1 лекции Раздел I Механика материальной точки УЧЕБНЫЙ

1 лекции Раздел I Механика материальной точки УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ № 1 «МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ» Кинематика материальной точки системы координат кинематические характеристики средняя и мгновенная скорости среднее и мгновенное ускорения движение по окружности Динамика поступательного движения законы Ньютона силы в природе центр масс системы работа и энергия поле сил взаимодействие материальных точек неинерциальные системы отсчета Элементы специальной теории относительности Принцип относительности Галилея и постулаты Эйнштейна Преобразования Лоренца и следствия из них Основные соотношения релятивистской механики

2 лекции Раздел I Механика материальной точки Механика и ее структура Кинематика — это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их массы и действующих сил. Динамика изучает движение тел в связи с вызывающими его причинами — взаимодействиями тел. Статика — изучает законы равновесия системы тел. Материальная точка — тело, форма и размеры которого несущественны в условиях данной задачи. Абсолютно твердое тело — деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь и расстояние между любыми двумя точками этого тела остается постоянным. Абсолютно упругое тело — деформация которого подчиняется закону Гука, а после прекращения внешнего силового воздействия такое тело полностью восстанавливает свои первоначальные размеры форму. Абсолютно неупругое тело — полностью сохраняющее деформированное состояние после прекращения действия внешних сил. классическая механика релятивистская механика квантовая механика Физические модели:

3 лекции Раздел I Механика материальной точки ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ Механическим движением называется изменение положения тела в пространстве с течением времени. Различают пять видов движения твердого тела: поступательное движение. При поступательном движении любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему начальному положению. вращение вокруг неподвижной оси. Вращением вокруг неподвижной оси называется движение, при котором существуют по крайней мере две неподвижные точки тела плоское движение. При плоском движении траектория каждой точки твердо- твердого тела расположена в некоторой фиксированной плоскости и плоскости движения всех точек параллельны между собой (иначе говоря, все точки тела движутся в параллельных плоскостях). вращение вокруг неподвижной точки. Вращением вокруг неподвижной точки называют движение твердого тела, если существует только одна точка тела, скорость которой в любой момент времени равна нулю скорость. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представляет собой вращение вокруг проходящей через эту точку мгновенной оси (мгновенное вращение). свободное движение. При свободном движении никаких кинематических ограничений на движение твердого тела не накладывается. Поступательное движение — это движение, при котором любая прямая жестко связанная с телом, остается параллельной своему первоначальном положению. Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой называемой осью вращения. Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений.

4 лекции Раздел I Механика материальной точки Векторный способ описания движения Координатный способ описания движения Естественно-параметрический способ описания движения частицы описания линейные масштабы и промежутки времени остаются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, они не зависят от выбора системы отсчета время абсолютно пространство абсолютно Постулаты классической механики Способы описания в механике

5 лекции Раздел I Механика материальной точки СИСТЕМА КООРДИНАТ Тело отсчета — произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение остальных тел. Система отсчета — совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. Декартова прямоугольная система координат — это три пересекающиеся в одной точке (начало координат) взаимно перпендикулярные оси х, у, z радиус-вектор Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки.

6 лекции Раздел I Механика материальной точки СИСТЕМА КООРДИНАТ Декартова прямоугольная система координат — это три пересекающиеся в одной точке (начало координат) взаимно перпендикулярные оси х, у, z В сферической системе координат положение тела в пространстве задается тремя числами Положение тела на плоскости удобно определять в полярной системе координат

7 лекции Раздел I Механика материальной точки Векторный способ описания движения Положение частицы в пространстве в любой момент времени задается радиус-вектором Траектория — это линия в пространстве, вдоль которой движется частица (геометрическое место концов радиуса-вектора частицы). Длиной пути точки называется сумма длин всех участков траектории, пройденных этой точкой за рассматриваемый промежуток времен Перемещение — вектор, проведенный из начального в конечное положение частицы Скорость — это векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени. Вектором средней скорости за интервал времени t называется отношение приращения r радиуса-вектора точки к промежутку времени t

8 лекции Раздел I Механика материальной точки СКОРОСТЬ Скорость — это векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени. Вектором средней скорости за интервал времени t называется отношение приращения r радиуса-вектора точки к промежутку времени t Мгновенная скорость — векторная величина, равная первой производной по времени от радиуса-вектора r рассматриваемой точки: Средняя скорость неравномерного движения (другое название — средняя путевая скорость). Длина пути s, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, задается интегралом: Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то движение называется ускоренным, если же он убывает с течением времени, то движение называется замедленным.

9 лекции Раздел I Механика материальной точки УСКОРЕНИЕ Ускорение — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Виды движения Мгновенное ускорение материальной точки — векторная величина равная первой производной по времени скорости рассматриваемой точки (второй производной по времени от радиуса-вектора этой же точки) Среднее ускорение в интервале времени t — векторная величина, равная отношению изменения скорости v интервалу времени t В общем случае плоского криволинейного движения вектор ускорения удобно представить в виде суммы двух проекций

10 лекции Раздел I Механика материальной точки Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю (рис.(А)) Нормальное ускорение (центростремительное) направлено по нормали к траектории к центру ее кривизны O и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки (рис.(B)). Полное ускорение (рис.(C))

12 лекции Раздел I Механика материальной точки Координатный способ описания движения. Путь S частицы Законом движения называется зависимость от времени координат частицы x(t), y(t), z(t).

11 лекции Раздел I Механика материальной точки Координатный способ описания движения. Скорость V частицы Ускорение а частицы

13 лекции Раздел I Механика материальной точки Естественно-параметрический способ описания движения Дуговой координатой I называется измеренное вдоль траектории расстояние от точки О (начала отсчета) до частицы Вектор  — это единичный вектор, связанный с частицей и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты. Скорость частицы Ускорение частицы

14 лекции Раздел I Механика материальной точки Число степеней свободы. Количество независимых величин, которые необходимо задать, чтобы определить положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела. Для определения положения в пространстве материальной точки нужно задать три координаты (x, у, z) число степеней свободы равно трем. Две материальные точки (N=2), связанные между собой (n=1) имеют 5 степеней свободы 3+3 – 1 или 3N-n В общем случае для твердого тела 6 степеней свободы 3+3+3-3=6. Если тело состоит из 3-х точек (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3)

15 лекции Раздел I Механика материальной точки Примеры движения Поступательное движение- это такое движение при котором любой отрезок при движении остается параллельным самому себе Движение вокруг неподвижной оси Плоское движение это такое движение при котором траектории точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях Движение вокруг мгновенной оси вращения

16 лекции Раздел I Механика материальной точки Кинематика вращательного движения При описании вращательного движения удобно пользоваться полярными координатами R и , где R —расстояние от центра вращения до материальной точки, а  — полярный угол (угол поворота). Элементарные повороты (обозначаются  или d) можно рассматривать как псевдовекторы. Угловое перемещение d — векторная величина, модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта. Угловая скорость Угловое ускорение

17 лекции Раздел I Механика материальной точки Кинематика вращательного движения связь между поступательными и вращательными характеристиками Линейная скорость точки связана с угловой скоростью и радиусом траектории соотношением: В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: При равномерном вращении Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, Частота вращения — число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени: Единица частоты вращения — герц (Гц). При равноускоренном вращательном движении

18 лекции Раздел I Механика материальной точки Первый закон Ньютона. Закон инерции Галилея-Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Тело может испытывать внешние воздействия двух типов: а) воздействия, возникающие при непосредственном контакте тел, их соприкосновении (например, давление, трение); б) воздействия со стороны порождаемых телами силовых полей (например, электрического, гравитационного). Свободное тело в динамике, которое не взаимодействует ни с какими другими телами или силовыми полями. Тело называется свободным, если на его положение и движение в пространстве не наложено никаких ограничений, и — несвободным — если на его возможные положения и движения наложены те или иные ограничения (связи) закон инерции Галилея-Ньютона Существует система отсчета, называемая инерциальной, в которой не подверженное внешним воздействиям тело (материальная точка) находится в состоянии покоя, либо движется равномерно и прямолинейно. В приведенной формулировке первый закон движения содержит определение инерциальной системы отсчета. Существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета. Неинерциальной системой отсчета называется всякая система, движущаяся ускоренно по отношению к инерциальной системе отсчета. В неинерциальной системе отсчета свободное тело движется ускоренно.

19 лекции Раздел I Механика материальной точки Масса и сила Инертностью называется свойство тела оказывать сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину и направление его скорости. Масса есть мера инертности тела. Свойства массы. Аддитивность - масса составного тела равна сумме масс его частей. Инвариантность (постоянство). Этим свойством масса обладает только в рамках классической механики при движении тел со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. В общем случае масса определяет гравитационные и инерционные свойства тел Сила — векторная величина, являющаяся мерой механического действия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет форму и размеры. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку — центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил. Внутренними силами называются силы взаимодействия между частями рассматриваемой системы. Механическая система называется замкнутой, или изолированной, системой, если она не взаимодействует с внешними телами (на нее не действуют внешние силы).

20 лекции Раздел I Механика материальной точки Второй закон Ньютона Векторная величина p, равная произведению массы материальной точки на ее скорость, и имеющая направление скорости, называется импульсом, или количеством движения, этой материальной точки. Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела):. Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Векторная величина Fdt называется элементарным импульсом сил F за малое время dt ее действия. Законом силы называется конкретный вид функции F. Установление закона силы в каждом конкретном случае взаимодействия тел является одной из основных задач физической механики.

21 лекции Раздел I Механика материальной точки Третий закон Ньютона принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач (принцип суперпозиции). Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причинности в классической механике — однозначная связь между изменением с течением времени состояния движения и положения в пространстве материальной точки и действующие на нее силой, что позволяет, зная начальное состояние материальной точки, вычислить ее состояние в любой последующий момент времени. Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия; силы с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

22 лекции Раздел I Механика материальной точки Классификация сил в природе. Законы сил типы фундаментальных взаимодействий - гравитационные, электромагнитные, ядерные и слабые. Ядерные и слабые взаимодействия характерны для процессов с участием атомных ядер и элементарных частиц и проявляются на малых расстояниях (~ 10-13 см). Электромагнитные и гравитационные силы убывают с увеличением расстояния между взаимодействующими телами медленно потому электромагнитные и гравитационные силы называют дальнодействующими. Сила гравитационного притяжения  — гравитационная постоянная  = 6,672 х 10-11 м3/(кг-с2). В системе отсчета связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила тяжести —с которой тело притягивается Землёй. Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением - ускорением свободного падения. Весом тела — называется сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или натягивает нить подвеса. Невесомость — это состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести.

23 лекции Раздел I Механика материальной точки Классификация сил в природе. Законы сил Упругие силы. Деформация — это изменение формы и размеров твердых тел под действием внешних сил. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Пластическая деформация — это деформация, которая сохраняется в теле после прекращения действия внешних сил. Напряжение σ — физическая величина, численно равная упругой силе Fel, приходящейся на единицу площади dS сечения тела: Относительная деформация — количественная мера, характеризующая степень деформации и определяемая отношением абсолютной деформации ∆x к первоначальному значению величины x , характеризующей форму или размеры тела: относительное изменение длины l стержня (продольная деформация) ε: относительное поперечное растяжение (сжатие) ε′ ,где d — диаметр стержня. (поперечная деформация) µ — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона.

24 лекции Раздел I Механика материальной точки Классификация сил в природе. Законы сил Кулоновская сила 0 = 8.85 • 10-12 Ф/м. закон Гука При малых деформациях относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ: Eст ≈ 2·1011 Н/м2 Eр ≈ 2·106 Н/м2 E — коэффициент пропорциональности (модуль упругости), численно равный напряжению, которое возникает при относительной деформации, равной единице.Для случая одностороннего растяжения (сжатия) модуль упругости называется модулем Юнга. k — коэффициент упругости. закон Гука: удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе

25 лекции Раздел I Механика материальной точки Силы трения сухое трение между поверхностями твердых тел трение покоя трение скольжения трение качения вязкое трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой Классификация сил в природе. Законы сил Сила вязкого трения значительно меньше силы сухого трения. Она также направлена в сторону, противоположную относительной скорости тела. При вязком трении нет трения покоя. Сила вязкого трения сильно зависит от скорости тела. При достаточно малых скоростях Fтр ~ υ, при больших скоростях Fтр ~ υ2. При этом коэффициенты пропорциональности в этих соотношениях зависят от формы тела. Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого.

26 лекции Раздел I Механика материальной точки Импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени (сохраняется): Закон сохранения импульса Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системытел как целого ее физические свойства не изменяются (не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета). Закон сохранения импульса можно применять 1. Если система замкнута, т.е. внешние силы отсутствуют 2. Если система незамкнута, но действие внешних сил скомпенсировано 3. Если система незамкнута, но существует направление вдоль которого действие внешних сил скомпенсировано. Тогда для этого направления можно записать закон сохранения импульса 4. Если система незамкнута, но время процесса, в результате которого происходит обмен импульсами между телами, столь мало, что внешняя сила не успевает существенно повлиять на перераспределение импульсов между телами

27 лекции Раздел I Механика материальной точки Закон движения центра масс Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка C, положение которой характеризует распределение массы этой системы. где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n — число материальных точек в системе Из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным. Закон движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

28 лекции Раздел I Механика материальной точки Работа, Мощность Энергия — это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Работа силы — это количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. При прямолинейном движении тела под действием постоянной силы F которая составляет некоторый угол α с направлением перемещения, работа этой силы равна: В общем случае на элементарном (бесконечно малом) перемещении dr можно ввести скалярную величину — элементарную работу dA силы F Тогда работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути: Мощность N равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы. Единица работы — джоуль (Дж) – 1м: 1Дж=1Н⋅м. Единица мощности — ватт (Вт): 1Вт —1Дж: 1Вт=1Дж/с.

29 лекции Раздел I Механика материальной точки Кинетическая энергия механической системы Кинетическая энергия механической системы (K) — это энергия механического движения этой системы. Приращение кинетической энергии частицы на элементарном перемещении равно элементарной работе на том же перемещении: кинетическая энергия: (1) является функцией состояния системы; (2) всегда положительна; (3) неодинакова в разных инерциальных системах отсчета.0 Теорема о кинетической энергии для системы: при переходе системы частиц из произвольного начального в произвольное конечное положение работа А всех приложенных к частицам сил равна приращению К кинетической энергии системы: Теорема Кенига: кинетическую энергию K системы частиц можно представить как сумму двух слагаемых: а) кинетической энергии mVc2/2 воображаемой материальной точки, масса которой равна массе всей системы, а скорость совпадает со скоростью центра масс; б) кинетической энергии Kотн системы частиц, вычисленной в системе центра масс.

30 лекции Раздел I Механика материальной точки Потенциальная энергия (W) — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Потенциальная энергия механической системы Свойства потенциальной энергии. 1. Потенциальная энергия является функцией только координат x, у, z точки поля, в которой расположена частица: U = U(x,y,z). 2. Работа А сил поля при перемещении частицы из произвольного начального в произвольное конечное положение равна убыли потенциальной энергии частицы А = U1 - U2 , U1, U2 — потенциальная энергия частицы в начальном и конечном положениях. 3. Потенциальная энергия частицы определена с точностью до произвольной постоянной величины.

31 лекции Раздел I Механика материальной точки Закон сохранения энергии Силы, работа которых при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений, называются консервативными (например, сила тяготения). Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (например, сила трения). Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем. Это —фундаментальный закон природы. Он является следствием однородности времени — инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Энергия никогда на исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

32 лекции Раздел I Механика материальной точки Соударения Удар (соударение) — столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Центральный удар — при котором тела до удара движутся по прямой, проходящей через их центры масс. Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. законы сохранения импульса и сохранения механической энергии выполняются. Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое тело. Не выполняется закон сохранения механической энергии: вследствие деформации часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию тел (разогрев).

33 лекции Раздел I Механика материальной точки Соударения Абсолютно упругий центральный удар шаров Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние

34 лекции Раздел I Механика материальной точки Потенциальное поле сил. Потенциальное поле — поле, в котором работа, совершаемая силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений.

35 лекции Раздел I Механика материальной точки Потенциальное поле сил. Поле сил тяготения Закон всемирного тяготения Потенциалом поля тяготения в данной точке поля называется скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии материальной точки, помещенной в рассматриваемую точку поля, к массе материальной точки: Работа в поле сил тяготения Работа не зависит от траектории перемещения, а определяется только начальным и конечным положениями тела. потенциальная энергия поля сил тяготения:

36 лекции Раздел I Механика материальной точки Напряженность поля тяготения это физическая величина, равная отношению силы, действующей со стороны поля на помещенное в него тело (материальную точку), к массе этого тела. Напряженность является векторной силовой характеристикой поля тяготения. Потенциальное поле сил. Поле сил тяготения Первая космическая скорость Вторая космическая скорость Третья космическая скорость

37 лекции Раздел I Механика материальной точки Элементы специальной теории относительности Преобразования Галилея В классической механике, при скоростях тел значительно меньших, чем скорость света (c << υ) , справедлив механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Инерциальная неподвижная система K (с координатами x, y, z) Система K′ (с координатами x ' , y ' , z ' ), движущуюся относительно K равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью u В начальный момент времени начала координат O и O′ этих систем совпадают. В произвольный момент времени t: r0 =ut Эти соотношения называются преобразованиями координат Галилея. Для произвольной точки A: Правило сложения скоростей в классической механике: к преобразованиям Галилея нужно добавить соотношение:

38 лекции Раздел I Механика материальной точки ОГРАНИЧЕННОСТЬ ЗАКОНОВ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Основные постулаты и противоречия 1. Физическое пространство однородно и изотропно. Пространство и время существуют сами пор себе и независимо от материальных тел При затмении Солнца наблюдалось отклонение солнечных лучей от прямолинейного распространения (кривизна пространства) 2. Все механически явления протекают одинаково в любой инерциальной системе отсчета 3. Взаимодействие между физическим объектами происходит мгновенно (скорость бесконечно большая) Скорость света не зависит от системы координат и является предельной 4. Масса материальной точки не зависит от скорости движения Масса частиц зависит от скорости 5. Все кинематические характеристики можно измерить сколь угодно точно Выполняются соотношения неопределенностей

39 лекции Раздел I Механика материальной точки Постулаты Эйнштейна. 1) Принцип относительности: никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможность обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой. 2) Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Элементы специальной теории относительности

40 лекции Раздел I Механика материальной точки Элементы специальной теории относительности Преобразования Лоренца Пусть система O′ движется относительно системы O со скоростью υ =const, причем c ≈ υ ( − c скорость света Обозначим отношение скоростей υ и c через β = υ/c. Пусть вектор скорости υ направлен вдоль оси OX . Тогда координат и времени будут иметь вид: Эти преобразования Лоренца — при c << υ они переходят в преобразования Галилея. Преобразования Лоренца (релятивистские преобразования) устанавливают взаимосвязь пространства и времени — в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты.

41 лекции Раздел I Механика материальной точки Элементы специальной теории относительности 1. Длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов. 2. Размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения, причем лоренцово сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Поперечные размеры тел не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Следствия из преобразований Лоренца

42 лекции Раздел I Механика материальной точки Элементы специальной теории относительности 3. Если материальная точка движется в системе O′ вдоль оси x′ со скоростью υ′ , а сама система O′ движется со скоростью u относительно системы O, то релятивистский закон сложения скоростей: 4. В качестве величины, инвариантной по отношению к преобразованию координат в четырехмерном пространстве Эйнштейна (не зависящей от выбора системы отсчета) вводится интервал между событиями: расстояние между точками обычного трехмерного пространства. интервал между событиями

43 лекции Раздел I Механика материальной точки Элементы специальной теории относительности Основные соотношения релятивистской динамики 1. Релятивистская масса m движущихся релятивистских частиц (тел) зависит от их скорости. m0 — масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, в которой частица находится в покое. 2. Релятивистский импульс p. Релятивистский импульс системы сохраняется. Закон сохранения релятивистского импульса — следствие однородности пространства. 3. Основной закон релятивистской динамики: Законы классической динамики получаются из законов релятивистской динамики в предельном случае υ << c. 4. Полная энергия тела массы m: Соотношение носит универсальный характер, оно применимо ко всем формам энергии, т.е.можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она не была, связана масса и, наоборот, со всякой массой связана энергия. Покоящееся тело обладает энергией покоя. Полная энергия замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения энергии — следствие однородности времени.

44 лекции Раздел I Механика материальной точки Элементы специальной теории относительности Основные соотношения релятивистской динамики 5. Кинетическая энергия: 6. Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела: 7. В случае, когда масса покоя частицы равна нулю, то Основной вывод теории относительности — пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи — пространство-время. Следовательно, такая частица может обладать отличными от нуля энергией и импульсом только в том случае, когда она движется со скоростью света. К таким частицам относятся фотоны.

44 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета Скорость и ускорение частицы А в неподвижной системе отсчета называют абсолютной скоростью Vабс и абсолютным ускорением аабс, Скорость и ускорение в движущейся системе отсчета — относительной скоростью Vотн и относительным ускорением аотн.

45 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета

46 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета

47 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета Свободное не подверженное внешним воздействиям тело в неинерциальной системе отсчета движется с отличным от нуля ускорением, несмотря на то что силы взаимодействия с другими телами отсутствуют (F = 0) Уравнение движения тела в инерциальной системе

48 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета поступательная сила инерции: центробежная сила инерции сила Кориолиса Уравнение называется уравнением движения частицы в неинерциальной системе отсчета.

49 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета Силы инерции возникают не из-за взаимодействия тел, а вследствие ускоренного движения системы отсчета. Силы инерции изменяются при переходе от одной неинерциальной системы отсчета к другой, они не инвариантны относительно такого перехода. Силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона. Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Пример. Вагон движется с ускорением a0 по прямолинейному горизонтальному участку дороги. К потолку вагона на нити подвешен груз массой т. Найти угол отклонения нити от вертикали.

50 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета На расположенное вблизи поверхности Земли тело массой т, скорость которого по отношению к Земле равна нулю, действует центробежная сила инерции Fцб, и сила гравитационного притяжения Frp, направленная к центру Земли и равная по модулю gэкв = 9,780 м/с2 gпол= 9,832 м/с2 Центробежная сила инерции направлена перпендикулярно оси вращения Земли.

51 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета Сила Кориолиса возникает, если тело движется относительно неинерциальной вращающейся системы отсчета. Вектор Fкор перпендикулярен к вектору скорости Vотн и вектору угловой скорости . Наличием силы Кориолиса объясняются такие явле­ния, как отклонение свободно падающих тел к востоку, раз­мыв правых берегов текущих северных рек и др. Пример. Найдем силу бокового давления, с которой поезд массой т, который движется со скоростью V вдоль меридиана в направлении с севера на юг, действует на рельсы Сила бокового давления возникает за счет действия на поезд силы Кориолиса, величина которой равна

52 лекции Раздел I Механика материальной точки ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА КОЛЛОКВИУМ Кинематические характеристики поступательного и вращательного движения материальной точки Способы описания движения (краткая характеристика). Динамика поступательного движения. Законы Ньютона и силы в природе Центр масс системы и закон его движения Работа, энергия и мощность Поле сил - основные понятия Взаимодействие материальных точек, виды столкновений Принцип относительности Галилея и постулаты Эйнштейна Преобразования Лоренца и следствия из них Основные соотношения релятивистской механики Силы инерции. Закон движения в неинерциальных системах отсчета

47 лекции Раздел I Механика материальной точки Движение относительно неинерциальных систем отсчета