1 Линейные электрические цепи синусоидального

1

Линейные электрические цепи синусоидального тока 2

Синусоидальные токи и напряжения генерируются электромашинными генераторами и наиболее распространены в электроэнергетике, причем в России: Гц - частота рад/с – угловая частота 3

i Im i t 0 -I m 4

u ωt 0 i 5

Где: Im и Um - максимальные значения тока и напряжения - начальная фаза напряжения (град или рад) - угол сдвига фаз между напряжением и током (град или рад) - время (с) 6

Действующие значения тока и напряжения характеризуют тепловое действие в линейном резистивном элементе с сопротивлением R 7

При токе и напряжении: R i u ПО ЗАКОНУ ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА: 8

Действующее значение тока Действующее значение напряжения 9

Действующее значение гармонического тока i численно равно такому постоянному току I , который за время Т в том же сопротивлении R выделяет такое же количества тепла W 10

Действующие значения тока и напряжения не зависят от угловой частоты и начальной фазы 11

Символический метод 12

Символический метод применяется для расчета линейных цепей с гармоническими токами и напряжениями Этот метод основан на изображении гармонических величин комплексными числами 13

Синусоидальная величина может быть изображена вращающимся вектором на комплексной плоскости, причем этот вектор записывается в показательной, тригонометрической и алгебраической формах 14

Таким образом: j – мнимая единица 15

b t=0 >0 1 a комплекс действующего значения тока 16

b t=0 +1 0 a 17

t=t 1 t 1+ +1 0 18

t=t 2 t 2+ +1 0 19

t=t 3 t 3+ +1 0 20

t=t 4 t 4+ +1 0 21

t=t 5 t 5+ +1 0 22

Таким образом любой синусоидальной величине (току или напряжению) соответствует комплекс ее действующего значения и наоборот Например: току соответствует 23

При этом, например, комплексу действующего значения напряжения соответствует синусоидальная функция времени 24

Действия с комплексными числами 25

- комплексное число - модуль - аргумент (фаза) - вещественная составляющая - мнимая составляющая 26

1. Переход от алгебраической формы записи к показательной - модуль - фаза 27

2. Переход от показательной формы к алгебраической - действительная часть - мнимая часть 28

3. Сложение и вычитание 29

4. Умножение 30

5. Деление 31

6. Некоторые соотношения 32

33

7. Дифференцирование 34

8. Интегрирование 35

Поведение простейших двухполюсников в цепях синусоидального тока Вычислим падения напряжения на двухполюсниках, по каждому из которых протекает синусоидальный ток 36

Резистивный элемент По закону Ома Тогда 37

На резистивном элементе ток и напряжение совпадают по фазе +j Схема замещения ψi +1 Закон Ома в комплексной форме 38

Индуктивный элемент где - индуктивное сопротивление (Ом) 39

Ток в индуктивности отстает от напряжения на 90 градусов +j +1 40

Закон Ома в комплексной форме Схема замещения 41

Емкостный элемент 42

- емкостное сопротивление (Ом) Ток в емкости опережает напряжение на 90 градусов +j +1 43

Закон Ома в комплексной форме Схема замещения 44

Закон Ома в комплексной форме для отдельных элементов аналогичен закону Ома для резистивного элемента на постоянном токе Для символического метода необходимо составить комплексную схему замещения с комплексными сопротивлениями и с комплексами действующих значений токов и напряжений 45

Например, комплексная схема замещения цепи: 46

47

Где: – эквивалентное комплексное сопротивление цепи (Ом) - модуль сопротивления (Ом) - аргумент (фаза) сопротивления (Град) 48

ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Для любого узла комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексных значений токов равна нулю 49

Пример: а 50

ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Для любого контура цепи алгебраическая сумма комплексов падений напряжений на пассивных элементах равна алгебраической сумме комплексов ЭДС и напряжений на источниках тока 51

52

или 53

Так как основные законы электротехники в комплексной форме такие же как и для цепей постоянного тока, то все изученные методы расчета применимы для расчета цепей с синусоидальными токами, только во всех формулах напряжения, ЭДС, токи и сопротивления будут комплексными числами. 54

55

Более подробная информация: 1. Касаткин А. С. , Немцов М. В Электротехника. - М. : Издательский центр «Академия» , 2003, 2. стр. 28 -33, 36 -52. 2. Электротехника и электроника. Кн. 1: Электрические цепи/Под ред. В. Г. Герасимова. - М. : Энергоатомиздат, 1996, стр. 46, 59 -71. 3. Зевеке Г. В. , Ионкин П. А. Основы теории цепей. - М: Энергоатомиздат, 1989, стр. 56 -59, 61 -68. 4. Шандарова Е. Б. Электротехника и электроника. Учебное пособие. -Томск: Изд-во ТПУ, 2006, стр. 20 -29. 56