1 Лекция 3 1. Фигура. Мера, диаметр фигуры.

1 Лекция 3 1. Фигура. Мера, диаметр фигуры. Ранг дробления 2. Задача о вычислении массы фигуры 3. Определение интеграла по фигуре 4. Механический смысл интеграла по фигуре Интегралы по фигуре 5. Геометрический смысл интеграла по фигуре 6. Свойства интегралов, выражаемых равенствами 7. Свойства интегралов, выражаемых неравенствами

2 Фигура. Мера, диаметр фигуры. Ранг дробления 1. Под фигурой будем понимать один из следующих геометрических объектов: I. [a, b] — отрезок. Определение 1. II. L — дуга кривой III. D – часть плоскости V. T – часть тела. IV. – часть поверхности

3 Определение 2. Под мерой фигуры будем понимать соответственно: II. — длина дуги кривой ll. I. — длина отрезка abba], [ III. — площадь фигуры D DDS IV. — объем тела T TTVIV. — площадь поверхности S

4 Определение 3. Диаметром фигуры называется максимальное расстояние между двумя любыми точками фигуры), , (max 21 PPd 21, PP Пример 1. 1: 2 2 22 b y a x D ba 2 Dd a y ab x

5 Пример 2. 22 22 22 : c z c b y b a x a T ? Td x y z 2 a 2 b 2 c — прямоугольный параллелепипед со сторонами a , b , c. 222 cbad. T

6 В дальнейшем будем часто использовать следующий прием: разбиение (дробление) фигуры Ф на n непересекающихся областей Ф 1 , Ф 2 , … Ф n. Каждой полученной фигуре соответствует свой диаметрiid Определение. Рангом дробления называется максимальный диаметр элементарных фигур n indmax

7 Задача о вычислении массы фигуры2. Рассмотрим фигуру Ф. I. Если Ф однородная фигура, то Решение. P P — плотность распределения массы по фигуре. P const ( ) , ( )m P P const Найти массу фигуры . m

8 II. Если Ф — неоднородная фигураii P const Выполним следующие действия: 1. Разобьем Ф на Ф 1 , Ф 2 , … Ф n. Каждая из элементарных фигур характеризуется своей мерой При этом все разбиение в целом характеризуется определенным значением ранга дробления . n

92. Зафиксируем по одной точке на каждой фигуре Ф ii P Вычислим i. P 3. Будем считать элементарные фигуры Ф i однородными с плотностью i. P — приближение! i i im P

1010 lim ( ) n n i i n i m P — точный результат 4. Вычисление массы m Ф 1 ( ) n i i i m P — приближенный результат, точность которого повышается при увеличении n , и уменьшении n

11 Определение интеграла по фигуре 3. Выполним последовательность действий, аналогичную п. 2. 1. Разобьем Ф на Ф 1 , Ф 2 , … Ф n. Рассмотрим фигуру Ф. n, . . . , , 21 n i i. P 1 ( ) n i i i f P 2. — интегральная сумма для f (P) по ФФункция f (P) задана на фигуре Ф, P

123. Организуем последовательность дроблений 0 nn имеем последовательность интегральных сумм Определение. Интегралом функции f (P) на фигуре Ф называется число 10 ( ) lim ( ) n n i i n i f P d f P при условии, что этот предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек i. P

13 Теорема (о существовании интеграла по фигуре) Если то существует интеграл по фигуре 1. функция f (P) непрерывна по фигуре Ф 2. фигура Ф – замкнутая, ограниченная, односвязная, ( )f P d

14 Определение. Если любые две точки области можно соединить непрерывной кривой , целиком лежащей в этой области, то область называется односвязной. Односвязная область Двусвязная область

15 Классификация интегралов по фигуре — определенный интеграл], , [. 1 ba iix], , [)(bax. P [ , ] ( ) ( ) b a f P d f x dx ( , , ) , P x y z L 2. Ф – дуга линии L iil ( ) L f P dl — криволинейный интеграл первого рода

16, . 3 D iiiyx( , ) , P x y D , D f P d f x y dxdy — двойной интеграл ( , , )P x y z i i — площадь элементарной поверхности , , f x y z d — поверхностный интеграл первого рода 4. Ф – часть поверхности ,

17, . 5 iiiizyx( , , ) , P x y z T , , f x y z dxdydz — тройной интеграл. Фигура – пространственная область

18 Механический смысл интегралов по фигуре 4. 0 Pf Так как , можно считать, что f (P) – плотность распределения массы на фигуре Ф 0 Pf см. вопрос 2 f P d m

19 Геометрический смысл интегралов по фигуре 5. 1 Pf Из пункта 4 d 1 m В частности: , L Ldl l , D Ddxdy S , d S dxdydz V Полученными формулами необходимо уметь пользоваться и в прямом, и в обратном направлениях! , b adx b a

20 Свойства интегралов, выраженные равенствами 6. 1. cf P d c f P d Доказываются с помощью определения!2. 1 2 f P d линейность 3. 1 2 f P d — аддитивность

21 Свойства интегралов, выраженные неравенствами 7. 2. Если 0 f P d 1 2 f P d то 1. Если на Ф 0 Pf PPf. Pf 21 то

223. Еслиm f P d M P то. MPfm

23 Теорема (о среднем) Если f (P) непрерывна на Ф (ограниченная, замкнутая, связная), то( ) ( )f P d f c c f (c) – среднее значение f (P) на Ф ( )f P d f c