Скачать презентацию 1 Логические основы компьютеров 18 Логика и Скачать презентацию 1 Логические основы компьютеров 18 Логика и

16f3f7fa446314dc4fb4eaf1bc94c61a.ppt

  • Количество слайдов: 83

1 Логические основы компьютеров § 18. Логика и компьютер § 19. Логические операции § 1 Логические основы компьютеров § 18. Логика и компьютер § 19. Логические операции § 20. Диаграммы § 21. Упрощение логических выражений § 22. Синтез логических выражений § 23. Предикаты и кванторы § 24. Логические элементы компьютера § 25. Логические задачи Задачи ЕГЭ К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

2 Логические основы компьютеров § 18. Логика и компьютер К. Ю. Поляков, Е. А. 2 Логические основы компьютеров § 18. Логика и компьютер К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

3 Логические основы компьютеров, 10 класс Логика, высказывания Логика (др. греч. λογικος) – это 3 Логические основы компьютеров, 10 класс Логика, высказывания Логика (др. греч. λογικος) – это наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения. Формальная логика отвлекается от конкретного содержания, изучает только истинность и ложность высказываний. Аристотель (384 -322 до н. э. ) Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

4 Логические основы компьютеров, 10 класс Высказывание или нет? Сейчас идет дождь. Жирафы летят 4 Логические основы компьютеров, 10 класс Высказывание или нет? Сейчас идет дождь. Жирафы летят на север. История – интересный предмет. У квадрата – 10 сторон и все разные. Красиво! В городе N живут 2 миллиона человек. Который час? К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

5 Логические основы компьютеров, 10 класс Логика и компьютер Двоичное кодирование – все виды 5 Логические основы компьютеров, 10 класс Логика и компьютер Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1. Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных. Почему «логика» ? Результат выполнения операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания. Джордж Буль разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1 (алгебра логики, булева алгебра). К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

6 Логические основы компьютеров § 19. Логические операции К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 6 Логические основы компьютеров § 19. Логические операции К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

7 Логические основы компьютеров, 10 класс Обозначение высказываний A – Сейчас идет дождь. B 7 Логические основы компьютеров, 10 класс Обозначение высказываний A – Сейчас идет дождь. B – Форточка открыта. ! простые высказывания (элементарные) Любое высказывание может быть ложно (0) или истинно (1). Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и» , «или» , «не» , «если … то» , «тогда и только тогда» и др. Aи. B A или не B если A, то B A тогда и только тогда, когда B К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 Сейчас идет дождь и открыта форточка. Сейчас идет дождь или форточка закрыта. Если сейчас идет дождь, то форточка открыта. Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка. http: //kpolyakov. spb. ru

8 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция НЕ (инверсия) Если высказывание A истинно, то 8 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция НЕ (инверсия) Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот. А не А 0 1 1 0 также , , not A (Паскаль), ! A (Си) таблица истинности операции НЕ Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации. К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

9 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция И Высказывание «A и B» истинно тогда 9 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция И Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно. Aи. B A B 220 В К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

10 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция И (логическое умножение, конъюнкция) A 0 1 10 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция И (логическое умножение, конъюнкция) A 0 1 2 3 B Аи. B 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 также: A·B, A and B (Паскаль), A && B (Си) A B конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

11 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) Высказывание «A или 11 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) Высказывание «A или B» истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе. A или B A B 220 В К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

12 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) A B А 12 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) A B А или B 0 0 1 1 0 1 также: A+B, A or B (Паскаль), A || B (Си) 0 1 1 1 дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

13 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи В таблице приведены запросы к поисковому серверу. 13 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &. 1) принтеры & сканеры & продажа 2) принтеры & продажа 3) принтеры | продажа 4) принтеры | сканеры | продажа 1234 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

14 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция «исключающее ИЛИ» Высказывание «A B» истинно тогда, 14 Логические основы компьютеров, 10 класс Операция «исключающее ИЛИ» Высказывание «A B» истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно (то есть A B). «Либо пан, либо пропал» . A B А B 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 также: A xor B (Паскаль), A ^ B (Си) арифметическое сложение, 1+1=2 остаток сложение по модулю 2: А B = (A + B) mod 2 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

15 Логические основы компьютеров, 10 класс Свойства операции «исключающее ИЛИ» A A=0 (A B) 15 Логические основы компьютеров, 10 класс Свойства операции «исключающее ИЛИ» A A=0 (A B) B = ? A 0= A A 1= A A 0 0 1 1 B 0 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 А B 0 0 1 0 0 0 1 1 0 http: //kpolyakov. spb. ru

16 Логические основы компьютеров, 10 класс Импликация ( «если …, то …» ) Высказывание 16 Логические основы компьютеров, 10 класс Импликация ( «если …, то …» ) Высказывание «A B» истинно, если не исключено, что из А следует B. A – «Работник хорошо работает» . B – «У работника хорошая зарплата» . A 0 0 1 1 B 0 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 А B 1 1 0 1 http: //kpolyakov. spb. ru

17 Логические основы компьютеров, 10 класс Импликация ( «если …, то …» ) «Если 17 Логические основы компьютеров, 10 класс Импликация ( «если …, то …» ) «Если Вася идет гулять, то Маша сидит дома» . A – «Вася идет гулять» . A B А B B – «Маша сидит дома» . ? А если Вася не идет гулять? 0 0 1 1 1 0 1 Маша может пойти гулять (B=0), а может и не пойти (B=1)! К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

18 Логические основы компьютеров, 10 класс Эквивалентность ( «тогда и только тогда, …» ) 18 Логические основы компьютеров, 10 класс Эквивалентность ( «тогда и только тогда, …» ) Высказывание «A B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны. A 0 0 1 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 B 0 1 А B 1 0 0 1 http: //kpolyakov. spb. ru

19 Логические основы компьютеров, 10 класс Базовый набор операций С помощью операций И, ИЛИ 19 Логические основы компьютеров, 10 класс Базовый набор операций С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию. И ИЛИ НЕ базовый набор операций ? Сколько всего существует логических операции с двумя переменными? К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

20 Логические основы компьютеров, 10 класс Штрих Шеффера, «И-НЕ» A 0 0 1 1 20 Логические основы компьютеров, 10 класс Штрих Шеффера, «И-НЕ» A 0 0 1 1 B 0 1 А|B 1 1 1 0 Базовые операции через «И-НЕ» : К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

21 Логические основы компьютеров, 10 класс Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ» A 0 0 1 1 21 Логические основы компьютеров, 10 класс Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ» A 0 0 1 1 B 0 1 А↓B 1 0 0 0 Базовые операции через «ИЛИ-НЕ» : ! К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 Самостоятельно… http: //kpolyakov. spb. ru

22 Логические основы компьютеров, 10 класс Формализация Прибор имеет три датчика и может работать, 22 Логические основы компьютеров, 10 класс Формализация Прибор имеет три датчика и может работать, если два из них исправны. Записать в виде формулы ситуацию «авария» . A – «Датчик № 1 неисправен» . B – «Датчик № 2 неисправен» . Формализация – это переход к записи на C – «Датчик № 3 неисправен» . формальном языке! Аварийный сигнал: X – «Неисправны два датчика» . X – «Неисправны датчики № 1 и № 2» или «Неисправны датчики № 1 и № 3» или «Неисправны датчики № 2 и № 3» . логическая формула ! К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

23 Логические основы компьютеров, 10 класс Вычисление логических выражений 1 4 2 5 3 23 Логические основы компьютеров, 10 класс Вычисление логических выражений 1 4 2 5 3 + Порядок вычислений: • скобки • НЕ • ИЛИ, исключающее ИЛИ • импликация • эквивалентность A К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 + B A B C С http: //kpolyakov. spb. ru

24 Логические основы компьютеров, 10 класс Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 24 Логические основы компьютеров, 10 класс Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 B A·B 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 X 0 1 0 1 0 1 1 Логические выражения могут быть: • тождественно истинными (всегда 1, тавтология) • тождественно ложными (всегда 0, противоречие) • вычислимыми (зависят от исходных данных) К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

25 Логические основы компьютеров, 10 класс Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 25 Логические основы компьютеров, 10 класс Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 4 5 6 7 B C A∙B A∙C B∙C X 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

26 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи (таблица истинности) Символом F обозначено одно из 26 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи (таблица истинности) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F? 1) 1) ¬X ¬Y ¬Z 2) 2) X Y Z 3) 3) X Y Z 4) 4) ¬X ¬Y ¬Z X 1 0 1 Y 0 0 1 Z 0 0 1 F 1 1 0 Упрощённый способ подбора: К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

27 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи (таблица истинности) Упрощённый способ подбора: 1) один 27 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи (таблица истинности) Упрощённый способ подбора: 1) один нуль операция «ИЛИ» 2) получить 0, применив «НЕ» к слагаемым: 1 1) одна единица операция «И» 2) получить 1, применив «НЕ» к сомножителям: 0 1 0 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 X 1 0 1 Y 0 0 1 Z 0 0 1 F 1 1 0 X 1 0 1 Y 0 1 1 Z 1 0 1 F 0 1 0 http: //kpolyakov. spb. ru

28 Логические основы компьютеров § 20. Диаграммы К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 28 Логические основы компьютеров § 20. Диаграммы К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

29 Логические основы компьютеров, 10 класс Диаграммы Венна (круги Эйлера) A A A B 29 Логические основы компьютеров, 10 класс Диаграммы Венна (круги Эйлера) A A A B B A·B A+B A A A B К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 B A B http: //kpolyakov. spb. ru

30 Логические основы компьютеров, 10 класс Диаграмма с тремя переменными Хочу Могу 3 2 30 Логические основы компьютеров, 10 класс Диаграмма с тремя переменными Хочу Могу 3 2 5 1 6 4 7 8 Надо ! Логические выражения можно упрощать! К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

31 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер 31 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим запросам : Запрос огурцы помидоры огурцы & помидоры Количество сайтов 100 200 50 Сколько сайтов будет найдено по запросу огурцы | помидоры К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

32 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи A B NA|B = NA+ NB 50 32 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи A B NA|B = NA+ NB 50 огурцы & помидоры A B NA|B = NA+ NB – NA&B огурцы | помидоры 250 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 огурцы помидоры 100 200 http: //kpolyakov. spb. ru

33 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер 33 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим запросам : Количество сайтов Запрос Динамо & Рубин Спартак & Рубин (Динамо | Спартак) & Рубин 320 280 430 Сколько сайтов будет найдено по запросу Динамо & Спартак & Рубин ! Общее условие с & можно отбросить ! К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

34 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер 34 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим запросам : Запрос Динамо Спартак Динамо | Спартак Количество сайтов 320 280 430 Сколько сайтов будет найдено по запросу Динамо & Спартак Ответ: 320 + 280 – 430 = 170 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

36 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 36 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент: Ключевое слово сканер принтер монитор Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым 200 250 450 Сколько сайтов будет найдено по запросу (принтер | сканер) & монитор если по трем следующим запросам найдено: принтер | сканер – 450 сайтов, принтер & монитор – 40 сайтов сканер & монитор – 50 сайтов. К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

37 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи (принтер | сканер) & монитор = ? 37 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи (принтер | сканер) & монитор = ? А (сканер) B (принтер) 450 принтер | сканер 0 NA|B = NA+ NB – NA&B сканер 200 принтер 250 принтер сканер принтер & монитор = 40 50 40 сканер & монитор = 50 монитор К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 40 + 50 = 90 http: //kpolyakov. spb. ru

38 Логические основы компьютеров, 10 класс Сложная задача Ниже приведены запросы и количество страниц, 38 Логические основы компьютеров, 10 класс Сложная задача Ниже приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета: мезозой 500 кроманьонец 600 неандерталец 700 мезозой | кроманьонец 800 мезозой | неандерталец 1000 неандерталец & (мезозой | кроманьонец) 200 Сколько страниц будет найдено по запросу кроманьонец & (мезозой | неандерталец) К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

39 Логические основы компьютеров § 21. Упрощение логических выражений К. Ю. Поляков, Е. А. 39 Логические основы компьютеров § 21. Упрощение логических выражений К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

40 Логические основы компьютеров, 10 класс Законы алгебры логики название для ИЛИ двойного отрицания 40 Логические основы компьютеров, 10 класс Законы алгебры логики название для ИЛИ двойного отрицания исключения третьего операции с константами повторения поглощения переместительный сочетательный распределительный законы де Моргана К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

41 Логические основы компьютеров, 10 класс Упрощение логических выражений Шаг 1. Заменить операции на 41 Логические основы компьютеров, 10 класс Упрощение логических выражений Шаг 1. Заменить операции на их выражения через И, ИЛИ и НЕ: Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана: Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего. К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

42 Логические основы компьютеров, 10 класс Упрощение логических выражений раскрыли формула де Моргана распределительный 42 Логические основы компьютеров, 10 класс Упрощение логических выражений раскрыли формула де Моргана распределительный исключения третьего повторения поглощения К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

43 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи (упрощение) Какое логическое выражение равносильно выражению A 43 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи (упрощение) Какое логическое выражение равносильно выражению A ¬(¬B C)? 1) ¬A ¬B ¬C 1) 2) A ¬B ¬C 2) 3) A B ¬C 3) 4) A ¬B C 4) К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

44 Логические основы компьютеров, 10 класс Логические уравнения A=1, B=0, C=1 или A=0, B=1, 44 Логические основы компьютеров, 10 класс Логические уравнения A=1, B=0, C=1 или A=0, B=1, C – любое 2 решения: (0, 1, 0), (0, 1, 1) K=1, L=1, M и N – любые 4 решения M=1, L=1, N=1, K – любое 2 решения ! K=1, L=1, M=0, N – любое 2 решения ! К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 Всего 3 решения! Всего 5 решений! http: //kpolyakov. spb. ru

45 Логические основы компьютеров § 22. Синтез логических выражений К. Ю. Поляков, Е. А. 45 Логические основы компьютеров § 22. Синтез логических выражений К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

46 Логические основы компьютеров, 10 класс Синтез логических выражений A B 0 0 1 46 Логические основы компьютеров, 10 класс Синтез логических выражений A B 0 0 1 1 Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 1. Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки. Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат. X 1 1 0 1 0 1 распределительный исключения третьего распределительный К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 исключения третьего http: //kpolyakov. spb. ru

47 Логические основы компьютеров, 10 класс Синтез логических выражений (2 способ) Шаг 1. Отметить 47 Логические основы компьютеров, 10 класс Синтез логических выражений (2 способ) Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 0. Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки. Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат, который равен. Шаг 4. Сделать инверсию. A B X 0 0 1 1 1 0 1 ? Когда удобнее применять 2 -ой способ? К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

48 Логические основы компьютеров, 10 класс Синтез логических выражений (3 способ) A B X 48 Логические основы компьютеров, 10 класс Синтез логических выражений (3 способ) A B X 0 0 1 1 0 1 0 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 0. Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое ложно только для этой строки. Шаг 3. Перемножить эти выражения и упростить результат. http: //kpolyakov. spb. ru

Логические основы компьютеров, 10 класс 49 Синтез логических выражений A B C X 0 Логические основы компьютеров, 10 класс 49 Синтез логических выражений A B C X 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

50 Логические основы компьютеров, 10 класс Синтез логических выражений (2 способ) A B C 50 Логические основы компьютеров, 10 класс Синтез логических выражений (2 способ) A B C X 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 ! 3 -й способ – самостоятельно. http: //kpolyakov. spb. ru

51 Логические основы компьютеров § 23. Предикаты и кванторы К. Ю. Поляков, Е. А. 51 Логические основы компьютеров § 23. Предикаты и кванторы К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

52 Логические основы компьютеров, 10 класс Предикаты Предикат (логическая функция) – это утверждение, содержащее 52 Логические основы компьютеров, 10 класс Предикаты Предикат (логическая функция) – это утверждение, содержащее переменные. Предикат-свойство – от одной переменной: P(N) = «В городе N живут более 2 млн человек» P(Москва) = 1 P(Якутск) = 0 Простое(x) = «x – простое число» Спит(x) = «x всегда спит на уроке» Предикат-отношение – от нескольких переменных: Больше(x, y) = «x > y» Живет(x, y) = «x живет в городе y» Любит(x, y) = «x любит y» К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

53 Логические основы компьютеров, 10 класс Предикаты и кванторы Предикаты задают множества: Предикаты, которые 53 Логические основы компьютеров, 10 класс Предикаты и кванторы Предикаты задают множества: Предикаты, которые всегда истинны: для всех вещественных чисел «Для любого допустимого x утверждение P(x) истинно» : высказывание квантор Квантор – знак, обозначающий количество. А (all – все) К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 E (exists – существует) http: //kpolyakov. spb. ru

Логические основы компьютеров, 10 класс 54 Кванторы Какой квантор использовать? « … моря соленые» Логические основы компьютеров, 10 класс 54 Кванторы Какой квантор использовать? « … моря соленые» . « … кошки серые» . « … числа чётные» . « … окуни – рыбы» . « … прямоугольники – квадраты» . « … квадраты – прямоугольники» . Истинно ли высказывание? при при К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

55 Логические основы компьютеров, 10 класс Кванторы Дано: A = «Все люди смертны» = 55 Логические основы компьютеров, 10 класс Кванторы Дано: A = «Все люди смертны» = 1. B = «Сократ – человек» = 1. Доказать: C = «Сократ смертен» = 1. Доказательство: A 0 0 1 B 0 1 0 А B 1 1 0 1 1 1 P(x) = «x – человек» Q(x) = «x – смертен» A = 1: Сократ при «x =Сократ» B = 1: Сократ по свойствам импликации Сократ К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

56 Логические основы компьютеров, 10 класс Несколько кванторов Квантор связывает одну переменную: – предикат 56 Логические основы компьютеров, 10 класс Несколько кванторов Квантор связывает одну переменную: – предикат от переменной y – предикат от переменной x Два квантора связывают две переменных: – высказывание «для любого x существует y, при котором P(x, y)=1» – высказывание «существует x, такой что при любом y верно P(x, y)=1» Сравните два последних высказывания при: К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

57 Логические основы компьютеров, 10 класс Отрицание НЕ «для любого x выполняется P(x)» «существует 57 Логические основы компьютеров, 10 класс Отрицание НЕ «для любого x выполняется P(x)» «существует x, при котором не выполняется P(x)» НЕ «существует x, при котором выполняется P(x)» «для любого x не выполняется P(x)» К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

58 Логические основы компьютеров § 24. Логические элементы компьютера К. Ю. Поляков, Е. А. 58 Логические основы компьютеров § 24. Логические элементы компьютера К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

59 Логические основы компьютеров, 10 класс Логические элементы компьютера значок инверсии 1 & НЕ 59 Логические основы компьютеров, 10 класс Логические элементы компьютера значок инверсии 1 & НЕ И & И-НЕ К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 ИЛИ 1 ИЛИ-НЕ http: //kpolyakov. spb. ru

60 Логические основы компьютеров, 10 класс Логические элементы компьютера Любое логическое выражение можно реализовать 60 Логические основы компьютеров, 10 класс Логические элементы компьютера Любое логическое выражение можно реализовать на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ. И: НЕ: & ИЛИ: & & & К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

61 Логические основы компьютеров, 10 класс Составление схем последняя операция - ИЛИ И & 61 Логические основы компьютеров, 10 класс Составление схем последняя операция - ИЛИ И & & К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 1 & http: //kpolyakov. spb. ru

62 Логические основы компьютеров, 10 класс Триггер (англ. trigger – защёлка) Триггер – это 62 Логические основы компьютеров, 10 класс Триггер (англ. trigger – защёлка) Триггер – это логическая схема, способная хранить 1 бит информации (1 или 0). Строится на 2 -х элементах ИЛИ-НЕ или на 2 -х элементах И-НЕ. set, установка вспомогательный выход 1 S R Q режим 0 0 обратные связи 1 основной выход хранение 0 1 сброс 1 0 1 1 1 0 0 0 установка 1 запрещен reset, сброс К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

63 Логические основы компьютеров, 10 класс Триггер – таблица истинности 0 1 1 1 63 Логические основы компьютеров, 10 класс Триггер – таблица истинности 0 1 1 1 0 S R Q режим 0 0 обратные связи 0 1 0 0 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 1 хранение 0 1 сброс 1 0 1 1 1 0 0 0 установка 1 запрещен http: //kpolyakov. spb. ru

64 Логические основы компьютеров, 10 класс Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два 64 Логические основы компьютеров, 10 класс Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа. P S 0 0 0 1 1 перенос B 1 Σ A сумма 1 1 0 & 1 & & К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 ? Схема на 4 -х элементах? http: //kpolyakov. spb. ru

65 Логические основы компьютеров, 10 класс Сумматор – это логическая схема, способная складывать два 65 Логические основы компьютеров, 10 класс Сумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда. A 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 S 1 перенос P 1 перенос сумма C 0 Σ B 1 1 http: //kpolyakov. spb. ru

66 Логические основы компьютеров, 10 класс Многоразрядный сумматор это логическая схема, способная складывать два 66 Логические основы компьютеров, 10 класс Многоразрядный сумматор это логическая схема, способная складывать два n-разрядных двоичных числа. перенос Σ Σ Σ перенос К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

67 Логические основы компьютеров § 25. Логические задачи К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 67 Логические основы компьютеров § 25. Логические задачи К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

68 Логические основы компьютеров, 10 класс Метод рассуждений Задача 1. Министры иностранных дел России, 68 Логические основы компьютеров, 10 класс Метод рассуждений Задача 1. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты договора, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: «Чей именно проект был принят? » , министры дали такие ответы: Россия — «Проект не наш (1), проект не США (2)» ; США — «Проект не России (1), проект Китая (2)» ; Китай — «Проект не наш (1), проект России (2)» . Один из них оба раза говорил правду; второй – оба раза говорил неправду, третий один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Кто что сказал? проект США (? ) проект Китая (? ) (1) (2) проект России (? ) (1) (2) Россия + – Россия + + Россия – + США + – США + + США – Китай + – + Китай К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 Китай http: //kpolyakov. spb. ru

69 Логические основы компьютеров, 10 класс Табличный метод Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут 69 Логические основы компьютеров, 10 класс Табличный метод Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса и Лариса. У них разные профессии и они живут в разных городах: одна в Ростове, вторая – в Париже и третья – в Москве. Известно, что • Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове, • парижанка – не актриса, • Много вариантов. • в Ростове живет певица, • Есть точные данные. • Лариса – не балерина. Париж Ростов Москва 0 1 0 0 1 ! Певица Даша Анфиса Лариса 1 0 0 Балерина Актриса 0 1 0 0 0 1 В каждой строке и в каждом столбце может быть только одна единица! К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

70 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 3. Следующие два высказывания 70 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 3. Следующие два высказывания истинны: 1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе. Определить, какие корабли вышли в море. Решение: … если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе. К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

71 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 4. Когда сломался компьютер, 71 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 4. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя» . Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Мастер по ремонту сказал, что с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось? Решение: A – неисправен процессор, B – память, C – винчестер хозяин: сын: мастер: Если ошибся хозяин: Если ошибся сын: Если ошибся мастер: К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

72 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 5. На вопрос «Кто 72 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников изучал логику? » учитель ответил: «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис. Однако неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис» . Кто же изучал логику? Решение: A – логику изучал Андрей, B – Борис, C – Семен «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис» . «Неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис» . 1 способ: К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

73 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 5. На вопрос «Кто 73 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников изучал логику? » учитель ответил: «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис. Однако неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис» . Кто же изучал логику? Решение: A – логику изучал Андрей, B – Борис, C – Семен «Неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис» . «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис» . 2 способ: С B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

74 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 6. Суд присяжных пришел 74 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 6. Суд присяжных пришел к таким выводам: • если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин • если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен Виновен ли Аськин? Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин «Если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин» . «Если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен» . Аськин виновен К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

75 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 6 б. Суд присяжных 75 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 6 б. Суд присяжных пришел к таким выводам: • если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин • если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен Виновен ли Баськин? Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин Не получили противоречия: возможно, что и виновен К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

76 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 6 в. Суд присяжных 76 Логические основы компьютеров, 10 класс Использование алгебры логики Задача 6 в. Суд присяжных пришел к таким выводам: • если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин • если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен Виновен ли Сенькин? Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин Не получили противоречия: возможно, что и виновен К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

77 Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: 77 Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

78 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи ЕГЭ Для какого из указанных значений X 78 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи ЕГЭ Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)→(X > 3))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A ¬(¬B C). 1) 1) ¬A ¬B ¬C 2) 2) A ¬B ¬C 3) 3) A B ¬C 4) 4) A ¬B C К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

79 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи ЕГЭ (2) Каково наибольшее целое число X, 79 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи ЕГЭ (2) Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (50 < X·X) → (50 > (X+1)·(X+1)) В целых числах: К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 A B http: //kpolyakov. spb. ru

80 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи ЕГЭ (6) Перед началом Турнира Четырех болельщики 80 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи ЕГЭ (6) Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: А) Макс победит, Билл – второй; В) Билл – третий, Ник – первый; С) Макс – последний, а первый – Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без A B C пробелов места участников в указанном порядке имен. ) Джон 1 Ник 1 Билл 2 3 Ответ: 3124 Макс К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 1 4 http: //kpolyakov. spb. ru

81 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи ЕГЭ (7) На одной улице стоят в 81 Логические основы компьютеров, 10 класс Задачи ЕГЭ (7) На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному человеку. Их зовут Василий, Семен, Геннадий и Иван. Известно, что все они имеют разные профессии: скрипач, столяр, охотник и врач. Известно, что (1) Столяр живет правее охотника. (2) Врач живет левее охотника. (3) Скрипач живет с краю. (4) Скрипач живет рядом с врачом. (5) Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом. (6) Иван живет рядом с охотником. (7) Василий живет правее врача. (8) Василий живет через дом от Ивана. Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов всех домов слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП. К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

82 Логические основы компьютеров, 10 класс Задача Эйнштейна Условие: Есть 5 домов разного цвета, 82 Логические основы компьютеров, 10 класс Задача Эйнштейна Условие: Есть 5 домов разного цвета, стоящие в ряд. В каждом доме живет по одному человеку отличной от другого национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит животное. Никто из пяти человек не пьет одинаковые напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковых животных. Известно, что: 1. Англичанин живет в красном доме. 2. Швед держит собаку. 3. Датчанин пьет чай. 4. Зеленой дом стоит слева от белого. 5. Жилец зеленого дома пьет кофе. 6. Человек, который курит Pallmall, держит птицу. 7. Жилец среднего дома пьет молоко. 8. Жилец из желтого дома курит Dunhill. 9. Норвежец живет в первом доме. 10. Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку. 11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill. 12. Курильщик Winfield пьет пиво. 13. Норвежец живет около голубого дома. 14. Немец курит Rothmans. 15. Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду. Вопрос: У кого живет рыба? К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

83 Логические основы компьютеров, 10 класс Конец фильма ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д. т. н. 83 Логические основы компьютеров, 10 класс Конец фильма ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д. т. н. , учитель информатики ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург [email protected] ru ЕРЕМИН Евгений Александрович к. ф. -м. н. , доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь [email protected] ac. ru К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Логические основы компьютеров, 10 класс 84 Источники иллюстраций 1. 2. 3. ru. wikipedia. org Логические основы компьютеров, 10 класс 84 Источники иллюстраций 1. 2. 3. ru. wikipedia. org иллюстрации художников издательства «Бином» авторские материалы К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru