1 Институт вычислительной математики математической геофизики СО

1

Институт вычислительной математики математической геофизики СО РАН 2 Математические модели структур инженерных сетей Глеб Владимирович Попков E-mail: popkov@rav. sscc. ru Лекция 10.

Формальное описание Гиперсеть это математическая модель для структуры сетей, включающая в себя: - множества вершин; -множества ветвей; - множества ребер; - отображение, сопоставляющее каждому элементу множество его вершин. Тем самым отображение определяет графа ; - отображение, сопоставляющее каждому элементу множества ветвей. Причем семейство подмножеств ветвей содержит такие подмножества, ветви которых составляют связную часть графа. Отображение определяет гиперграф ; - отображение, сопоставляющее каждому элементу подмножество его вершин, где - множество вершин в , инцидентных ветвям. Отображение определяет графа. Таким образом, гиперграф - первичная сеть, а гиперграф вторичная сеть. 4

Маршруты в гиперсетях. Маршрутом в гиперсети S=(X, V, R) называется конечная последовательность =(x 1, r 1, x 2, . . . , xk— 1, rk– 1, xk), составленная из элементов X, R таким образом, что вершины и ребра чередуются, а всякие два соседних элемента инцидентны. Квазимаршрутом в гиперсети S=(X, V, R) называется конечная последовательность , в которой пара соседних элементов (xi, ri) инцидентны, а (ri, xi+1) слабо инцидентны. Слабый маршрут. Если в определении маршрута заменить «инцидентность» на «слабую инцидентность» , то получим определение слабого маршрута.

О связности гиперсетей Гиперсеть называется связной, если и только если между парой вершин гиперсети S существует соединяющих их маршрут. Отсюда следует, что графы PS и WS связны. Гиперсеть называется односторонне квазисвязной, если и только если любая пара вершин из S соединима хотя бы одним квазимаршрутом. Гиперсеть – квазисвязная, если и только если для любых вершин x, y S существует квазимаршруты (x, y) и (y, x). Гиперсеть называется слабо связной, если и только если любая пара вершин S соединима слабым маршрутом. Гиперсеть называется относительно связной, если граф PS связен. Рассмотренные отношения связности упорядочиваются по включению, то есть из связности квазисвязность слабая связность относительная связность. Обратно не верно.

3 -УРОВНЕВАЯ S-ГИПЕРСЕТЬ

Операции над S -гиперсетями Алгебраические (Прежде всего операциищ над матрицами инциденций, которые определяют S – гиперсеть с точность до изоморфизма/ Теоретико-множественные операции. Такие например как, объединение, пересечение, фактор -разность и т. д. Теоретико гиперсетевые: объединение вторичных сетей (SV-операция), отображение вторичной сети к-го уровня на к-в уровень (RV-операция) и др. Операции над эллементами: удаление и добавление элементов и др.

Применение SV операция над трехуровневой S- гиперсетью

Применение PV операция над трехуровневой S- гиперсетью

ПРИМЕНЕНИЯ ГИПЕРСЕТЕЙ 11

1. Задача 12 Известны: D – участок пересеченной местности; Y=Yист. UYпотр. UYдр. – точечные элементы, где: Yист. – источники, Yпотр. – потребители, Yдр. другие точечные элементы (подстанции, распределительные пункты и т. д. ) Требуется: Построить на множестве точек YєD инженерную сеть таким образом, чтобы суммарная стоимость ее строительства и эксплуатации приняла наименьшее значение.

2. Инженерные сети 13 Инженерные сети Трубопроводные сети §Тепловые сети §Водопроводные сети §Газопроводные сети §Нефтепроводные сети §Канализационные Сети и т. д. Электроснабжения Транспортная сеть §Электрические сети §Воздушные линии электропередачи §Кабельные линии электропередачи §Автомобильные дороги §Железные дороги §Пути авиасообщения §Морские пути Сети сельскохозяйственного назначения §Ирригационная сеть §Каналы Рис. 1. Классификация Сети передачи данных §Сети электросвязи §Линии связи §Радиопередачи §Телевидение

3. Описание сетей 14 Инженерная сеть Узловая часть Линейная часть Трассы Рис. 2. Основные элементы сетей

3. 1. Морфологическое описание 15 Аэропорты Газовые станции Речные порты Электростанции Автовокзалы Нефтяные станции Рис. 3. Узловая часть Ж/д вокзалы Водопроводные вентили

3. 1. Морфологическое описание 16 Газопроводы Воздушные ЛЭП Железные дороги Надземные газопроводы Нефтепроводы Подземные нефтепроводы Рис. 4. Линейная часть Надземные ж/д Подземные линии передачи данных

3. 1. Морфологическое описание 17 Инженерная сеть Вторичная сеть (коммуникации, физические каналы и т. д. ) Первичная сеть (ЦММ, МММ) а) Инженерная сеть Первичная сеть (ЦММ, МММ) Вторичная сеть № 1 Вторичная сеть № 2 Вторичная сеть №K б) Рис. 5. Структура сетей

4. Типы местностей 18 Местность Горная Холмистая Однородная Равнинная Неоднородная Рис. 6. Классификация местности

5. Описание внешней горной среды 19 Рис. 7. Горная местность

5. Внешняя среда (зависящая от времени) 20 Природные условия Метеорологические условия §температура воздуха; §солнечная радиация; §ветер; §гололед; §снег; §грозы; §дождь и др. Физико-геологические условия §тектоническая деятельности; §сейсмичность; §типы пород и физико§механические свойства грунтов; §почвенный покров (глины, пески красты, просадочные явления); §физико-геологические явления (осыпи, обвалы, камнепады, лавины, оползни, сели, муры и др. ). Гидрологические условия §уровневый и ледовый режим рек; §скорость течения; §деформационные процессы происходящие в русле и пойме; §условия затопления поймы; §химический состав воды и др. Рис. 7. Классификация природных условий

5. Описание внешней среды (продолжение) 21 Топографические условия §стесненность и §извилистость ущелий; §крутизна склонов; §высоты над уровням § моря; §сложнопересеченный §и косо горный рельеф; §бездорожье и др. Ситуационные условия §существующие застройки (жилые дома, медицинские и образовательные учреждения, различные сооружения военного назначения и др. ); §коммуникации (газо-, нефте-, и водопроводы, линии связи, линии электропередачи, автомобильные и железные дороги и др. ), §ценные пахотные угодья (золото, уголь, нефть, газ и др. ); §запретные зоны (зоны отдыха, зоопаркы и др. ); §участки и территории непригодные для строительства и др. Рис. 8. Классификация ситуационных условий

5. Описание внешней среды (продолжение) 22 Географическая среда Топографическая Рельеф Ситуация (контур) Инженерноэкономическая Инженерная Экономическая Инженерногеологическая Гидрогеологическая Гидрометеорологическая Гидрологическая Метеорологическая Первичная модель местности (инженерно-экономическая ) Цифровая модель местности Математическая модель местности Стереомодель местности Стохастическая модель местности Географическая модель местности (план) Вторичная модель местности Информационная модель местности Рис. 9. Информационные модели местности

6. Построение модели местности 23 Рис. 10. Этапы сеточной аппроксимации

7. Сеточная аппроксимация Рис. 11. Топооснова заданной территории 24

7. Сеточная аппроксимация (продолжение) а) двухмерны случай Рис. 12. Дискретизация заданной территории 25

7. Сеточная аппроксимация (продолжение) а) двухмерны случай Рис. 13. Сеточная область (расчетная сетка) 26

7. Сеточная аппроксимация (продолжение) а) двухмерны случай 27

7. Сеточная аппроксимация (продолжение) а) двухмерны случай Рис. 14. Блочная расчетная сетка

7. Сеточная аппроксимация (продолжение) б) трехмерный случай Рис. 16. Горизонтальная сетка Ω 29 29

7. Сеточная аппроксимация б) трехмерный случай Рис. 17. Определение поле высот h 30 30

7. Сеточная аппроксимация (продолжение) Рис. 18. Перенос сетки Ω на уровень h 1 31

7. Сеточная аппроксимация Рис. 19. Перенос сетки Ω на уровень h 2 32

7. Сеточная аппроксимация (продолжение) б) трехмерный случай Рис. 20. Перенос сетки Ω на уровень h 3 33 33

7. Сеточная аппроксимация (продолжение) б) трехмерный случай Рис. 21. Примеры вычисления метрических характеристик 34

8. Гиперсетевая технология ветви, -узлы; ситуационные трассы, -возможные места размещения узлов; трассы для ЛС, -место пересечения трассы; линейные сооружения, -место непосредственного размещения узловых элементов; Рис. 16. Послойное представление данных 35 35

8. Гиперсетевая технология 4 -й уровень Граф вторичных сетей 3 -й уровень Граф трассы ЛС 2 -й уровень Граф ситуационных трасс 1 -й уровень Граф сетки 0 -й уровень Сеточное метрическое Пространство Ω Рис. 22. Многослойный подход к построению сети 36 36

8. Гиперсетевая технология 37 37

8. Гиперсетевая технология 38 Пусть граф PS=(X, V) – математическая модель местности, построенная на множестве точек пересечения линий x=xj, j=1, 2, …, n и y=yi, i=1, 2, …, m, сетки Ω, а V- множества ветвей, соединяющие соответствующие пары узлов. И пусть граф WS=(Y, R) математическая модель инженерной сети, построенный на множестве YЄD, где R – множества ребер (коммуникаций) соединяющие соответствующие пары узлов.

8. Гиперсетевая технология (продолжение) 39 ØПараметры элементов графов: Øρ(v) – длина ветви vЄV; Øav – стоимость земляных работ на единицу длины ветви vЄV для заданного типа коммуникаций; Øbv – стоимость аренда ресурсов на единицу длины ветвей vЄV для заданного типа коммуникаций Ø ρ(r)= Σ ρ(v)- длина ребер rЄR; Øcr – стоимость приобретения и монтажа оборудований на участках {v} выбранной трассы; Ødr – стоимость эксплуатационных работ коммуникаций на участках {v} выбранной трассы.

9. Целевая функция 40 Стоимость проектируемой следующим функционалом: где сети - длина ребер проходящий по ветвям vЄF(r); оценивается

10. Формальная постановка задачи 41 Пусть известны: граф PS=(X, V) с параметрами элементов vЄV: ρ(v), av и bv; и граф WS=(Y, R) c параметрами элементов rЄR: ρ(r), cr и dr. Требуется: построить гиперсеть S такую, для которой функционал Q(S) принимает наименьшее значение.

11. Алгоритм решения 42 ШАГ 1. Для любых r= (x, y)єWS найдем кратчайший путь между вершинами x, yєPS: a) с учетом параметров элементов PS и WSполучим Sнеод. ; б) c учетом параметров элементов WS-получим Sод. . Получит оценку Q(0) для неоднородной реализации; ШАГ 2. Определяем расстояние между Sнеод. и Sод. следующим образом: ρ(Sнеод. , Sод. )=ǀΣρ(r’’, r’)ǀ, где ρ(r’’, r’)=ǀVнеод. ᴗVод. Vнеод. ᴖVод. ǀ, а Vнеод. и Vод. множества ветвей через которых проходят ребра r’’ и r’ соответственно. Если для всех r= (x, y)єWS: ρ(r’’, r’)=0 =>ρ(Sнеод. , Sод. )=0 то на Шаг 6, иначе перейти на ШАГ 3; ШАГ 3. Определить список {r} для перереализаций в графе. PS; Такой список можно определить двумя способами: 1) случайно 2) по убыванию ρ(r’’, r’). Перейти на ШАГ 4.

11. Алгоритм решения (продолжение) 43 ШАГ 4. По списку {r} последовательно удалить ri из Sнеод. и снова его реализовывать в гиперсети Sнеод. ri предварительно пересчитывав весов ее элементов. После того, как будут перебраны все ребра из списка {r} получим оценку Q(1). Перейти на ШАГ 5. Повторить шаги 2 -4 до тех пор пока не выполняется условия Q(j+1)=Q(j). Шаг 6. Оптимальная гиперсеть найдена.

12. Примеры 44 В рамках этого алгоритма можно решит следующие задачи: 1) Задача построения ЛЭП на неоднородной территории; 2) Задача размещения элементов электрических сетей 3) Задачи построения сетей связи и т. п.

12. 1. Задача построения ЛЭП Пусть известны. D – участок горной местности; и Задача: - выделенные точки заданной территории. Необходимо построит ЛЭП минимальной стоимость из точки некоторой конечной точки , при условии, что между этими точками существует по крайней мере один маршрут. (применение гиперсетевой технологии) Задача: Построить гиперсеть до такую, для которой 45

12. 2. Задача размещение элементов электрических сетей где: Ясно, что в нашем случае 46

12. 2. Задача размещение элементов электрических сетей Задача: Необходимо найти p-медианы гиперсети минимальное значение, т. е. 47 для которой принимает

12. 3. Задача построения сетей связи Известны: -участок горной местности, - блочная сетка; - схема ситуационных трасс, в которой отражена существующая сеть кабельной канализации и инженерных сооружений для организации линий связи; -схема пучков соединительных линий ; -схема кабельной канализации и схема кабелей; §длины ветвей vl Vl – p(vl); §для каждого ребра rl Rl его ёмкость d(rl); §стоимости a(vl) строительных работ на единицу длины ветви vl Vl; §стоимости e(d(ul)) монтажных работ на единицу длины ребра графа PUl как функция его ёмкости (под ёмкостью ребра графа PUl понимается сумма ёмкостей тех рёбер из графа WSl трассы которых проходят по этому ребру); 48

12. 3. Задача построения сетей связи (продолжение) §c(d(zl)) – стоимость оборудования (аппаратура коммутации), установленного в вершине графа PUl как функция ёмкости этой вершины(ёмкость вершины – это сумма ёмкостей рёбер графа PUl, инцидентных этой верше). Задача: при следующих ограничениях где 49

50