1. Определение производной пр. П 2. Геометрический

1. Определение производной пр. П

2. Геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.

3. Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ v Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс. v Если производная положительна, то угловой коэффициент -положителен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – острый. v Если производная отрицательна, то угловой коэффициент -отрицателен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – тупой. v Если производная равна нулю, то угловой коэффициент равен нулю, тогда касательная параллельна оси ОХ

4. Применение производной для определения промежутков монотонности функции Достаточные признаки монотонности функции. Ø Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале. Ø Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале. Ø Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

5. Применение производной для определения критических точек, точек экстремума Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис. 5 а, б). В точках x 1 , x 2 ( рис. 5 a ) и x 3 ( рис. 5 b ) производная равна 0; в точках x 1 , x 2 ( рис. 5 б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

6. Необходимые и достаточные условия экстремума v Необходимое условие экстремума. Если x 0 - точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x 0)=0. Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f ( x ) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке С другой стороны, функция y = | x | имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производная не существует. v Достаточные условия экстремума. v Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума. v Если производная при переходе через точку x 0 меняет св ой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума.

Актуализация опорных знаний 7. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции q Наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) могут достигаться как во внутренних точках отрезка [а; в], так и на его концах. q Если эти значения достигаются во внутренних точках отрезка, то эти точки являются точками экстремума. q Поэтому надо найти значения функции в точках экстремума из отрезка [а; в], на концах отрезка и сравнить их.

1. Отработка знаний, умений и навыков по теме Шпаргалка для практической работы По следующим данным, приведённым в таблице, охарактеризуйте поведение функции . х (-3; 0) 0 (0; 4) 4 (4; 8) 8 (8; +∞) f΄(x) + 0 - 0 + f(x) -3 -5 6

Характеристика поведения функции 1. ОДЗ: х принадлежит промежутку от -3 до +∞; 2. Возрастает на промежутках (-3; 0) и (8; +∞); 3. Убывает на промежутках (0; 8); 4. Х=0 – точка максимума; 5. Х=4 – точка перегиба; 6. Х=8 – точка минимума; 7. f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;

2. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция у=f(х) определена на промежутке [-5; 6]. График ее производной её производной изображен на рисунке. Укажите число её точек максимума на промежутке [-5; 6 ] Ответ: 3.

3. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция у=f(х) определена на промежутке [-4; 8]. . График ее производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции. Ответ: 3.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция у=f(х) определена на промежутке (-5; 7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите промежутки убывания функции у=f(х). В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков. Ответ: 4.

5. Отработка знаний, умений и навыков по теме § Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [ – 6; 6]. § Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной y = f'(x) § Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

Список вопросов (откорректированных) 1) количество промежутков возрастания функции y = f(x); 2) длину промежутка убывания функции y = f(x); 3) количество точек экстремума функции y = f(x); 4) точку максимума функции y = f(x); 5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума; 6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [0; 4]; 7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [– 2; 2]; 8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси OУ; 9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси OХ угол 60°; 10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент Ответ: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) – 3; 5) – 5; 6) 4; 7) – 1; 8) 3; 9) 4; 10) – 2.

Тестирование (В 8 из ЕГЭ) 1. Задания теста представлены на слайдах. 2. В таблицу заносите ответы. 3. После завершения теста меняетесь бланками с ответами, проверяете работу соседа по готовым результатам; оцениваете. 4. Проблемные задания рассматриваем и обсуждаем вместе.

У=f(х) Рис б Рис а На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0 1)-2 2) 1, 5 3) 3 4) 0

В какой из указанных точек производная функции, график которой изображен на рисунке, отрицательна? У=f(х) 1) 2) 3) 4)

Найти точку Х 0 , в которой функция принимает наименьшее значение Найти точку Х 0 , в которой функция принимает наибольшее значение

1 К графику функции у =f( x) в его точке с абсциссой x 0=2 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции. Функция у=f(х) определена на промежутке (-5; 5). На рисунке изображен график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

Функция определена на промежутке (-5; 6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, в которых касательные наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. Функция определена на промежутке (-6; 6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, которых касательные наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс.

Функция у = f(х) определена на отрезке [-6; 6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции у = f(х)на отрезке [-6; 6]. Функция у = f(х) определена на отрезке [ -5; 5]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек максимума функции у = f(х)на отрезке [-5; 5].

a b Функция у = f(х) определена на отрезке [a; b]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции у =f(х)на отрезке [a; b]. Функция у = f(х) определена на отрезке [-6; 6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков убывания функции у=f(х)на отрезке [-6; 6].

Функция у = f(х) определена на отрезке [-6; 6]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки возрастания функции у = f(х) на отрезке [-6; 6]. В ответе укажите наименьшую из длин этих промежутков. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5; 5]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки убывания функции у = f(х) на отрезке [-5; 5]. В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.

Функция у = f(х) определена на отрезке [-5; 4]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X , в которых функция имеет максимум. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5; 5]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X , в которых функция имеет минимум.

Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = 5, если f(6) = 8 Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = - 3, если f(- 5) = 0

Функция у = f(х) определена на промежутке (-6, 6). На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку минимума функции. Функция у = f(х) определена на промежутке (-6, 7). На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку максимума функции.

1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 1, 5 - 2 3 4 2 4 3 4 4 4 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2 2 3 1 4 0 -1 5 -4 - -

Домашняя работа: задача, связанная с чтением одного и того же графика, но в одном случае — это график функции, а в другом — график ее производной. Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [– 6; 5]. На рисунке приведен: а) график функции y = f(x); б) график производной y = f'(x). По графику определите: 1) точки минимума функции y = f(x); 2) количество промежутков убывания функции y = f(x); 3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке [2; 4]; 4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси OХ (или совпадает с ней).