1 ОБЧИСЛЮВАНІСТЬ КВАЗІАРНИХ ФУНКЦІЙ НА N Розглядаємо спосіб

6 Базові обчислювані функції для V-квазіарних функцій на N – це о, sх та 'v. о(d) = 0 для всіх dVN sх(d) = d(x)+1 'v(d) = d(v) Функцію, яку можна отримати з базових функцій о, sх, 'v за допомогою скінченної кількості застосувань операцій Sv1,…,vn, Ry,z та My, назвемо V-квазіарною частково рекурсивною (V-КЧРФ). Обмежуючись V-фінарними функціями, отримуємо: Функцію, яку можна отримати з фінарних функцій о, sх, 'v за допомогою скінченної кількості застосувань операцій Sv1,…,vn, Ry,z та My, назвемо V-фінарною частково рекурсивною (V-ФЧРФ).

7 Твердження 6. Кожна V-КЧРФ алгоритмічно обчислювана відносно відносно операції  та V-ІМ над N як функцій. Твердження 7. Кожна V-ФЧРФ алгоритмічно обчислювана. Твердження 8. Кожна V-КЧРФ еквітонна. Алгебра V-КЧРФ – це алгебра (q; Ry,z, My, Sv1,…,vn), носієм q якої є клас усіх V-КЧРФ, а операціями – Ry,z, My, Sv1,…,vn. Алгебра V-ФЧРФ – це алгебра (f; Ry,z, My, Sv1,…,vn), носієм f якої є клас усіх V-ФЧРФ, а операціями – Ry,z, My, Sv1,…,vn.

8 Операторні терми (ОТ) алгебри V-КЧРФ. Алфавіт мови алгебри V-КЧРФ: символи о, sx, 'v; Ry,z, My, Sv1,…,vn, допоміжні символи "(", ")", ",". Індуктивне визначення ОТ алгебри V-КЧРФ: 1) кожен символ базової функції є атомарним ОТ; 2) якщо t0, t1,..., tn – ОТ, то Sv1,…,vn(t0, t1,..., tn) – ОТ; 3) якщо t0 та t1 – ОТ, то Ry,z(t0, t1) – ОТ; 4) якщо t – ОТ, то My (t) – ОТ. Інтерпретація на множині q: кожна V-КЧРФ є значенням деякого ОТ алгебри V-КЧРФ. Інтерпретація на множині f: кожна V-ФЧРФ є значенням деякого ОТ алгебри V-КЧРФ.

9 Якщо f є значенням ОТ , то кажуть: –  – ОТ функції f, – функція f задана ОТ . Неоднозначність задання V-КЧРФ і V-ФЧРФ за допомогою ОТ: о, Sх(о, sx), Sх(о, о) та Sх,у(о, о, sx) задають функцію о. Приклади V-КЧРФ При обмеженні на V-ФЧРФ – це приклади V-ФЧРФ. Приклад 1. Функції-константи – V-КЧРФ. Константи 0, 1, 2,... задаються ОТ о, Sx(sx, о), Sx(sx, Sx(sx, о)),... ОТ для констант 1, 2,..., k,... позначимо 1, 2,..., k,...

10 Приклад 2. Параметрична функція +xy є V-КЧРФ. +xy(d) = 'x(d)+'y(d). Нехай x, y im(d). Тоді +xy(dy0) ='x(dy0z0) ='x(d); +xy(dyb+1) = sz(dуbz+xy(dyb)). Отже, +xy утворена з базових 'v та sz за допомогою Ry,z. ОТ функції +xy : Ry,z('x, sz). Позначимо його xy. Приклад 3. Параметрична функція множення xy є V-КЧРФ. xy(d) = 'x(d)'y(d). Нехай x, yim(d). Тоді xy(dy0) = о(dy0z0) = о(d) = 0; xy(dyb+1) =’x(d)(b+1) = +xz(dybzxy(dyb)). Отже, xy утворена з о та +xz за допомогою Ry,z. ОТ функції xy : Ry,z(о, xz). Позначимо його xy.

11 Приклад 4. Функція sgx задається так: sgx(d) = 0 при ‘x(d) = 0, sgx(d) = 1 при ‘x(d) > 0, sgx(d) при xim(d). Така sgx є V-КЧРФ. sgx(dx0) = о(dx0y0) = о(d) = 0; sgx(dxb+1) = 1. Функція sgx утворена з о та 1 за допомогою Rx,y. ОТ функції sgx : Rx,y(о, 1). Такий терм позначимо sgx. Приклад 5. Функція nsgx задається так: nsgx(d) = 1 при ‘x(d) = 0, nsgx(d) = 0 при ‘x(d) > 0, nsgx(d) при xim(d). Така nsgx є V-КЧРФ. nsgx(dx0) = 1; nsgx(dxb+1) = 0. Функція nsgx утворена з 1 та о за допомогою Rx,y. ОТ функції nsgx : Rx,y(1, о). Позначимо його nsgx.

12 Приклад 6. Параметрична функція ÷xy задається так: ÷xy(d) = ‘x(d) –‘y(d) при ‘x(d) ‘y(d), ÷xy(d) = 0 при ‘x(d) ‘y(d), ÷xy(d) при xim(d) або yim(d). Така ÷xy є V-КЧРФ. Спочатку покажемо: функція ÷x1 є V-КЧРФ. Маємо ÷x1(dx0) = 0; ÷x1(dxb+1) = b = 'x(dxby÷x1(dxb)). ОТ функції ÷x1 має вигляд Rx,y (о, 'x). Маємо ÷xy (dy0) = 'x(d); ÷xy(dyb+1) = ÷x1(dybz ÷xy(dyb)). Отже, ÷xy утворена з 'x та ÷z1 за допомогою Ry,z. ОТ функції ÷xy :  Ry,z('x, Rz,y(о, 'z)). Позначимо його ÷xy.

13 Приклад 7. Параметрична функція |-|ху є V-КЧРФ. |-|ху(d) = |'x(d) – 'y(d)| ОТ функції |-|ху : Sx,y(xy, ÷xy, ÷yx). Позначимо його |–|xy. Приклад 8. Параметрична функція –ху є V-КЧРФ. –ху(d) = 'x(d) – 'y(d) Якщо a = m–n, то a – це перше, починаючи з 0, таке число, що m = n+a, тобто |(n+a)–m| = 0. ОТ функції –ху має вигляд Mz(Sv(|–|vx, yz)). Приклад 9. Функція [x/y] є V-КЧРФ. [x/y] = z(y(z+1) > x). ОТ функції [x/y] має вигляд Mz(Su,v(÷uv, sx, Sv(yv, sz)). Приклад 10. Функція є V-КЧРФ. = y((y+1)(y+1) > x). ОТ функції має вигляд My(Su,v(÷uv, sx, Su,v(uv, sy, sy)).

14 Обчислюваність n-арних функцій на N. Примітивно-рекурсивні, частково рекурсивні та рекурсивні функції Основні обчислювані операції для n-арних функцій на N: – суперпозиції Sn+1 – примітивної рекурсії R – мінімізації M. Операція Sn+1 n-арній g(x1,...,xn) та n функціям g1(x1,...,xm), ..., gn(x1,...,xm) однакової арності зіставляє функцію f = Sn+1(g, g1,..., gn): f(x1,...,xm) = g(g1(x1,...,xm),..., gn(x1,...,xm)). Арність f збігається з арністю функцій g1,..., gn.

15 Fn – клас усіх функцій на N фіксованої арності n, тобто NnN. F – клас усіх n-арних функцій на N – об’єднання усіх Fn. Операцію Sn+1 можна розглядати як: – тотальну функцію Fn(Fm)nFm, – часткову (n+1)-арну функцію на F. Твердження 1. Якщо функції g, g1,..., gn тотальні та АОФ, то Sn+1(g, g1,..., gn) тотальна та АОФ.

16 Операція R n-арній функції g та (n+2)-арній h зіставляє (n + 1)-арну f = R(g, h), що задається рекурсивним визначенням f(x1,...,xn, 0) = g(x1,...,xn) f(x1,...,xn, y + 1) = h(x1,...,xn, y, f(x1,...,xn, y)). Для всіх a1,..., an, b значення f(a1,..., an, b) обчислюється так: f(a1,...,an,0) = g(a1,...,an) f(a1,...,an,1) = h(a1,...,an, 0, f(a1,...,an, 0)) ................................. f(a1,...,an, b) = h(a1,...,an, b–1, f(a1,...,an, b–1)). Функція f однозначно визначається за функціями g та h.

17 Якщо f(a1,..., an, b), то f(a1,..., an, t) для всіх tb. При n = 0 за визначенням функція g – це 1-арна константа. Твердження 2. Якщо функції g та h тотальні та АОФ, то R(g, h) тотальна та АОФ. Операцію примітивної рекурсії R можна розглядати як: – тотальну функцію Fn Fm+2Fn+1 (при n = 0 – F1 F2F1), – часткову бінарну функцію на F.

18 Операція M кожній (n + 1)-арній функції g зіставляє n-арну функцію f = M(g), що задається співвідношенням f (x1,...,xn) = y(g(x1,...,xn, y) = 0). Для всіх значень x1,..., xn значення f(x1,...,xn) обчислюється так. Послідовно обчислюємо g(x1,...,xn, y) для y = 0, 1, 2,... Перше таке значення y, для якого g(x1,...,xn, y) = 0 – шукане значення f(x1,..., xn).  t < y необхідно g(x1,...,xn, t) 0. Операцію мінімізації M можна розглядати як: – тотальну функцію Fn+1Fn (при n = 0 – із F1F1 ) – часткову 1-арну функцію на F. Процес знаходження y(g(x1,...,xn, y) = 0) ніколи не закінчиться: – якщо g(x1,...,xn, 0) – якщо для всіх значень y значення g(x1,...,xn, y) 0 – якщо для всіх t

19 Не завжди найменше значення y таке, що g(x1,...,xn, y) = 0, збігається з y(g(x1,...,xn, y) = 0). Для довільного значення x існує єдине значення y = x+1 таке, що y–(x+1) = 0. Однак функція y(y–(x+1) = 0) усюди невизначена, тому що 0–(x+1) завжди невизначене. Твердження 3. Якщо функція g АОФ, то M(g) теж АОФ. Функція g може бути тотальною, а M(g) – навіть f. Наприклад, f(x) = y(x+y+1 = 0). Базові обчислювані n-арні функції: о(x) = 0, s(x) = x + 1 та Imn(x1,...,xn) = xm, де nm1. Вони тотальні й алгоритмічно обчислювані.

20 Функцію, яку можна отримати з базових за допомогою скінченної кількості застосувань операцій суперпозиції та примітивної рекурсії, назвемо примітивно-рекурсивною (ПРФ). Функцію, яку можна отримати з базових за допомогою скінченної кількості застосувань операцій суперпозиції, примітивної рекурсії, мінімізації, назвемо частково рекурсивною (ЧРФ). Тотальну ЧРФ називають рекурсивною функцією (РФ). 1) кожна ПРФ – тотальна АОФ 2) кожна ЧРФ – АОФ 3) кожна РФ – тотальна АОФ. ПРФ  РФ  ЧРФ

21 Алгебра ЧРФ (алгебра Чорча) – це алгебра (; R, M, S2, S3,...) носій  – клас усіх ЧРФ, операції – R, M, Sn+1, де n1. Алгебра ПРФ – це алгебра (pR; R, S2, S3,...) носій pR – клас усіх ПРФ, операції – R, Sn+1, де n1. Операторні терми алгебри ЧРФ та алгебри ПРФ. Алфавіт мови алгебри ЧРФ: символи о, s, Imn, де nm1; R, M, Sn+1, де n1; допоміжні символи "(", ")", ",". Індуктивне визначення ОТ алгебри ЧРФ: 1) кожен символ базової функції є атомарним ОТ; 2) якщо t0, t1,..., tn – ОТ, то Sn+1(t0, t1,..., tn) – ОТ; 3) якщо t1 та t2 – ОТ, то R(t1, t2) – ОТ; 4) якщо t – ОТ, то M(t) – ОТ.

22 Індуктивне визначення ОТ алгебри ПРФ: пп. 1, 2 та 3. Кожна ЧРФ є значенням деякого ОТ алгебри ЧРФ. Через порушення умов арності не кожен ОТ алгебри ЧРФ має певне значення: напр, R(o, I24), S3(I12, I23, I22) Якщо f є значенням ОТ , то кажуть: –  – ОТ функції f, – функція f задана ОТ . Неоднозначність задання ЧРФ за допомогою ОТ: о, S2(s), S2(о, о), S3(о, S2(о, s)) задають функцію о(x).

23 Приклади ПРФ, ЧРФ та РФ Приклад 1. Функції-константи – ПРФ. n-арна оn(x1,...,xn) = 0 задається ОТ S2(о, I1n); n-арна kn(x1,...,xn) = k задається ОТ S2(s, S2(s,...,S2(о, I1n)...). Приклад 2. Функція f(x1, x2) = x1+x2 – ПРФ. f(x1, 0) = x1 = I11(x1); f(x1, x2+1) = x1+ (x2+1) = (x1+x2)+1 = s(x1+x2) = s(f(x1, x2)). x1+x2 утворена примітивною рекурсією з функцій g(x1) = I(x1) та h(x1, x2, x3) = x3+1 = s(x3) = S2(s, I33)(x1, x2, x3). ОТ функції x1+x2: R(I11, S2(s, I33)). Позначимо його .

24 Приклад 3. Функція f(x1, x2) = x1x2 – ПРФ. f(x1, 0) = 0 = о(x1); f(x1, x2+1) = x1(x2+1) = x1x2 + x1 = f(x1, x2) + x1. x1x2 утворена R з функцій g(x1) = о(x1) та h(x1, x2, x3) = x3+x1. ОТ функції x1x2: R(о, S3(, I33, I13)). Приклад 4. 1-арна функція sg задається так: sg(x) = 0 при x = 0, sg(x) = 1 при x1. Така sg(x) є ПРФ. sg(0) = 0 = о(x); sg(x+1) = 1. ОТ функції sg(x): R(о, S2(s, S2(о, I12))). Приклад 5. 1-арна функція nsg задається так: nsg(x) = 1 при x = 0, nsg(x) = 0 при x1. Така nsg є ПРФ. ОТ функції nsg(x): R(S2(s, о), S2(о, I12)).

25 Приклад 6. Функція f(x1, x2) = x1 ÷ x2 задається так: x1 ÷ x2 = x1–x2 при x1x2, x1 ÷ x2 = 0 . при x1x2, Така x1 ÷ x2 є ПРФ. Спочатку покажемо, що функція x1 ÷1 – ПРФ. 0 ÷1 = 0 = о(x1); (x1+1) ÷1 = x1 = I12(x1, x2). ОТ функції x1 ÷1: R(о, I12). Тепер покажемо, що f(x1, x2) = x1 ÷ x2 – ПРФ. Маємо f(x1, 0) = x1 ÷0 = I11(x1); f(x1, x2+1) = (x1 ÷ x2) ÷ 1 = f(x1, x2))÷ 1. x1 ÷ x2 утворена примітивною рекурсією з функцій g(x1) = I11(x1) та h(x1, x2, x3) = x3 ÷ 1. ОТ функції x1 ÷ x2: R(I11, S2 (R(о, I12), I33)).

26 Приклад 7. Функція f(x1, x2) = |x1 – x2| = (x1 ÷ x2) + (x2 ÷ x1) – ПРФ. Приклад 8. Функція f(x1, x2) = x1 – x2 – ЧРФ. x1 – x2 = x3(x1 = x2+x3) = x3(|x1– (x2+x3)| = 0). Приклад 9. Функція f(x1, x2) = [x1/x2] – ЧРФ. [x1/x2] = x3(x2(x3+1) > x1) =x3(nsg(x2(x3+1) ÷ x1) = 0). Приклад 10. Функція f(x1) = – РФ. = x2((x2+1)(x2+1) > x1) = x2(nsg((x2+1)(x2+1) ÷ x1) = 0). Приклад 11. Усюди невизначена функція f – ЧРФ. f(x1) = x2(x1+1 = 0), тому f – значення ОТ М(s).

27 Властивості ПРФ і РФ. Позначаємо xn+1 та xn+2 як y та z. При z

28 Тeорeма 2. Нехай (n+1)-арна функція g є ПРФ. Тодi (n+2)-арна – ПРФ. Теорема 3. Нехай (n+1)-арна функція g та n-арні p та q – ПРФ. Тоді n-арна функція h(x1,..., xn) = – ПРФ. h(x1,..., xn) = f(x1,..., xn, p(x1,..., xn), q(x1,..., xn)), де f – із теореми 2 Теореми 1–3 – теореми про підсумовування. Замінивши в них символ  на , одержимо теореми про мультиплікацію.

29 Приклад 12. Довизначимо f(x1, x2) = [x1/x2] так: [x1/0] = x1. Тоді функція [x1/x2] є ПРФ. Значення [a/b] рівне кількості нулів у послідовності 1b ÷ a, 2b ÷ a,..., ab ÷ a. Тому Приклад 13. Функція mod(x1, x2) є ЧРФ. mod(x1, x2) = x1÷ (x2[x1/x2]). Беручи довизначену [x1/x2], дістанемо довизначену функцію mod(x1, x2): mod(x1, 0) = 0. Довизначена mod(x1, x2) є ПРФ.

30 (n+1)-арна функція f отримується з (n+1)-арної функції g за допомогою операції обмеженої мінімізації, якщо f задається умовою: f(x1,...,xn, у) – це перше, починаючи з 0 значення z таке, що zу та g(x1,...,xn, у) = 0, якщо таке значення z існує, інакше f(x1,...,xn, у) = у. Це позначаємо так: f(x1,..., xn, y) = xy((g(x1,..., xn, z) = 0). Теорема 4 (про обмeжeну мінімізацію). Нехай (n+1)-арна функція g є ПРФ. Тоді (n+1)-арна f(x1,...,xn, y) = zy((g(x1,..., xn, z) = 0) є ПРФ. Функцію позначимо q(x1,...,xn, z). Зафіксуємо значення x1,..., xn, y. Нехай zy((g(x1,..., xn, z) = 0) = b. Тоді q(x1,...,xn, z) рівне 1 при zb та 0 при zb. Звідси . Наслідок. Нехай g(x1,...,xn, y) та h(x1,...,xn) є ПРФ. Тоді функція є ПРФ.

31 Приклад 12. Функція f(x) = є ПРФ. = xy((nsg((y+1)(y+1) ÷ x) = 0). Приклад 13. Довизначимо f(x1, x2) = [x1/x2] так: [x1/0] = x1. Тоді функція [x1/x2] є ПРФ. Значення [a/b] рівне кількості нулів у послідовності 1b ÷ a, 2b ÷ a,..., ab ÷ a. Тому Приклад 14. Функція mod(x1, x2) є ЧРФ. mod(x1, x2) = x1÷ (x2[x1/x2]). Беручи довизначену [x1/x2], дістанемо довизначену функцію mod(x1, x2): mod(x1, 0) = 0. Довизначена mod(x1, x2) є ПРФ.