1 Полная производная сложной функции Обозначим компоненты

1

Полная производная сложной функции Обозначим компоненты скорости ux, uy, uz 2

Ускорение Найти компоненты ускорения 3

4

Найти полную производную по времени от плотности Плотность – функция времени и координат 5

Оператор набла 6

Найти 7

Записать, используя оператор Скалярное произведение векторов 8

9

Скалярное произведение оператора набла на скорость течения 10

Векторное произведение оператора набла на скорость течения 11

Перемещение и деформация жидкой частицы 12

Перемещение твердого тела с вращением вокруг центра инерции с угловой скоростью ω a r 0 r a’ r’ 13

Перемещение и деформация жидкой частицы С точностью до малых величин второго порядка Распишем по осям координат: Чистая деформация 14

Вращательное перемещение , которое получает точка А, если бы частица затвердела при вращении вокруг мгновенной оси с угловой скоростью 15

Чистая деформация шар эллипсоид Главные оси эллипсоида – главные оси деформации (перпендикулярны поверхности эллипсоида в точках соприкосновения). 16

шар эллипсоид Если жидкость несжимаема, то объем элемента жидкости не меняется. Изменение объема элемента жидкости при деформации определяет дивергенция скорости. 17

Дивергенция скорости - скорость кубического расширения жидкости в точке s В несжимаемой жидкости 18

Задача 1 у Записать поле скорости в проекциях на оси для плоского течения жидкости вида uх х 19

Задача 1 у Записать поле скорости в проекциях на оси для плоского течения вида uх х Такой профиль скорости существует в вязком слое потока жидкости у твердой границы. Этот экспериментальный факт установил Ньютон 20

у Задача 2 ux=u 0 + Cy Найти для этого течения х 21

у Задача 2 ux=u 0 + Cy х Найти для этого течения Скалярное произведение векторов и 22

Задача 3 у Построить деформацию выделенного объема несжимаемой жидкости при перемещении вниз по потоку uх х 23

у Объем жидкой частицы сохраняется uх х Чистая деформация Поворот «затвердевшей» частицы 24

Поле скорости. 25

Установившееся ( стационарное) течение u=f(x, y, z) Неустановившееся (нестационарное) течение u=f(x, y, z, t) Равномерное установившееся движение - скорость не меняется вдоль траектории 26

Линия тока: для данного момента времени t касательная к линии тока в любой ее точке совпадает по направлению со скоростью течения u 1 u 2 u 3 В стационарном потоке линия тока совпадает с траекторией 27

Уравнение линии тока 28

Показать, что в нестационарном потоке линия тока не совпадает с траекторией 29

Линии тока в 2 разных момента времени в нестационарном потоке жидкости. Траектория не совпадает с линией тока 30

Если в некоторой точке u 0, то через эту точку проходит только одна линия тока Если в некоторой точке u = 0, то это особая точка узел фокус центр 31

Характеристики движения жидкости 32

Поток скорости через поверхность S - это объем жидкости протекающий через S за единицу времени (объемный расход) S Если поверхность S замкнута, то втекающий поток считается положительным, вытекающий – 33 отрицательным.

Средняя скорость течения в канале или трубе с поперечным сечением S: 34

Дивергенция скорости - скорость кубического расширения жидкости в точке Скалярное произведение оператора набла и вектора скорости течения 35

Циркуляция скорости по замкнутой кривой с определенным направлением обхода L L Положительным считается направление обхода против часовой стрелки 36

Записать циркуляцию скорости, если жидкость вращается с постоянной скоростью вдоль окружности радиуса R против часовой стрелки 37

Вращение с постоянной угловой скоростью ω вдоль окружности радиуса R По чсаовой? 38

у Определить циркуляцию скорости по выделенному контуру (квадрат со стороной а) а х 39

у а х 40

Вихрь rotu скорости векторное произведение оператора набла на скорость течения 41

Определить ротор скорости у х 42

j k uх i 43

Вихрь rotu и циркуляция скорости (теорема Стокса) Циркуляция скорости по замкнутому контуру равна потоку вихря скорости сквозь любую поверхность, ограниченную данным контуром S L Если 44

у L а S х 45

Контрольная работа 46

1. Определить циркуляцию скорости для потока с компонентами скорости ux=u 0+cy, uy=0, uz=0 вдоль окружности радиуса R 2. В сужающейся круглой трубе, ось которой направлена по оси х, радиус сечения уменьшается как линейная функция координаты х. На входе трубы радиуса R скорость потока равна U. Определить скорость потока на расстоянии L от входа. Скорость постоянна по сечению трубы. (Использовать закон сохранения массы) 3. Записать по компонентам и в векторном виде 47

Уравнение неразрывности (сохранение массы) 48

Пусть масса элементарного объема τ жидкости не изменяется при переходе от τ0 к τ в моменты времени t 0 и t (не зависит от времени) Раскрываем производную по времени 49

Делим на δτ Скорость относительного кубического расширения жидкости в данной точке 50

Уравнение неразрыности - следует из закона сохранения массы 51

Задача Показать, что уравнение неразрывности можно записать в виде 52

Записать, используя оператор 53

умножаем на 54

Записать уравнение неразрывности для: 1. несжимаемой неоднородной по плотности жидкости 2. стационарного движения неоднородной по плотности жидкости 55

Несжимаемая неоднородная жидкость Стационарное движение неоднородной жидкости 56

Используя уравнение неразрывности и теорему Гаусса показать, что объем несжимаемой жидкости втекающей через неподвижную замкнутую поверхностью S равен объему вытекающей жидкости через ту же поверхность. 57

Если жидкость несжимаемая, то 58

Пусть несжимаемая жидкость поступает в замкнутую область, ограниченную поверхностью S. Малые площадки а перпендикулярны линиям тока. Для каждой такой трубки тока а 2 u 1 u 2 Так как то число входящих трубок тока равно числу выходящих трубок тока. а 1 59

ВЫВОД Внутри любой замкнутой поверхности линии тока несжимаемой жидкости не могут ни начинаться, ни заканчиваться. 60

Уравнение неразрывности в цилиндрических и сферических координатах 61

Цилиндрические координаты z r 62

Сферические координаты 63

Задача 1 Каждая частичка жидкости описывает окружность, перпендикулярную к постоянной оси и с центром на ней. Получить уравнение неразрывности. 64

z Х r Х 65

Уравнение неразрывности имеет вид где = угловая скорость 66

Задача 2 Траектории частиц расположены на поверхностях коаксиальных цилиндров. Найти уравнение неразрывности. 67

z Х r r 68

Ответ к задаче 2 69

Задача 3 Каждая частичка жидкости движется в плоскости, проходящей через ось z. 70

Ответ к задаче 3 z r 71

Задача 4 Частицы жидкости движутся в пространстве симметрично по отношению к неподвижному центру так, что скорость каждой частицы направлена либо от центра, либо к центру и зависит только от расстояния r от центра 72

Ответ к задаче 4 73

Ответ к задаче 4 74

Ответ к задаче 4 Х 75

76