1 Использование метода Фурье 1 Первая краевая

1

Использование метода Фурье 1. Первая краевая задача. Найти решение волнового уравнения в области 0 < x < l, t > 0, удовлетворяющее начальным условиям: – задано отклонение каждой точки струны от положения равновесия в момент времени t = 0: u(x, 0) = f(x), x < 0 < l; – заданы скорость каждой точки струны в момент времени t = 0 и граничные условия: – концы струны x = 0 и x = l жестко закреплены: 2

Идея метода Фурье (разделения переменных состоит в том, что решение уравнения ищется в виде т. е. функция двух переменных представляется в виде произведения двух функций, каждая одной переменной. Найдем частные производные функций. 3

В последнем уравнении разделим переменные: Равенство двух функций разных переменных при всех значениях означает, что каждая из этих функций есть постоянная, поэтому приравниваем каждую из них к некоторой неопределенной пока отрицательной константе (при выборе положительной постоянной решением нашей задачи является тождественный ноль). Из последнего соотношения можно написать два независимых друг от друга дифференциальных уравнения: 4

Имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения ; второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения для них соответственно имеют вид: , отсюда 5

Тогда общие решения для уравнений примут вид: Постоянные , С 1, С 2, С 3, С 4 определим из граничных и начальных условий. Итак, общее решение волнового уравнения имеет вид 6

Используем первое граничное условие при x = 0 и t ≥ 0 : Так как t > 0 произвольное, то С 3 = 0. Используем второе граничное условие при x = l, с учетом, что С 3 = 0 : Последнее равенство выполняется для всех t > 0, если С 4 sin l = 0. Предположим, что С 4 ≠ 0. Иначе, когда С 3 = = С 4 = 0 мы получаем тривиальное решение U(x, y) = 0. 7

Следовательно, или l = np, где n = ± 1, ± 2, …. n = 0 исключили, т. к. в этом случае получили бы тривиальное решение. Из последнего соотношения получим n = ± 1, ± 2, …. Итак, решение при граничных условиях примет вид для n = ± 1, ± 2, … : 8

Для каждого значения n получим свое значение решения. Суммируя решения при всех значениях n, вновь получим решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям: Постоянные и начальных условий, при t = 0: найдем из 9

Соотношение можно рассматривать как разложение в ряд Фурье нечетной на [-l, l] периодической функции f(x) с коэффициентами разложения A, определяемыми, как известно из теории рядов Фурье, соотношением Определим производную по t для решения 10

Подставим t = 0 и получим начальное условие в виде Это соотношение будем рассматривать как разложение в ряд Фурье нечетной на [-l, l] периодической функции j (x) с коэффициентами разложения Тогда 11

Отметим важные физические особенности изучаемого явления. Объединяя оба члена, перепишем решение в виде Видим, что полное колебание струны слагается из ряда отдельных колебаний вида 12

Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна 13

1 2 3 4 14

На рис. изображены последовательные положения струны для случаев n = 1, 2, 3, 4. Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это так называемые узлы. Середины участков (пучности) колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн. 15

Основной тон определяется первой составляющей y 1, ей отвечают частота w 1 = pa/l и период T 1 = 2 l/a. Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обертоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного тона будет играть второй обертон с периодом T 2 = T 1/2 и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению! 16

2. Вторая краевая задача Найти решение волнового уравнения со свободными концами, удовлетворяющее в области t > 0, 0 < x < l начальным условиям: и граничным условиям: 17

Общее решение волнового уравнения имеет вид: Найдем производную по x для решения: Из первого граничного условия при имеем которое будет выполняться для всех t > 0, если C 4 = 0 или = 0 18

При x = l имеем второе граничное условие: Которое выполняется при t > 0, если C 3 sin l = 0. Т. к. С 3 ≠ 0, иначе имеем тривиальное решение при С 3 =С 4 = 0. Следовательно, sin l = 0, 19

Постоянные и начальных условий, при t = 0: найдем из 20

Эти соотношения будем рассматривать как разложение в ряд Фурье четных на [-l, l] периодических функций f(x) и j(x) с коэффициентами разложения An и соответственно. Из теории рядов Фурье известен вид коэффициентов: 21

Уравнение поперечных колебаний мембраны Пусть мембрана – тонкая плёнка, которая не сопротивляется изгибу, но сопротивляется напряжению, а сила натяжения действуют по закону Гука. 22

Будем считать, что На элемент dl действует сила натяжения Tdl, где направлено по касательной к мгновенной поверхности мембраны. Т. к. колебания малы, то можно считать, что проекция на плоскость xy равна: T' = T Вертикальная проекция: (по аналогии со струной) 23

n – нормаль к поверхности S Т. о. вертикальная проекция силы натяжения действует на dl: Тогда на контур С: Импульс поверхности S: 24

25

Пусть мембрана однородна, т. е. T = Const, r = Const. 26

Первая смешанная задача для волнового уравнения (колебание прямоугольной мембраны) 27

Решение поставленной задачи может быть получено методом разделения переменных (методом Фурье) и задано двойным рядом 28

29

Уравнения акустики Рассмотрим распространение акустических волн в среде. Пусть v (x, y, z, t) – поле скоростей частиц среды. P(x, y, z, t) – давление в данной точке и в данный момент времени t. r(x, y, z, t) – плотность среды. Будем считать, что вязкость в среде отсутствует. 30

Рассмотрим некоторый объём среды V: Выделим элементарный объём d. V. Его положение r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = r(x. y. z. t). Его скорость: 31

Изменение его местоположения за t: Его ускорение: 32

Его импульс: Импульс объёма V: На него действуют силы давления: знак “-“, т. к. d. S направлено наружу, а силы давления во внутрь (они сжимают объём V). 33

Пусть не зависит от t, тогда: - переход по формуле Остроградского-Гаусса. - уравнение Эйлера. 34

Если действуют дополнительные силы и их главный вектор F, то 35

Распространение звука – процесс адиабатический. Предположим, что колебания (ρ, p) малы: 36