , вводя полярные координаты , представляя комплексные постоянные получим: 8
9
Если значение или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть разложено в ряд Фурье по косинусам и синусам кратного угла . Эти ряды должны быть эквивалентны рядам полученным выше. Приравнивая в отдельности коэффициенты при sin(n ) и при cos(n ) , можно получить уравнения для определения Pn, Qn, Rn, Sn. 10
2 a U у U Цилиндр движется в неограниченной жидкости, которая на бесконечности находится в покое Предполагаем, что движение возникает из х состояния покоя. Тогда оно остается безвихревым, а потенциал скорости будет однозначным вне цилиндра 11
r U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r=a 12
Дифференцируя потенциал скорости по r и приравнивая нормальные составляющие скорости на границе цилиндра r=a, получаем: 13
Остальные коэффициенты равны нулю Найти функцию тока 14
Так как циркуляция скорости то - однозначна и может быть представлена в виде ряда вместе с вне цилиндра 15
16
17
Полное решение задачи: а =const вдоль линии тока 18
у 2 a U Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно течению, возникающему в жидкости при наличии дублета в начале координат. 19
20
21
Кинетическая энергия жидкости: 22
Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость), отнесенная к единице длины цилиндра, равна сумме энергии цилиндра ( 1/2 МU 2) и энергии жидкости (1/2 М выт. жидк. U 2) 23
24
Если прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х , отнесенная к единице длины, то уравнение изменения энергии будет: 25
Со стороны жидкости на цилиндр действует сила Она исчезает, если скорость не зависит от времени. 26
Определим эту силу, используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения жидкости: q - результирующая скорость: 27
28
29
Для того, чтобы найти силу, действующую на цилиндр со стороны окружающей жидкости, надо проинтегрировать давление по границе цилиндра. Проекция на ось х: 30
Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со стороны жидкости на него не действует силы. 31
32
2 a 2 a U Пусть цилиндр движется со скоростью U, как показано на рисунке. Сообщим жидкости и -U цилиндру скорость -U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный цилиндр Запишем комплексный потенциал для плоскопраллельного движения жидкости. 33
Потенциал скорости и функция тока для плоскопараллельного течения n=1 у : r х 34
2 a 2 a U -U Надо прибавить 35
Определим потенциал скорости и функцию тока на границе цилиндра r=a Является ли граница цилиндра линией тока? Каковы линии тока? 36
На границе цилиндра 37
Обтекание круга в лотке Хил-Шоу 38
Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости) 39
На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального обтекания цилиндра характерного для идеальной жидкости, состоит в переходе к противоположному крайнему случаю ползущего течения в узком зазоре, для которого влияние сил вязкости является определяющим. Фото D. Н. Регеgrine 40
41
Обтекание кругового цилиндра при Re=1, 54. При этом числе Рейнольдса картина линий тока, очевидно, уже потеряла ту симметрию передней и задней частей, которая имела место в ползущем 42 течении.
Однако поток сзади все же еще не оторвался. Отрыв начинается примерно при Re = 5, хотя значение числа Рейнольдса начала отрыва точно неизвестно. Линии тока визуализированы с помощью алюминиевого порошка в воде. Фото Sadatoshi Taneda 43
Обтекание кругового цилиндра при Re=9, 6. Произошел отрыв, и рециркуляционных вихрей. образовалась пара 44
Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом под свободной поверхностью. Экстраполяция результатов подобных экспериментов на случай неограниченного потока указывает на возможность отрыва при Re=4 -5, тогда как большинство численных расчетов дает Re=5 -7. Фото Sadatoshi Taneda 45
Обтекание кругового цилиндра при Re=13, 1. По мере увеличения скорости неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока. Их длина линейно растет с ростом числа Рейнольдса, пока значение 46 Re не превысит 40
Обтекание кругового цилиндра при Re=26. Расстояние вниз по потоку до центров вихрей также линейно возрастает с ростом числа 47 Рейнольдса.
Обтекание шара при Re=104 При таком числе Рейнольдса рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он полностью сохраняет свою стационарность, как и в случае кругового цилиндра. Визуализация осуществляется тонким слоем сгущенного молока на шаре; молоко постепенно растворяется и уносится 48 потоком воды. [Taneda, 1956 b]
Мгновенная картина потока при обтекании шара при Re=15 000 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой, отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным на длине, почти равной радиусу. Затем слой становится неустойчивым и быстро 49 превращается в турбулентный. Фото ONERA. [Werle, 1980]
50
Силы действующие на элементарный объем воды вблизи дна в замедляющемся потоке y рхн бодная пове Сво u 1 p 1 ость u u 2 p 2 х Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Ffriction 51
umax Fтр u=0 umax Под действием силы трения и градиента давления происходит периодическая остановка u=0 поверхностного слоя и образование вихрей 52
Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром при Re = 140. Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1, 4 см/с. Визуализация движения осуществляется так: частицы метятся белым коллоидным дымом, создаваемым электролитическим способом и освещаются световым ножом. Видно, что по мере продвижения вниз по потоку на несколько диаметров ширина вихревой пелены возрастает. Фото Sadatoshi 53 Taneda
Вихри Кармана в абсолютном движении Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока весьма напоминает картину невязкого течения, рассчитанную Карманом. Визуализация потока осуществляется с помощью частиц, плавающих на воде. Фото R. Wille, снимок взят из статьи [Werle, 1973]. Воспроизведено с соответствующего разрешения из Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 5, © 1973 by Annual Reviews Inc 54
y В вязкой жидкости u y u umax x x Fтр Р 1 Р 2 u=0 Р 1> Р 2 umax 55
Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного d слоя) между моментами вылета вихрей T 56
1. Почему не образуются вихри за цилиндром? Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна 57 наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)
Над поверхностью воды существует горизонтальный поток воздуха, скорость потока уменьшается в направлении движения. Как возникают волны на поверхности воды? 58
Ветер, Vвет>C Р 1 C Р 2 Р 1> Р 2 Усиление волн ветром 59
60
Для стационарного движения при отсутствии внешних сил Для стационарного движения - ( ) выполняется вдоль данной линии тока Для безвихревого движения ( ) выплняется везде 61
Определить скорость на границе и компоненты силы, действующей со стороны жидкости на цилиндр y umax u u=0 x umax 62
y umax=2 U u u=0 x umax 0 63
Куда направлена сила, действующая на цилиндр в потоке жидкости со сдвигом скорости? y u 1 u u=0 x u 2 64
Куда направлена сила, действующая на вращающийся цилиндр в однородном потоке жидкости? y umax u u=0 x umax 65
Для того, чтобы ряд, представляющий комплексный потенциал, соответствовал случаю произвольного безвихревого движения между двумя концентрическими окружностями, к ряду необходимо прибавить еще слагаемое, описывающее влияние вихревых нитей 66
Если A=P+i. Q, то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: Циклическая константа функции тока 2 Р означает поток через внутреннюю или внешнюю окружности. Циклическая константа потенциала скорости 2 Q означает циркуляцию по некоторой замкнутой кривой, заключающей начало координат. 67
68
2 a U Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной . 69
Линии тока для В этом случае точка, в которой скорость равна нулю находится в жидкости 70
2 a -U Обтекание вращающегося цилиндра 71
Для r = a Сила действует на цилиндр вдоль вертикальной оси не зависит от радиуса 72
Всякое непрерывное движение жидкости, наполняющей неограниченное пространство и покоящейся в бесконечности, можно рассматривать, как движение, вызванное соответствующим распределением источников и вихрей с конечной плотностью. 73
Всякое непрерывное безвихревое циклическое и нециклическое движение несжимаемой жидкости, наполняющей произвольную область, может рассматриваться как движение, вызванное некоторым распределением вихрей по ограничивающей поверхности, которая отделяет область от остального неограниченного пространства. В случае области, простирающейся в бесконечность, это распределение относится к конечной части ограничивающей поверхности при условии, что жидкость покоится в бесконечности. 74
Скачать презентацию 1 При обтекании цилиндра жидкостью его поверхность
5 Only Body.ppt