1 Основы логики 1 Логические выражения и операции

1 Основы логики 1. Логические выражения и операции 2. Преобразование логических выражений 3. Синтез логических выражений

2 Основы логики Тема 1. Логические выражения и операции

Булева алгебра Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1. Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных. Джордж Буль разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1 (алгебра логики, булева алгебра). Почему "логика"? Результат выполнения операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания. 3

Логические высказывания Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. ! Любое высказывание может быть ложно (0) или истинно (1). 4

5 Операция НЕ (инверсия) Если высказывание A истинно, то "не А" ложно, и наоборот. также: , not A (Паскаль), А не А ! A (Си) 0 1 1 0 таблица истинности операции НЕ Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

6 Операция И (логическое умножение, конъюнкция) Высказывание "A и B" истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно. также: A·B, A and B (Паскаль), A B А B A && B (Си) 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 A B конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) Высказывание "A или B" истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе. также: A+B, A or B (Паскаль), A B А B A || B (Си) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение 7

8 Операция "исключающее ИЛИ" Высказывание "A B" истинно тогда, когда истинно только А или только B. также: A xor B (Паскаль), A B А B A ^ B (Си) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 арифметическое сложение, 1+1=2 остаток сложение по модулю 2: А B = (A + B) mod 2

Свойства операции "исключающее ИЛИ" A A=0 A 0= A A 1= A A 0 0 1 1 B 0 1 А B 0 0 1 0 0 0 1 1 0 9

Импликация ("если …, то …") Высказывание "A B" истинно, если не исключено, что из А следует B. A – «Температура ниже нуля". B – «Вода замерзла". A 0 0 1 1 B 0 1 А B 1 1 0 1 10

Эквивалентность ("тогда и только тогда, …") Высказывание "A B" истинно тогда и только тогда, когда А и B равны. A 0 0 1 1 B 0 1 А B 1 0 0 1 11

12 Базовый набор операций С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию. И ИЛИ НЕ базовый набор операций

Логические формулы Прибор имеет три датчика и может работать, если два из них исправны. Записать в виде формулы ситуацию «авария» . A – "Датчик № 1 неисправен". B – "Датчик № 2 неисправен". C – "Датчик № 3 неисправен". Аварийный сигнал: X – "Неисправны два датчика". X – "Неисправны датчики № 1 и № 2" или "Неисправны датчики № 1 и № 3" или "Неисправны датчики № 2 и № 3". логическая формула 13

14 Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 B A·B 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 X 0 1 0 1 0 1 1 Логические выражения могут быть: q тождественно истинными (всегда 1, тавтология) q тождественно ложными (всегда 0, противоречие) q вычислимыми (зависят от исходных данных)

15 Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 4 5 6 7 B C A∙B A∙C B∙C X 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1

16 Основы логики Тема 2. Преобразование логических выражений

17 Законы алгебры логики название двойного отрицания исключения третьего операции с константами повторения поглощения переместительный сочетательный распределительный правило де Моргана для ИЛИ

Упрощение логических выражений Шаг 1. Заменить операции на их выражения через И, ИЛИ и НЕ: Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана: Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего. 18

Упрощение логических выражений раскрыли формула де Моргана распределительный исключения третьего повторения поглощения 19

20 Основы логики Тема 3. Синтез логических выражений

21 Синтез логических выражений A B X 0 0 1 1 0 1 0 1 Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 1. Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки. Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат. распределительный исключения третьего

Синтез логических выражений (2 способ) Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 0. Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки. Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат, который равен. Шаг 4. Сделать инверсию. A B X 0 0 1 1 1 0 1 ? Когда удобнее применять 2 -ой способ? 22

Синтез логических выражений A B C X 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 23

Синтез логических выражений (2 способ) A B C X 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 24

Задача 1. 18 Для какого символьного выражения неверно Первая буква гласная ¬(Третья буква согласная) ? 1) abedc 2) becde 3) babas 4)abcab 25

26 Задача 1. 19 Для какого из указанных значений числа Х истинно высказывание ((Х<5) (X<3)) ((X<2) (X<1)) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

27 Задача 1. 20 Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(¬А ¬В) С ? 1) (A ¬В) C 3) (A ¬В) C 2) A B C 4) ¬(A ¬В) C

28 Задача 1. 21 Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Какое выражение соответствует F? 1) X ¬Y Z 2) X Y Z 3) X Y ¬Z 4) ¬X Y ¬Z X Y Z F 1 1 1 0 1 1

29 Задача 1. 22 Для составления 4 -значных чисел используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, при этом соблюдаются следующие правила: • На первом месте стоит одна из цифр 1, 2 или 3. • После каждой четной цифры идет нечетная, а после каждой нечетной – четная. • Третьей цифрой не может быть цифра 5. Какое из перечисленных чисел получено по этим правилам? 1) 4325 2) 1432 3) 1241 4) 3452

Задача 1. 23 Каково наименьшее целое положительное число Х, при котором нижеследующее высказывание будет ложным? (4 > - (4+X)·X) (30 > X·X) 30

Задача 1. 24 Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ |, а для операции «И» - &. 1) музыка | классика | Моцарт | серенада 2) музыка | классика 3) музыка | классика | Моцарт 4) музыка & классика & Моцарт 31