1 Модели авторегрессии 2 Авторегрессионные модели и их

1. Модели авторегрессии 2. Авторегрессионные модели и их моделирование

. Достаточно распространены авторегрессионные модели вида: (1) Параметр характеризует краткосрочное изменение под воздействием на 1 единицу. Параметр по существу представляет собой величину из преобразования Койка, т. е. и показывает коэффициент снижения лаговых коэффициентов при увеличении значения лага в соответствии с концепцией их геометрического убывания. Следовательно, к моменту времени результат изменится дополнительно на единиц, а к моменту времени дополнительное изменение составит единиц, к моменту времени - и т. д.

. Соответственно долгосрочный мультипликатор окажется равным: Учитывая геометрическую прогрессию лаговых коэффициентов - долгосрочный мультипликатор изменения у.

Инструментальная переменная должна обладать двумя свойствами: она должна быть тесно коррелированна с лаговой переменной уt-1; она не должна коррелировать с остатками ut (случайными ошибками). Иными словами, от модели авторегрессии необходимо перейти к модели вида: (2)

. Поскольку в модели предполагается наличие зависимости yt от xt, то можно предположить, что также имеет место зависимость yt-1 от xt-1, т. е. найдем регрессию: (3) Применяем МНК уже к модели (2), т. е. по существу оценка параметров модели авторегрессии (1) будет найдена исходя из модели вида: (4)

. Если вместо оценки ^yt-1 подставить выражение (3), то получим следующую модель: (5) В зависимости от того, сколько предыдущих уровней временного ряда включено в уравнение (8. 6), авторегрессионный процесс может быть разного порядка.

. Авторегрессионная модель, в которой отсутствуют независимые переменные и yt рассматривается как линейная функция только предыдущих своих значений, представляет собой авторегрессионный процесс: (6)

. Если текущее значение уровня динамического ряда (yt) рассматривается как линейная функция от одного предыдущего значения, то имеем дело с авторегрессионным процессом первого порядка, AR(1): (7) Увеличивая число лаговых переменных в модели (7), получим авторегрессионный процесс более высокого порядка. Например, процесс AR(3) сводится к уравнению: (8)

Для стационарного ряда моделируемый уровень временного ряда можно представить как линейную функцию прошлых ошибок: (9) - константа; - белый шум в текущий и предыдущий период времени;

. Обозначим скользящую среднюю модели (9) через xt: (10) Уравнение (10) принято называть процессом скользящего среднего порядка q и обозначать как MA(q) (от английского moving average). Порядок скользящей средней определяется числом учитываемых в модели предыдущих значений случайных отклонений.

. Соединение в одной модели авторегрессионного процесса AR и модели скользящего среднего МА приводит к модели авторегрессионного процесса со скользящими средними в остатках: (11) Ее принято обозначать ARMA(p, q). Например, ARMA(3, 2) имеет вид (12)

. Для получения стационарного ряда могут рассчитываться разности уровней временного ряда ( ) разного порядка (d). Модель, в которой соединены нахождение последовательных разностей временного ряда порядка d и ARMA – модель порядка (p, q), получила название авторегрессионной интегрированной модели скользящего среднего – ARIМА (13) - k-я последовательная разность уровней yt, т. е. - нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией