Скачать презентацию 1 Matrices A matrix A is a rectangular Скачать презентацию 1 Matrices A matrix A is a rectangular

linear algebra (1).pptx

  • Количество слайдов: 28

1. Matrices A matrix A is a rectangular array (a table) of scalars (numbers) 1. Matrices A matrix A is a rectangular array (a table) of scalars (numbers) presented in the following form: Матрица A – это прямоугольный массив (таблица) скалярных величин (чисел) представленных в следующем виде: matrix rectangular array table scalar number presented following form матрица прямоугольный массив таблица скаляр число представленный следующий форма 1

1. Matrices The rows of such a matrix A are the m horizontal lists 1. Matrices The rows of such a matrix A are the m horizontal lists of scalars. The columns of A are the n vertical lists of scalars. Ряды такой матрицы A – это m горизонтальных списков скалярных величин. Столбцы A это n вертикальных списков скалярных величин. row such horizontal list column vertical ряд такой горизонтальный список столбец вертикальный 2

Matrix Addition Let A and B be two matrices with the same size. The Matrix Addition Let A and B be two matrices with the same size. The sum of A and B is the matrix obtained by adding corresponding elements from A and B. Пусть A и B – две матрицы одинакового размера. Сумма A и B– это матрица, полученная сложением соответствующих элементов из A и B. addition same size sum obtain add correspond from сложение одинаковый размер сумма получать прибавлять соответствовать из 3

Scalar Multiplication The product of the matrix A by a scalar k is the Scalar Multiplication The product of the matrix A by a scalar k is the matrix obtained by multiplying each element of A by k. Произведение матрицы A на скаляр k это матрица, полученная умножением каждого элемента A на k. multiplication product multiply умножение произведение умножать 4

Matrix Multiplication DEFINITION: Suppose A and B are matrices such that the number of Matrix Multiplication DEFINITION: Suppose A and B are matrices such that the number of columns of A is equal to the number of rows of B. Then the product AB is the matrix whose ij-entry is obtained by multiplying the ith row of A by the jth column of B. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Предположим A и B – это матрицы такие, что число столбцов A равно числу строк B. Тогда произведение AB это матрица, чей ij-элемент получен умножением i-ой строки A на jый столбец B. product multiply multiplication product произведение умножать умножение произведение 5

Transpose of a Matrix The transpose of a matrix A, written AT, is the Transpose of a Matrix The transpose of a matrix A, written AT, is the matrix obtained by writing the columns of A, in order, as rows. Транспонированная матрица A, записываемая AT, is – это матрица, полученная записыванием столбцов A, в порядке, как ряды. transpose write order транспонированная писать порядок 6

Determinants Each n-square matrix A=[aij] is assigned a special scalar called the determinant of Determinants Each n-square matrix A=[aij] is assigned a special scalar called the determinant of A, denoted by det(A) or |A|. Каждой квадратной матрице n порядка A=[aij] ставится в соответствие специальное число, называемое определителем A, обозначаемое det(A) или |A|. determinant square определитель квадратный assign ставить в соответствие, назначать special denote специальный обозначать 7

Minors Consider an n-square matrix A=[aij]. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка. Let Mij denote Minors Consider an n-square matrix A=[aij]. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка. Let Mij denote the (n-1)-square submatrix of A obtained by deleting its ith row and jth column. Пусть Mij обозначает квадратную подматрицу A (n-1)порядка полученную удалением ее i-ой строки и j-го столбца. The determinant |Mij| is called the minor of the element aij of A Определитель |Mij| называется минором элемента aij A consider submatrix delete is called minor element рассматривать подматрица стирать называют минор элемент 8

Cofactors. Laplace Expansion We define the cofactor of aij, denoted by Aij; as the Cofactors. Laplace Expansion We define the cofactor of aij, denoted by Aij; as the ‘‘signed’’ minor Мы определим алгебраическое дополнение aij, обозначаемое Aij; как минор "со знаком” THEOREM : (Laplace) The determinant of a square matrix A=[aij] is equal to the sum of the products obtained by multiplying the elements of any row (column) by their respective cofactors: Теорема (Лаплас). Определитель квадратной матрицы A=[aij] равен сумме произведений, полученных умножением элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. expansion define cofactor sign theorem any respective разложение определять алгебраическое дополнение знак теорема какой-нибудь соответствующий 9

Adjoint Matrix The adjoint matrix of A, denoted by adj A, is the transpose Adjoint Matrix The adjoint matrix of A, denoted by adj A, is the transpose of the matrix of cofactors of A. Namely, Присоединенная к матрице A, обозначаемая adj A, это транспозиция матрицы алгебраических дополнений of A. adjoint присоединенный 10

Identity Matrix The n-square identity or unit matrix, denoted by In, or simply I, Identity Matrix The n-square identity or unit matrix, denoted by In, or simply I, is the n-square matrix with 1’s on the diagonal and 0’s elsewhere. Единичная квадратная матрица порядка n, обозначаемая In, или просто I, это квадратная матрица порядка n с 1 на диагонали 0 s the n-square matrix with 1’s on the diagonal and 0 в других местах. identity unit simply diagonal elsewhere единичный единица просто диагональ где-то в другом месте 11

Inverse Matrix A square matrix A is said to be invertible or nonsingular if Inverse Matrix A square matrix A is said to be invertible or nonsingular if there exists a matrix B such that where I is the identity matrix. We call such a matrix B the inverse of A and denote it by A-1. Квадратная матрица A называется обратимой или несингулярной, если существует матрица B, такая, что invertible nonsingular exist inverse обратимая несингулярная существует обратная 12

Linear Equation A linear equation in unknowns is an equation that can be put Linear Equation A linear equation in unknowns is an equation that can be put in the standard form where , and b are constants. The constant ak is called the coefficient of xk , and b is called the constant term of the equation. Линейное уравнение неизвестных это уравнение, которое может быть представлено в форме , где и b – константы. Постоянная ak называется коэффициентом xk , и b называется постоянным членом уравнения. linear equation unknown put constant term линейный уравнение неизвестная вложить постоянный член 13

Linear Equation A solution of the linear equation is a list of values for Linear Equation A solution of the linear equation is a list of values for the unknowns such that the following statement (obtained by substituting ki for xi in the equation) is true: . In such a case we say that vector satisfies the equation. Решение линейного уравнения – это список значений неизвестных, такой, что следующее высказывание (полученное подстановкой ki вместо xi в уравнение) верно В этом случае, мы говорим, что вектор u удовлетворяет уравнению решение solution значение value statement высказывание истина true сказать say вектор vector удовлетворять satisfy 14

System of Linear Equations A system of linear equations is a list of linear System of Linear Equations A system of linear equations is a list of linear equations with the same unknowns. In particular, a system of m linear equations L 1 , L 2, . . . , Lm in n unknowns can be put in the standard form where the aij and bi are constants. The number aij is the coefficient of the unknown xj in the equation Li, and the number bi is the constant of the equation Li. Система линейных уравнений– это множество линейных уравнений с одинаковыми неизвестными. В частности, система m линейных уравнений L 1 , L 2, . . . , Lm с n неизвестными может быть представлена в стандартной форме, где aij и bi – постоянные. Величина aij – коэффициент при неизвестной xj в уравнении Li, и величина bi – это постоянная уравнения Li. system list In particular can be put standard coefficient система множество в частности может быть представлено стандартный коэффициент 15

System of Linear Equations The system is said to be homogeneous if all the System of Linear Equations The system is said to be homogeneous if all the constant terms are zero. Otherwise the system is said to be nonhomogeneous. The system of linear equations is said to be consistent if it has one or more solutions, and it is said to be inconsistent if it has no solution. Система называется однородной, если все постоянные члены равны нулю. В противном случае, система называется неоднородной Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет одно или более решений, и называется несовместной, если она не имеет решений homogeneous nonhomogeneous zero otherwise consistent inconsistent однородный неоднородный ноль иначе совместный несовместный 16

System of Linear Equations A linear equation is said to be degenerate if all System of Linear Equations A linear equation is said to be degenerate if all the coefficients are zero. A system in echelon form has the following form: where 1 < j 2 <. . . < jr and are not zero. The pivot variables are. Note that r n. If r=n, the echelon form usually is called a triangular form. Линейное уравнение называется вырожденным, если все коэффициенты равны нулю. Система в ступенчатой форме имеет следующий вид где 1 < j 2 <. . . < jr и не равны нулю. Разрешающими переменными являются …. Заметим, что r n. Если r=n, ступенчатая форма обычно называется треугольной формой. вырожденный degenerate echelon pivot variable note usually triangular ступенчатый разрешающий переменная заметить обычно треугольный 17

Gaussian Elimination (Гауссово исключение) The main method for solving the general system of linear Gaussian Elimination (Гауссово исключение) The main method for solving the general system of linear equations is called Gaussian elimination. Part A. (Forward Elimination) Step-by-step reduction of the system yielding an equivalent simpler system in triangular or echelon form. Part B. (Backward Elimination) Step-by-step back-substitution to find the solution of the simpler system. Основной метод для решения общих систем линейных уравнений называется Гауссовым исключением. Он, в основном, состоит из двух частей. Часть А. (Прямое исключение) Пошаговым преобразованием системы (получение) на выходе более простой системы в треугольной или ступенчатой форме. Часть B (Обратное исключение) Пошаговая обратная подстановка, чтобы найти решение упрощенной системы. elimination forward step-by-step reduction backward back-substitution исключение прямой пошаговый приведение обратный обратная подстановка 18

Gaussian Elimination ELIMINATION STEP: Find the first unknown in the system with a nonzero Gaussian Elimination ELIMINATION STEP: Find the first unknown in the system with a nonzero coefficient (which now must be x 1). (a) Arrange so that a 11 0. That is, if necessary, interchange equations so that the first unknown x 1 appears with a nonzero coefficient in the first equation. (b) Use a 11 as a pivot to eliminate x 1 from all equations except the first equation. That is, for i > 1: (1) Set m =-ai 1/a 11; (2) Replace Li by m. L 1+Li The system now has the following form: where x 1 does not appear in any equation except the first, a 11 0, and denotes the first unknown with a nonzero coefficient in any equation other than the first. (c) Examine each new equation L. (1) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = b with b 0, then STOP The system is inconsistent and has no solution. (2) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = 0 then delete L from the system. 19

Gaussian Elimination RECURSION STEP: Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed Gaussian Elimination RECURSION STEP: Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed by all the equations excluding the first equation. OUTPUT: Finally, the system is reduced to triangular or echelon form, or a degenerate equation with no solution is obtained indicating an inconsistent system. Part B. (Backward Elimination). The input is a matrix A=[aij] in echelon form with. Step 1. (a) (Use row scaling so the last pivot equals 1. ) Multiply the last nonzero equation Lr by (b) (Use to obtain 0’s above the pivot. ) For i= r-1, r-2, . . . , 2, 1: : (1) Set ; (2) Replace Li by m. Lr + Li (That is, apply the operations. ) Steps 2 to r-1. Repeat Step 1 for equation Lr-1, Lr-2, . . . ; L 2. Step r. (Use row scaling so the first pivot equals 1. ) Multiply L 1 by 20

Gaussian Elimination ELIMINATION STEP: Find the first unknown in the system with a nonzero Gaussian Elimination ELIMINATION STEP: Find the first unknown in the system with a nonzero coefficient (which now must be x 1). (a) Arrange so that a 11 0. That is, if necessary, interchange equations so that the first unknown x 1 appears with a nonzero coefficient in the first equation. (b) Use a 11 as a pivot to eliminate x 1 from all equations except the first equation. That is, for i > 1: (1) Set m =-ai 1/a 11; (2) Replace Li by m. L 1+Li ШАГ ИСКЛЮЧЕНИЯ. Найти первое неизвестное в системе с ненулевым коэффициентом (который сейчас должен быть x 1). (а) Устраиваем так, чтобы a 11 0. Для этого, если необходимо, переставляем уравнения так, чтобы первое неизвестное x 1 оказалось с ненулевым коэффициентом в первом уравнении. (б) Используем a 11 как разрешающий элемент для исключения x 1 из всех уравнений за исключением первого уравнения. Так, для for i > 1: (1) Устанавливаем m =-ai 1/a 11; (2) заменяем Li на m. L 1+Li arrange necessary appear set replace устраивать, располагать необходимо появляться устанавливать заменить 21

Gaussian Elimination The system now has the following form: where x 1 does not Gaussian Elimination The system now has the following form: where x 1 does not appear in any equation except the first, a 11 0, and denotes the first unknown with a nonzero coefficient in any equation other than the first. Система теперь имеет следующую форму, где x 1 не появляется в каком-либо уравнении, за исключением первого, и обозначает первое неизвестное с ненулевым коэффициентом в любом уравнении, отличным от первого. except other исключать другой 22

Gaussian Elimination (c) Examine each new equation L. (1) If L has the form Gaussian Elimination (c) Examine each new equation L. (1) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = b with b 0, then STOP The system is inconsistent and has no solution. (2) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = 0 then delete L from the system. RECURSION STEP: Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed by all the equations excluding the first equation. (с) Проверяем каждое новое уравнение (1) Если L имеет вид 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = b и b 0, тогда ОСТАНОВКА Система несовместна и не имеет решения. (2) Если L имеет вид 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = 0 тогда удаляем L из системы. РЕКУРСИВНЫЙ ШАГ: Повторяем шаг исключения с каждой новой "меньшей" подсистемой, образованной всеми уравнениями, исключая первое уравнение examine repeat exclude исследовать повторить исключать 23

Gaussian Elimination OUTPUT: Finally, the system is reduced to triangular or echelon form, or Gaussian Elimination OUTPUT: Finally, the system is reduced to triangular or echelon form, or a degenerate equation with no solution is obtained indicating an inconsistent system. ИТОГ: окончательно система сводится к треугольной или ступенчатой форме, или вырожденному уравнение без решения получится, указывая на несовместную систему. output finally reduce indicate выход, итог окончательно приводить указывать 24

Gaussian Elimination Part B. (Backward Elimination). The input is a matrix A=[aij] in echelon Gaussian Elimination Part B. (Backward Elimination). The input is a matrix A=[aij] in echelon form with. Step 1. (a) (Use row scaling so the last pivot equals 1. ) Multiply the last nonzero equation Lr by (b) (Use to obtain 0’s above the pivot. ) For i= r-1, r-2, . . . , 2, 1: (1) Set ; (2) Replace Li by m. Lr + Li (That is, apply the operations . ) Часть B (Обратное исключение). Входом является матрица A=[aij] ступенчатой формы. Шаг 1. (a) (Используйте масштабирование строки так, чтобы разрешающий элемент равнялся 1. ) Умножьте последнюю ненулевую строку Lr на (b) (Используйте , чтобы получить нули выше разрешающего элемента). Для i= r-1, r-2, . . . , 2, 1: (1) Установите ; (2) Замените Li на m. Lr + Li (То есть примените операцию . ) scaling apply масштабирование применять 25

Gaussian Elimination Steps 2 to r-1. Repeat Step 1 for equation Lr-1, Lr-2, . Gaussian Elimination Steps 2 to r-1. Repeat Step 1 for equation Lr-1, Lr-2, . . . ; L 2. Step r. (Use row scaling so the first pivot equals 1. ) Multiply L 1 by Шаги 2 до r-1. Повторяйте Шаг 1 для строк Lr-1, Lr-2, . . . ; L 2. Шаг r. (Используйте масштабирование так, чтобы разрешающий элемент равнялся 1. ) 26

Gaussian Elimination ELIMINATION STEP: Find the first unknown in the system with a nonzero Gaussian Elimination ELIMINATION STEP: Find the first unknown in the system with a nonzero coefficient (which now must be x 1). (a) Arrange so that a 11 0. That is, if necessary, interchange equations so that the first unknown x 1 appears with a nonzero coefficient in the first equation. (b) Use a 11 as a pivot to eliminate x 1 from all equations except the first equation. That is, for i > 1: (1) Set m =-ai 1/a 11; (2) Replace Li by m. L 1+Li The system now has the following form: where x 1 does not appear in any equation except the first, a 11 0, and denotes the first unknown with a nonzero coefficient in any equation other than the first. (c) Examine each new equation L. (1) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = b with b 0, then STOP The system is inconsistent and has no solution. (2) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = 0 then delete L from the system. 27

Gaussian Elimination RECURSION STEP: Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed Gaussian Elimination RECURSION STEP: Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed by all the equations excluding the first equation. OUTPUT: Finally, the system is reduced to triangular or echelon form, or a degenerate equation with no solution is obtained indicating an inconsistent system. Part B. (Backward Elimination). The input is a matrix A=[aij] in echelon form with. Step 1. (a) (Use row scaling so the last pivot equals 1. ) Multiply the last nonzero equation Lr by (b) (Use to obtain 0’s above the pivot. ) For i= r-1, r-2, . . . , 2, 1: : (1) Set ; (2) Replace Li by m. Lr + Li (That is, apply the operations. ) Steps 2 to r-1. Repeat Step 1 for equation Lr-1, Lr-2, . . . ; L 2. Step r. (Use row scaling so the first pivot equals 1. ) Multiply L 1 by 28