1 лекции Раздел II Механика материальных тел УЧЕБНЫЙ

1 лекции Раздел II Механика материальных тел УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ № 2 «МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ» Статика результирующая сил, действующих на твердое тело; момент силы, результирующий момент сил; равновесное состояние тела, условия равновесия; виды равновесия Динамика вращательного движения твердого тела характеристики вращательного движения тел,; закон Ньютона для вращательного движения; законы сохранения для вращательного движения; степени свободы вращательного движения; момент инерции тел; вращение относительно оси, относительно точки. Механика жидкости свойства жидкости, модель идеальной жидкости; течение жидкости, поток, линии тока, условие непрерывности; законы сохранения в текущей жидкости, трение в жидкости; основные законы гидродинамики.

2 лекции Раздел II Механика материальных тел Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел. СТАТИКА Моментом силы F относительно неподвижной точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки O в точку A приложения силы, на силу F (мера действия силы) Моментом силы F относительно неподвижной оси z — называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки O данной оси z .Значение момента не зависит от выбора положения точки O на оси z . плечо силы — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой O;

3 лекции Раздел II Механика материальных тел СТАТИКА 1. равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс 2. Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если векторная сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю: УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

4 лекции Раздел II Механика материальных тел СТАТИКА Виды равновесий безразличное равновесие устойчивое равновесие неустойчивое равновесие.

5 лекции Раздел II Механика материальных тел Моментом импульса (количества движения) материальной точки A относительно неподвижной точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением: МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯ.: Моментом импульса системы материальных точек относительно неподвижной точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

6 лекции Раздел II Механика материальных тел векторное произведение параллельных векторов равно 0 по II закону Ньютона на частицу действуют внешние и внутренние силы Сумма моментов внешних сил уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Изменение момента импульса системы определяется только моментами внешних сил, аналогично тому как изменение импульса системы определяется внешними силами МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯ.:

7 лекции Раздел II Механика материальных тел Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Момент импульса и закон его сохранения.: Момент инерции твердого тела относительно оси z (системы точек) В замкнутой системе момент внешних сил равен 0 и имеет место Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени: Это — фундаментальный закон природы. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

8 лекции Раздел II Механика материальных тел МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат кратчайшего расстояния от оси: Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Главный момент инерции — момент инерции относительно главной оси вращения проходящей через центр масс. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу. Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

9 лекции Раздел II Механика материальных тел МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: Момент инерции тела Jz относительно произвольной оси z равен сумме момента его инерции JC относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния a между осями: величина момента инерции зависит от выбора оси вращения.

10 лекции Раздел II Механика материальных тел МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Моменты инерции однородных тел массой m, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему:

лекции Раздел II Механика материальных тел КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ. Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси z проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью ω = const . Кинетическая энергия тела: Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий: мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела. 11

лекции Раздел II Механика материальных тел При повороте тела под действием силы F на бесконечно малый угол dϕ точка приложения силы A проходит путь ds=rdϕ и работа равна: Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии РАБОТА ВНЕШНЕЙ СИЛЫ Работа силы, совершаемая при повороте тела на угол 0 12

лекции Раздел II Механика материальных тел Связь между моментом импульса и вектором угловой скоростью в общем случае не соответствует Это выражение применимо для симметричных тел, вращающихся вокруг своей оси симметрии Для тел произвольной формы применимо выражение в проекции на некоторую ось уравнение вращения симметричного твердого тела вокруг оси симметрии уравнение вращения несимметричного тела 13

14 лекции Раздел II Механика материальных тел СВОБОДНЫЕ ОСИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ Если результирующая сила, действующая на ось, равна нулю, то такая ось вращения тела называется свободной осью Для тела любой формы существует три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями. Такие оси называются главными осями инерции.

15 лекции Раздел II Механика материальных тел Вращательное движение тела в отсутствии внешних сил называется свободным вращением. В этом случае сохраняется кинетическая энергия, а в отсутствие внешних моментов сил направление и модуль момента импульса. СВОБОДНЫЕ ОСИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ Тензор инерции Главные моменты инерции (если оси x, y, z совпадают с главными осями инерции тела) в общем случае, вектор момента импульса не совпадает с направлением угловой скорости

16 лекции Раздел II Механика материальных тел Если тело несимметрично относительно оси вращения (рис. б), то внутренние центростремительные силы не уравновешиваются ; УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ

17 лекции Раздел II Механика материальных тел В телах вращения оказывается устойчивой ось, соответствующая наибольшему моменту инерции УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ

18 лекции Раздел II Механика материальных тел УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ При закреплении тела в центре масс его положение при любых движениях тела остается неподвижным В каждый момент времени вращение тела, закрепленного в одной точке, можно рассматривать как вращение тела вокруг мгновенной оси, которая изменяет свое положение и в теле, и в пространстве, но всегда проходит через закрепленную точку и совпадает по направлению с вектором угловой скорости

19 лекции Раздел II Механика материальных тел ГИРОСКОПЫ модель симметричного волчка, для которого выполняется следующее соотношение для главных моментов Jxx = Jyy = J  Jzz. При этом необходимо строго различать ось симметрии (которая может быть определена визуально) и мгновенную ось вращения, совпадающую с направлением вектора угловой скорости симметричный волчок вращается со скоростью  вокруг мгновенной оси и со скоростью z вокруг своей оси симметрии. При этом направление вектора L представляет собой некоторую неподвижную ось, вокруг которой ось симметрии совершает вращение. Такое вращение оси симметрии относительно неподвижной оси называется регулярной прецессией.

20 лекции Раздел II Механика материальных тел ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ

21 лекции Раздел II Механика материальных тел ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ

22 лекции Раздел II Механика материальных тел ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ

23 лекции Раздел II Механика материальных тел ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ

24 лекции Раздел II Механика материальных тел ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ

25 лекции Раздел II Механика материальных тел

26 лекции Раздел II Механика материальных тел Механика жидкости Давление в жидкости и газе. В ряде случаев, когда жидкости и газы можно рассматривать как сплошную среду, их поведение описывается одинаковыми законами – законами гидроаэромеханики. Поэтому пользуются единым термином "жидкость". Физическая модель несжимаемой жидкости – плотность которой всюду одинакова и не меняется со временем. На каждый элемент поверхности ∆S тела, помещенного в жидкость, со стороны молекул жидкости действует сила ∆F направленная перпендикулярно поверхности. Давлением жидкости называется физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади: Единица давления — паскаль (Па). Жидкость несжимаема, и ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности ρ вес P = ρgSh, а давление на нижнее основание изменяется линейно с высотой Давление ρgh называется гидростатическим.

27 лекции Раздел II Механика материальных тел Давление в жидкости и газе. Закон Паскаля: Давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью. закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует со стороны этой жидкости (газа) направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа) - ρ — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.

28 лекции Раздел II Механика материальных тел Уравнение неразрывности. Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в данный момент времени. Линии тока проводятся так, чтобы густота их была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

29 лекции Раздел II Механика материальных тел Уравнение неразрывности. Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Это уравнение вытекает из условия несжимаемости жидкости и равенства объемов жидкости, которые должны пройти через соответствующие сечения трубки

30 лекции Раздел II Механика материальных тел Идеальной жидкостью называется воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения. В стационарно текущей идеальной жидкости выбираем трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2 . По закону сохранения энергии изменение полной энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 равно работе внешних сил по перемещению этой массы жидкости A = E2 − E1 . Уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

31 лекции Раздел II Механика материальных тел Механика жидкости уравнение Бернулли статическое давление гидростатическое давление динамическое давление

32 лекции Раздел II Механика материальных тел следствия уравнения Бернулли 1. Давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в которых скорость больше. 2. Формула Торричелли

33 лекции Раздел II Механика материальных тел 3. подъемная сила крыла. Из-за специального профиля крыла и наличия угла атаки, т. е. угла наклона крыла по отношению к набегающему потоку воздуха, скорость воздушного потока над крылом оказывается больше, чем под крылом. Давление в нижней части крыла будет больше, чем в верхней; в результате появляется сила действующая на крыло. Вертикальная составляющая этой силы называется подъемной силой. Горизонтальная составляющая представляет собой силу сопротивления среды. 4. Эффект Магнуса Циркуляция воздуха, обусловленная силами вязкого трения, возникает также вокруг вращающегося тела. Эффект Магнуса проявляется, например, при полете закрученного мяча при игре в теннис или футбол. следствия уравнения Бернулли

34 лекции Раздел II Механика материальных тел Вязкость (внутреннее трение) Вязкость — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев.. Градиент скорости ∆v/∆x показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении x перпендикулярном направлению движения слоев. Сила внутреннего трения пропорциональна градиенту скорости и рассматриваемой площади поверхности слоя S : Коэффициент пропорциональности η, зависящий от природы жидкости и температуры, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости — паскаль-секунда для жидкостей η с увеличением температуры уменьшается, для газов η с увеличением температуры увеличивается это указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. закон Ньютона

35 лекции Раздел II Механика материальных тел Два режима течения жидкостей 1.Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними. (рис. (а)). Количественно переход от одного режима течения к другому характеризуется числом Рейнольдса: γ = η / ρ— кинематическая вязкость; ρ — плотность жидкости; v — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы. При Re ≤ 1000 наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 ≤ Re ≤ 2000, а при Re=2300 (для гладких труб) течение — турбулентное. 2. Течение называется турбулентным (вихревым), если частицы жидкости переходят из слоя в слой (имеют составляющие скоростей, перпендикулярные течению). (рис. (b)).

36 лекции Раздел II Механика материальных тел Методы определения вязкости. 1. Метод Стокса основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы. На шарик, плотностью ρ и радиусом r , падающий в жидкости вязкостью η и плотностью ρ′ вертикально вниз со скоростью v, действуют три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила сопротивления При равномерном движении

37 лекции Раздел II Механика материальных тел Методы определения вязкости. 2. Метод Пуазейля. Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l . В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность этого слоя При установившемся течении эта сила уравновешивается силой давления, действующей на основание того же цилиндра

38 лекции Раздел II Механика материальных тел скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси капилляра. За время t из капилляра вытечет жидкость, объем которой Метод Пуазейля.

39 лекции Раздел II Механика материальных тел Характеристики вращательного движения тел, момент силы, условия равновесия. Момент импульса. Закон сохранения. Момент инерции, примеры. Основное уравнения динамики вращательного движения. Энергия при вращательном движении. Работа. Понятие о гироскопе и гироскопических силах. Прецессия. Устойчивость вращения Основные законы и понятия механики жидкости. Уравнение Бернулли. Следствия уравнения Бернулли Методы определения вязкости. Вязкость. Два режима течения жидкостей. ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА КОЛЛОКВИУМ