1 Лекция 3. Интерполирование и приближения функций Пусть на отрезке задана функция или во всяком случае известны её значения в отдельных точках отрезка. Выбираем некоторый класс функций например степенных многочленов. Интерполирование функций состоит в приближённой замене функций на данном отрезке одной из функций указанного класса, т. е. причём функция такова, что в точках принимает те же значения, что и Точки называются узлами интерполяции, а интерполирующей функцией. В том случае, когда за класс берётся класс степенных многочленов, интерполяция называет параболической В этом случае интерполирующие функции просты по форме, легко дифференцируются и интегрируются. Если интерполяционный полином имеет степень , будем обозначать его т. е. общая формула параболической Интерполяции имеет вид (1) Задача в каждом конкретном случае состоит в построении интерполяционного полинома и оценке погрешности равенства (1).
2 Интерполяционная формула Лагранжа Один из способов построения интерполяционного многочлена – способ Лагранжа. Требуется построить полином , который в данных точках – узлах интерполяции принимает заданные значения. Для решения этой задачи определим, так называемые, фундаментальные полиномы , т. е. полиномы -ой степени , удовлетворяющие условиям Тогда искомый полином запишется в виде суммы (2) Таким образом, надо построить полиномы. Так как есть нули полинома , то он должен иметь вид множитель из условия фундаментальных полиномов Подбирая получим следующее выражение для Подставляя (3) в (2) получаем выражение интерполяционного полинома (3)
3 (4) Это и есть интерполяционный полином Лагранжа. Пример. Построить полином 4 -ой степени, принимающий значения, заданные в таблице. k xk yk 0 1 17 1 2 27, 5 2 3 76 3 4 4 7 210, 5 1970 Подставляя данные таблицы в формулу (4), будем иметь
Разности различных порядков Пусть соответственно в точках 4 значения некоторой функции Тогда разности называются разностями первого порядка. Разности разностей первого порядка называются разностями второго порядка и т. д. Таблица разностей Каждое число это таблицы, начиная с третьего столбца, есть разность двух смежных чисел столбца слева.
Если узлы интерполирования равноотстоящие друг от друга с шагом Интерполяционный многочлен удобно записать в виде многочлена , то 5 Ньютона где коэффициенты находятся по формуле Многочлены Ньютона это лишь другой вид многочленов Лагранжа. Численное дифференцирование Простейшие формулы численного дифференцирования получаются в результате Дифференцирования интерполяционных формул. Допустим известны значения в узлах. Требуется вычислить производную Строим интерполяционный полином и полагаем, что Тогда можно показать, что производные от функции разности различных порядков выражаются через
6 Численное интегрирование – это вычисления определённого интеграла по ряду численных значений подинтегральной функции. Формула трапеций Как известно, величина определённого интеграла выражает собой площадь криволинейной трапеции. Эту площадь можно вычислить приближённо, заменив кривую некоторой ломаной разобъём интервал (a, b) на n равных частей длиной В точках разбиения восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой.
Точки соединим отрезками, получим ряд прямоугольных трапеций. Просуммировав их площади, получим приближённое значение интеграла 7 Это и есть формула трапеций. Пример. Вычислить интеграл по формуле трапеций, приняв n = 4. Полагая в формуле трапеций имеем Формула Симпсона Если точки на кривой соединить дугами парабол, то получим формулу Симпсона для приближённого вычисления интеграла. В этом случае интервал интегрирования (a, b) разбивается на 2 n интервалов шириной h. При этом формула Симпсона имеет вид
Приближённое решение обыкновенных дифференциальных уравнений 8 Решения даже очень простых обыкновенных дифференциальных уравнений в редких случаях удаётся выразить в замкнутом виде. Поэтому приобретают большое значение приближённые методы их решения. Приближённые методы Решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разделить на два класса: аналитические приближённые методы и численные методы. Аналитические методы приближённого решения задачи Коши Метод последовательных приближений Одним из простейших по идее методов приближённого решения задачи Коши для дифференциального уравнения (5) с начальным условием является метод последовательных приближений. Сущность его состоит в следующем. Решение задачи (5), (6) эквивалентно решению интегрального уравнения (6) (7)
Подставляя в правую часть этого равенства вместо неизвестной функции y произвольную функцию - нулевое приближение , например, и произведя интегрирование, получим первое приближение Поступая с также, как с , получим второе приближение Продолжая этот процесс, получим (n + 1) приближение Этот процесс быстро сходится к некоторой предельной функции. 9
Численное решение дифференциального уравнения. Метод Эйлера решения задачи Коши 10 Пусть требуется решить задачу Коши (5), (6). При численном решении уравнения (5) задача ставится так: в точках нужно найти приближения для точного решения Разность называют шагом сетки. Во многих случаях удобно h считать постоянной. Тогда Приближённо можно считать, что правая часть уравнения (5), т. е. на каждом из участках, между точками деления, постоянна. Тогда на первом участке решение представляется в виде линейной функции (8) В частности, в точке будет Равенство (8) означает, что на отрезке искомую интегральную кривую мы приближённо заменяем прямолинейным отрезком, выходящим из начальной точки с угловым коэффициентом. Аналогично, отправляясь из точки , находим приближённое решение и т. д.
Для точки имеем Таким образом, в качестве приближения искомой функции мы получаем ломанную линию с вершинами в точках В настоящее время используются более точные методы численного решения дифференциальных уравнений. Наиболее распространённый из них метод Рунге – Кутта. В этом методе в окрестности каждой точки правая часть уравнения (5) (т. е. функция ) раскладывается в ряд Тейлора. Чем больше членов в ряду Тейлора учитывается, тем точнее метод. Ограничиваясь двумя членами ряда, мы приходим к методу Эйлера. 11
Скачать презентацию 1 Лекция 3 Интерполирование и приближения функций Пусть
Лек.3.Интер..ppt