1 Лекция № 1. Системы счисления ИНФОРМАТИКА 2

1 Лекция № 1. Системы счисления ИНФОРМАТИКА

2 Определение системы счисления Определение № 1. Набор символов, правил счета и записи чисел в виде последовательности символов из этого набора образуют систему счисления. Набор символов системы счисления называется алфавитом, а сами символы - цифрами.

3 Непозиционные системы счисления Определение № 2. В непозиционных системах счисления количественное значение цифры зависит только от ее вида, а в некоторых непозиционных системах счисления (например, римской) - от взаимного расположения цифр.

4 Позиционные системы счисления Определение № 3. В позиционных системах счисления вес цифры в записи числа зависит от ее вида и от занимаемой ею позиции. Позиции цифр в таких системах счисления называются разрядами. Собственным весом цифры назовем значение одноразрядного числа записанного только с помощью этой одной цифры.

5 Основание системы счисления Определение № 4. Число q, равное количеству различных цифр в алфавите позиционной системы счисления, называется основанием системы счисления. В алфавите арабской системы счисления q равно десяти, так как алфавит включает в себя десять различных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В соответствии со значением основания арабскую систему счисления называют десятичной системой счисления.

6 Запись чисел с фиксированной точкой Запись числа Nq в позиционной системе счисления с основанием q и алфавитом А с фиксированной точкой : anan-1...а1ao . a-1a-2...a-m, где an , an-1,..., a1, аo, a-1, a-2,..., a-m - цифры из алфавита А; п. п - 1,..., 1, 0, -1,-2, ...,-т - номера разрядов. Разделительная точка Старший разряд Младший разряд

7 Запись чисел с фиксированной точкой. Определения 5-7. 5. Разряды с номерами, которые больше или равны нуля, образуют целую часть числа. Разряды с номерами, меньшими нуля, образуют дробную часть числа. В записи числа эти части числа отделяются разделительной (дробной) точкой. 6. Если дробная часть отсутствует, то число называют целым и опускают разделительную точку в записи числа. 7. Если отсутствует целая часть, то число называют правильной дробью и перед разделительной точкой записывают ноль.

8 Запись чисел с плавающей точкой Запись числа Nq в позиционной системе счисления с основанием q и алфавитом А с плавающей точкой : anan-1...а1ao . a-1a-2...a-m  qk, где an , an-1,..., a1, аo, a-1, a-2,..., a-m - цифры алфавита А; п, п - 1,..., 1, 0, -1, -2, ..., -т - номера разрядов, k – абсолютный порядок числа. Пример: 0.035  1099 = 0.35  1098= 0.0035  10100.

9 Применение систем счисления в ЭВМ Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из двух цифр: 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число два. Восьмеричная система счисления имеет алфавит из восьми цифр:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основанием восьмеричной системы является число восемь. Десятичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Основанием двоичной системы счисления является число десять. Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит из шестнадцати цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f. Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число шестнадцать.

10 Запись чисел в системах счисления с основанием 2, 8. 10 и 16. Основная таблица.

11 Перевод чисел из одной СС в другую СС 10 16 8 2 1 1 1 2 2 2 3 4 3 4

12 Пример перевода из двоичной СС Выполнить перевод числа 1011012 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления: 5 4 3 2 1 0 1011012 = 125 + 024 + 123 +122 + 021 +120 = = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 4510.

13 Проверка решения. Перевод из десятичной СС в двоичную СС Проверим результат перевода: 45:2 = 22 (1); 22:2 = 11 (0); 11:2 = 5 (1); 5:2 = 2 (1); 2:2 = 1 (0). Запишем число в двоичной системе счисления: 4510 = 1011012. Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 1011012 = 4510.

14 Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления Выполнить перевод числа 1dc16 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления. 2 1 0 1dc16 = 1  162 + 13  161 +12  160 = 256+208+12 = 47610. Проверим результат перевода: 1.) 476:16 = 29 (12); 2.) 29:16 = 1 (13). Запишем число в шестнадцатеричной системе счисления: 47610= 1dc16. Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 1dc16 = 47610.

15 Пример перевода чисел из двоичной СС в восьмеричную СС Выполнить перевод числа 1011112 из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления: Разобьем исходную запись числа на триады двоичных разрядов: 101111  101 111. Поставим в соответствие каждой триаде восьмеричную цифру: 1012  58; 1012  78. Запишем число: 1011112 = 578.

16 Проверка решения. Перевод из восьмеричной СС в двоичную СС Проверим результат перевода: Поставим в соответствие каждой восьмеричной цифре триаду: 58  1012; 7  1112; Запишем число: 578 = 1011112. Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 1011112 = 578.

17 Пример перевода дробных чисел Перевести 17.9710 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно из полученного представления числа в десятичную систему счисления. Перевод производить с точностью до 3 знаков. Сравнить результаты, полученные после «обратного» перевода в десятичную систему счисления с исходным десятичным числом. Определить относительную ошибку перевода.

18 Перевод в восьмеричную систему 1. Выполним перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 1.1. Переводим целую часть числа: 1) 17 : 8 = 2 (1), 2 < 8 – конец перевода. Итак, 1710 = 218 1.2. Переводим дробную часть числа: 1) 0.97  8 = 7.76 (7); 2) 0.76  8 = 6.08 (6); 3) 0.08  8 = 0.64 (0); Итак, 0.9710 = 0.7608 Таким образом, 17.9710 = 21.7608

19 Перевод из восьмеричной в десятичную систему Выполним перевод числа 21.760 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления. 1 0 -1-2-3 21.7608 = 2  81 + 1 80 + 6  8-2 + 0.8-3 = 16 + 1 + 0.875 + 0.09375 + 0 = 17.9687510. Запишем искомое число: 21.7608 = 17.9687510 Имеем: 17.970 ≠ 17.96875.

20 Определение относительной ошибки Вычислим относительную ошибку e :