1. МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ 1. Матриці та їх

1. МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ 1. Матриці та їх властивості 2. Лінійні операції над матрицями 3. Визначники та їх властивості

§ 1 МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ 1. 1 Матриці та їх властивості Матрицею розміру m n називається сукупність чисел, розташованих у вигляді таблиці з m рядків і n стовпчиків: . . . 21 22221 11211 mnmm nn aaa aaa A Числа, що складають матрицю, називаються елементами матриці. Якщо m ≠ n , то матриця називається прямокутною. Якщо m = n , то матриця называється квадратною порядку n. 630 826 412 AПриклад: размера

називається вектор-стовпець , а матриця A =[ a 1 a 2 … a n ] розміру 1 n , що складається з одного рядка – вектор-рядок. ma a a 2 1 Матриця розміру m 1 виду , що складається з одного стовпця У випадку квадратної матриці nnnn n n aaa aaa A. . . 21 22221 11211 елементи a 11 , a 22 , … a nn утворюють головну діагональ , а елементи a n 1 , a n -1 2 , … a 1 n – побічну діагональ матриці.

Квадратна матриця , в якої всі елементи a ij дорівнюють 0 називається нульовою матрицею. 1000. . . 10 0. . . 01 E називається одиничною. Матриця 1. 2 Лінійні операції над матрицями 1. Порівняння А=В , якщо у них елементи, що розташовані на відповідних місцях, рівні.

Матриця — А (мінус А )називається матрицею протилежною А. 2. Додавання Для того, чтоб додать дві матриці A і B (одинакової розмірності) необхідно додать їх відповідні елементи. Приклад : Нехай, 140 652 A Т оді. 750 423 B , 690 1071 BA Для того, чтобы знайти різницю матриць А і В (одинакової розмірності) необхідно з кожного елемента матриці А відняти відповідний елемент матриці В. , 810 235 BA.

3. Множення на число Для того, чтоб помножити матрицю А на число R необхідно кажен элемент матриці помножить на число . Приклад : Нехай, 140 652 A. 280 12104 2 A тоді

4. М ноження на вектор-стовпчик Для множення m n матриці А на вектор-стовпчик х необхідно, щоб число стовпців n матриці А дорівнювало числу елементів вектор-стовпчика х. Тоді добуток матриці А на вектор-стовпець х позначається Ах і дорівнює. . . 2211 2222121 1212111 2 1 21 22221 11211 nmnmm nn nn nmnmm n n xaxaxa x x x aaa aaa Ax

Приклад : , 140 652 A. 2 0 1 x. 2 14 2)1(04)1(0 2)6(05)1(2 2 0 1 140 652 Ax

Нехай mnmm n n aaa aaa A. . . 21 22221 11211 і nknn k k bbb bbb B. . . 21 22221 11211 m n і n k матриці ( узгоджені матриці ) відповідно – число стовців матриці а дорівнює числу рядків матриці В. Д обутком матриці А на матрицю В називається m k матриця С з елементами с ij , що дорівнюють сумі добутків елементів i -го рядка матриці А на відповідні елементи j -го стовпця матриці В , с ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +…+ a in b nj , i =1. . m , j =1. . k. 5. М ноження двох матриць

Приклад : Зайти добуток матриць 01 11 A і. 130 142 B. 142 212 )1(01130410021 )1()1(113)1(410)1(21 BA Матриця А Т , отримана з даной матриці А шляхом заміни рядків на стовпчики, і навпаки, називається транспонованою. , 01 11 A. 01 11 TAПриклад :

1. 3 Визначники та їх властивості Поняття визначника вводиться тільки для квадратних матриць. Визначником n -го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіляких добутків елементів, взятих точно по одному з кожного рядка і кожного стовпчика матриці А. Знак кожного доданка визначається спеціальним правилом. Визначник n -го порядку містить n ! членів. 2221 1211 aa aa A = a 11 a 22 — a 12 a 21 – визначник другого порядку. Приклад : . 29)15(143)5(

333231 232221 131211 aaa aaa AПравило трикутника : три додатних члена визначника третього порядку є добутком елементів головної діагоналі і елементів, що знаходяться в вершинах двох рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Три його від’ємних члена є добутком елементів побічної діагоналі і елементів, що знаходяться в вершинах двох рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні побічної діагоналі. a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 — a 13 a 22 a 31 — a 11 a 23 a 32 — — a 12 a 21 a 33 – визначник третього порядку. «+» «-»

Властивості визначників n-го порядку: 1. Визначник матриці А дорівнює визначнику транспонованою матриці , . Т АА 2. Якщо всі елементи деякого рядка матриці А дорівнюють 0, то визначник дорівнює 0. 3. Загальний (спільний) множник всіх елементів рядка визначника можна винести за знак цього визначника. 4. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки, то він змінить знак на протилежний. 5. Якщо визначник має два рівні рядки, то він дорівнює 0. 6. Якщо елементи двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює 0.

7. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів його рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число k. Мінором М ij елемента a ij називається визначник ( n -1) порядку, отриманний викресленням з визначника n -го порядку елементів i –го рядка та j -го стовпця, i , j =1. . n. Приклад : 6013)2( 30 12 23 M Алгебраїчним доповненням елемента a ij називаєтьчя число A ij =(-1) i + j М ij. , 630 826 412 A – мінор елемента а 2 3. A 23 =(-1) 2+3 М 23 =(-1)(-6)=6.

A = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +…+ a in A in , i =1. . n. 8. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його рядка на відповідні алгебраїчні доповнення елементів цього рядка. Формула Лапласа: Приклад : обчислити визначник. 363648007224661)2()8(3 0240)8(143662)2( 630 826 412 а) за правилом трикутника:

б) використовуючи формулу Лапласа, розкладемо визначник за елементами третього рядка : . 366024)10(6)8()3(0)612)2((16 )64)8()2(()1(30 26 12 )1(6 86 42 )1(3 82 41 )1(0 630 826 41233 2313 A = a 3 1 A 3 1 + a 3 2 A 3 2 + a 33 A 33 ,