1 Конформные отображения Пусть Каждой точке аналитическая функция в области плоскости. в плоскости будет соответствовать одна точка в плоскости. При движении точки в плоскости по некоторой линии , соответствующая ей точка в плоскости будет описывать линию Предположим, что тригонометрической форме Здесь - модуль производной, Представим комплексное число - аргумент производной. в
2 Ясно, что Так как аргумент дроби есть разность аргумента числителя и знаменателя, то Предел угла есть угол между касательной к кривой положительным направлением оси (обозначим его в точке и ). Таким образом или Отсюда следует, что производная есть угол, на который поворачивается касательная к линии в точке при отображении. Другими словами есть угол между первоначальным и отображённым направлениями. Существенно, что линию мы берём произвольно. При изменении линии изменятся и , но останется неизменным. Отсюда следует, что если две линии проходят через точку в плоскости , то после отображения угол между линиями не измениться. Это важное свойство называется консерватизмом углов для аналитических функций.
Мы выяснили смысл аргумента производной, теперь обратимся к рассмотрению модуля производной. Модуль производной можно записать так Очевидно, что есть длина вектора , а 3 есть длина вектора . Следовательно, модуль производной можно рассматривать как величину искажения масштаба при отображении. Существенно, что величина искажения масштаба зависит только от точки и не зависит от линии, проходящей через точку , т. е. не зависит от направления в точке Таким образом, можно сказать, что изображение с помощью аналитической функции обладает в каждой точке , где постоянным растяжением, не зависящим от направления. Итак, всякое аналитическое отображение, т. е. отображение с помощью аналитической функции обладает двумя свойствами: 1) консерватизмом углов; 2) постоянством растяжений. Такие отображения называются конформными. Все аналитические функции осуществляют конформные отображения. . ,
4 Лекция 7. Особые точки функций комплексной переменной называется изолированной особой точкой функции , если есть аналитическая функция в некотором круге с исключённым центром и неаналитическая в центре в точке. Рассмотрим виды особых точек и соответствующие им разложения функций в их окрестности в ряд Лорана. 1. Точка называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел Точка Для того , чтобы точка была устранимой особой точкой, необходимо и достаточно чтобы разложение в ряд Лорана в окрестности не содержало отрицательных степеней 2. Особая точка называется полюсом, если Для того, чтобы точка была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности содержало конечное число членов (1)
5 Предположим, что разложение (1) имеет место. Умножим обе его части на т. е. (2) Ряд представляет аналитическую функцию и, следовательно, правая часть в (2) также аналитическая функция, которая за счёт числителя имеет корень кратности. Итак, если имеет в точке полюс, то дробь имеет в этой точке корень некоторой кратности. функции будем называть кратность корня Порядком полюса функции . 3. Точка называется существенно особой точкой , если существует. Для того чтобы точка была существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы разложение в ряд Лорана в окрестности содержало бесконечное множество членов с отрицательными степенями. не
Разложение функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки 6 Окрестностью бесконечно удалённой точки является кольцо с бесконечно большим внешним радиусом. Функция , аналитическая в этой области, должна раскладываться в ней в ряд Лорана по степеням. Если разложение в окрестности бесконечно удалённой точки не содержит положительных степеней то имеет в бесконечно удалённой точке устранимую особенность. Можно считать, что в этом случае аналитическая в бесконечно удалённой точке. Если разложение содержит конечное число членов с положительными степенями то бесконечно удалённая точка является полюсом. При этом Если разложение содержит бесконечное множество членов с положительными степенями, то бесконечно удалённая точка является существенно особой для При разложении функций в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки смысл и названия частей ряда противоположны тем, что имеют место при разложении в окрестности конечной особой точки.
Пример. Разложить в ряд функцию Точка 7 в окрестности точки есть устранимая особая точка для этой функции. Действительно, Пример. Разложить функцию в ряд в окрестности её существенно особой точки. Докажем, что точка является существенно особой для данной функции, т. е. что не существует. Устремим к нулю , приближаясь к началу При этом координат вдоль оси устремим к нулю, приближаясь к началу координат вдоль оси При этом Теперь
Итак, приближаясь к по двум различным направлениям, получаем разные результаты. Значит общего предела не существует. Обозначим тогда 8 После обратной подстановки получим ряд Лорана Разложение содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями Это соответствует существенно особой точке. Пример. Разложить функцию точки в ряд Лорана в окрестности Точка является однократным корнем знаменателя функции. Числитель функции в этой точке отличен от нуля, следовательно точка есть полюс первого порядка. Преобразуем выражение к аргументу
9 Дроби раскладываются в ряды геометрической прогрессии Последние разложения справедливы, если Тогда Перемножая ряды, входящие в разложение функции, получим окончательный ряд Лорана для данной функции
10 Вычеты функций Пусть - изолированная особая точка функции точки функция может быть представлена рядом Лорана . В окрестности этой (3) Коэффициент при минус первой степени в ряде Лорана играет особую роль В теории аналитических функций и приложениях и потому, в отличие от других коэффициентов, имеет специальное название – он называется вычетом функции в точке и обозначается так (4) Теорема (Коши). Если функция аналитическая в всюду, за исключением внутренних точек , то интеграл от , взятый по контуру области в положительном направлении, равен произведению на сумму вычетов в точках (5)
11 Вычисление вычетов Рассмотрим вычисление вычета в полюсе первого порядка. Предположим, что в окрестности точки имеет место разложение (6) Умножим обе части равенства (6) на (7) Переходя в (7) к пределу, находим (8) Представим аналитические в Тогда в виде дроби , причём где функции , имеет однократный корень в (9) .
12 Раскрывая неопределённость в (9) по правилу Лопиталя, получим (10) Пусть теперь - полюс порядка (11) Умножим обе части (11) на раз и затем продифференцируем по т. е. (12)
Пример. Найти вычеты функции 13 в её изолированных особых точках. Функция имеет полюсы в точках, где знаменатель дроби обращается в нуль полюса первого порядка; По формулам (4), (9) имеем Аналогично В полюсе второго порядка полюс второго порядка.
Пример. Вычислить вычет функции точке 14 в её существенно особой . В существенно особых точках вычет можно найти только раскладывая функцию в ряд Лорана. Так как положим тогда Следовательно, Отсюда следует, что
Вычет в бесконечно удалённой точке 15 Предположим, что в окрестности бесконечно удалённой точке функция представима рядом Вычетом в бесконечно удалённой точке называется взятый с обратным знаком коэффициент при минус первой степени в этом разложении Пример. Найти вычет в бесконечно удалённой точке функции Так как Следовательно, то
Скачать презентацию 1 Конформные отображения Пусть Каждой точке аналитическая функция
Лекция 7.Особые.ppt